2020北师大版必修4高中数学课时跟踪检测二十一平面向量数量积的坐标表示

课时跟踪检测（二十一） 平面向量数量积的坐标表示
一、基本能力达标
1．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ⊥b ，则x 的值是 ( )
A ．±2
B ．0
C ．－2
D ．2
解析：选B 由a ⊥b ，得a·b ＝0，即4x ＋x ＝0，解得x ＝0，故选B.
2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝ ( )
A ．－12
B ．－6
C ．6
D ．12
解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.
3．已知向量a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则a 与b 夹角的余弦值为 ( )
A.63
65
B ．－6365
C ．±6365
D.513
解析：选B 由a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)得a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)，所以
cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝－15－485×13＝－63
65
，故选B.
4．平行四边形ABCD 中，uuu r AB ＝(1,0)，uuu r AC ＝(2,2)，则uuu r AD ·uuu r
BD 等于 ( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
解析：选A 在平行四边形ABCD 中，uuu r AD ＝uuu r BC ＝uuu r AC －uuu r AB ＝(2,2)－(1,0)＝(1,2)，uuu r
BD ＝uuu r AD －uuu r AB ＝(1,2)－(1,0)＝(0,2)，所以uuu r AD ·uuu r
BD ＝(1,2)·(0,2)＝4.
5．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π
4，则实数k
的值为________．
解析：c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22，得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02
＝2
2， ∴(2－k )2＝(k －1)2
，∴k ＝32.
答案：32
6．设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________．
解析：由a ∥b ，则2×(－2)－1·y ＝0，解得y ＝－4， 从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. 答案： 5
7．向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________． 解析：a 在b 上的投影为
a·b |b |＝－12
＝－2
2. 答案：－
22
8．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2，
∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π
3
.
答案：π
3
9．设向量a ＝(2,4)，b ＝(m ，－1)． (1)若a ⊥b ，求实数m 的值； (2)若a ∥b ，求实数m 的值； (3)若|a ＋b |＝5，求实数m 的值．
解：(1)由a ⊥b 得a·b ＝2m ＋4×(－1)＝0，解得m ＝2. (2)由a ∥b 得4m ＝2×(－1)，解得m ＝－1
2
.
(3)a ＋b ＝(2＋m,3)，所以|a ＋b |＝(2＋m )2
＋32
＝5，解得m ＝2或m ＝－6.
10．已知向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)，若a ·c ＝b ·c ，试求模为2的向量c 的坐标．
解：设c ＝(x ，y )，则a ·c ＝(3，－1)·(x ，y )＝3x －y ，b ·c ＝(1，3)·(x ，y )＝x ＋3y ，
由a ·c ＝b ·c 及|c