高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练试题

2021年高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
复习目的:
1．掌握分类讨论必须遵循的原那么
2．可以合理，正确地求解有关问题
命题分析:
分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深入性，进步学生分析问题，解决问题的才能.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置理解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.
重点题型分析:
例1．解关于x 的不等式:)()(2
32R a x a a a x ∈+<+
解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a 2)<0
〔下面按两个根的大小关系分类〕
〔1〕当a>a 2⇒a 2-a<0即 0<a<1时，不等式的解为 x ∈(a 2, a).
〔2〕当a<a 2⇒a 2-a>0即a<0或者a>1时，不等式的解为:x ∈(a, a 2)
〔3〕当a=a 2⇒a 2-a=0 即 a=0或者 a=1时，不等式为x 2<0或者(x-1)2<0
不等式的解为 x ∈∅.
综上，当 0<a<1时，x ∈(a 2, a)
当a<0或者a>1时，x ∈(a,a 2)
当a=0或者a=1时，x ∈∅.
评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.
例2．解关于x 的不等式 ax 2
+2ax+1>0(a ∈R)
解:此题应按a 是否为0来分类.
〔1〕当a=0时，不等式为1>0, 解集为R.
〔2〕a ≠0时分为a>0 与a<0两类 ①10
)1(00440002>⇒⎩⎨⎧>->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->⇒⎩⎨⎧>>a a a a a a a a ∆时，方程ax 2+2ax+1=0有两根 a
a a a a a a a a a a x )1(12442222,1-±-=-±-=-±-=. 那么原不等式的解为),)1(1())1(1,(+∞-+---
--∞a a a a a a . ②101
000440002<<⇒⎩⎨⎧<<>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<->⇒⎩⎨⎧<>a a a a a a a ∆时， 方程ax 2
+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，那么不等式的解为〔-∞，+∞〕. ③ 11
000440002=⇒⎩⎨⎧==>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->⇒⎩⎨⎧=>a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2
+2ax+1=0只有一根为x=-1，那么原不等式的解为(-∞,-1)∪(-1,+∞). ④010*******
2<⇒⎩⎨⎧><<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><a a a a a a a a 或∆时， 方程ax 2+2ax+1=0有两根，a a a a a a a x )1(12)1(22,1-±-=-±-=
此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为: ))1(1,)1(1(a
a a a a a ----+-.
⑤φ∈⇒⎩⎨⎧≤≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<⇒⎩⎨⎧≤<a a a a a a a 1
000440002∆ 综上:
当0≤a<1时，解集为〔-∞，+∞〕.
当a>1时，解集为),)1(1())1(1,(+∞-+-----∞a
a a a a a . 当a=1时，解集为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
当a<0时，解集为))1(1,)1(1(a a a a a a ----+
-. 例3．解关于x 的不等式ax 2-2≥2x-ax(a ∈R)(西城2003’一模 理科〕
解:原不等式可化为⇔ ax 2+(a-2)x-2≥0,
(1)a=0时，x ≤-1，即x ∈(-∞,-1].
(2)a ≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
① a>0时， 不等式化为0)1)(2(≥+-x a
x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧->>120a
a ，即a>0时，不等式解为),2[]1,(+∞--∞a . 当⎪⎩⎪⎨⎧-≤>120a
a ，此时a 不存在.
② a<0时，不等式化为0)1)(2(≤+-x a
x ， 当⎪⎩⎪⎨⎧-<<120a
a ，即-2<a<0时，不等式解为]1,2[-a 当⎪⎩⎪⎨⎧-><120a
a ，即a<-2时，不等式解为]2,1[a -.
当⎪⎩⎪⎨⎧-=<120a
a ，即a=-2时，不等式解为x=-1.
综上:
a=0时，x ∈(-∞,-1).
a>0时，x ∈),2
[]1,(+∞--∞a
. -2<a<0时，x ∈]1,2
[-a
.
a<-2时，x ∈]2,1[a -. a=-2时，x ∈{x|x=-1}.
评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的根本原那么为: 10:能不分那么不分；
20:假设不分那么无法确定任何一个结果；
30:假设分的话，那么按谁碍事就分谁.
例4．函数f(x)=cos 2x+asinx-a 2+2a+5.有最大值2，务实数a 的取值.
解:f(x)=1-sin 2x+asinx-a 2+2a+5.624
3)2(sin 22++---=a a a x 令sinx=t, t ∈[-1,1].
那么6243)2()(22++--
-=a a a t t f (t ∈[-1,1]). (1)当12
>a 即a>2时，t=1，2533max =++-=a a y 解方程得:22132213-=+=
a a 或〔舍〕. (2)当121≤≤-a 时，即-2≤a ≤2时，2a t =,2624
32max =++-=a a y , 解方程为:3
4-=a 或者a=4〔舍〕. (3)当12
-<a 即a<-2时， t=-1时，y max =-a 2+a+5=2
即 a 2
-a-3=0 ∴ 2131±=a , ∵ a<-2, ∴ 2131±-=a 全都舍去. 综上，当3
42213-=+=a a 或时，能使函数f(x)的最大值为2. 例5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证
明:15.025.05.0log 2
log log ++>+n n n S S S . 证明:〔1〕当q=1时，S n =na 1从而
0)1()2(2121211212<-=+-+⋅=-⋅++a a n a n na S S S n n n
〔2〕当q ≠1时，q
q a S n n --=1)1(1， 从而 .0)1()1()1)(1(212
2
121221212<-=-----=-⋅++++n n n n n n n q a q q a q q a S S S 由〔1〕〔2〕得:212++<⋅n n n S S S .
∵ 函数x y 5.0log =为单调递减函数.∴ 15.025.05.0log 2
log log ++>+n n n S S S . 例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.
解:〔1〕当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为1)3()1(22
2=---b
y a x ，一条渐近线的斜率为2=a
b ， ∴ b=2.∴ 555222==+==a a a b a
c e . 〔2〕当双曲线的焦点在直线x=1时，仿〔1〕知双曲线的一条渐近线的斜率为2=b a ，此时2
5=e . 综上〔1〕〔2〕可知，双曲线的离心率等于255或
.
评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进展的全面讨论.
例7．解关于x 的不等式 15
12)1(<+--x x a . 解:原不等式 012)1(55
<⇔+--x x a 0)]2()1)[(2(02
2)1(012)1(<----⇔<--+-⇔<+--⇔a x a x x a x a x x a
⎪⎩
⎪⎨⎧>----<-⎪⎩⎪⎨⎧<---->-⎩⎨⎧<--=-⇔0)12)(2(01)3(0)12)(2(01)2(0)21)(2(01)1(a a x x a a a x x a x a 或或 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x ∈(2,+∞).
由(2)a<1时，012>--a
a ，下面分为三种情况. ①⎩⎨⎧<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<012121a a a
a a 即a<1时，解为)12,2(a a --. ②0012121=⇒⎩⎨⎧=<⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--<a a a a
a a 时，解为∅. ③ ⎪⎩⎪⎨⎧<--<2121a
a a ⇒ ⎩⎨⎧><01a a 即0<a<1时，原不等式解为:)2,12(a a --. 由〔3〕a>1时，a
a --12的符号不确定，也分为3种情况. ①⎩⎨⎧≤>⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≥-->012121a a a a a ⇒ a 不存在. ② ⇒⎩⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->012121a a a
a a 当a>1时，原不等式的解为:),2()12,(+∞---∞ a a .
综上:
a=1时，x ∈(2,+∞).
a<1时，x ∈)12,
2(a
a -- a=0时，x ∈∅. 0<a<1时，x ∈)2,12(
a
a -- a>1时，x ∈),2()12,(+∞---∞ a a . 评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:
10
:明确讨论的对象，确定对象的全体；
20:确定分类HY ，正确分类，不重不漏；
30:逐步进展讨论，获得结段性结记；
40:归纳总结，综合结记.
课后练习:
1．解不等式2)385(log 2>+-x x x 2．解不等式1|)3(log ||log |3
121≤-+x x
3．关于x 的不等式052<--a
x ax 的解集为M. 〔1〕当a=4时，求集合M:
〔2〕假设3∈M ，务实数a 的取值范围.
4．在x0y 平面上给定曲线y 2
=2x, 设点A 坐标为(a,0), a ∈R ，求曲线上点到点A 间隔 的最小值d ，并写成d=f(a)的函数表达式.
参考答案:
1. ），（），（∞+2
35
3
21 2.]4943[， 3. (1) M 为）
，（），（2452 ∞- (2)),9()3
5
,(+∞-∞∈ a 4. ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==时当时当1|
|112)(a a a a a f d .
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。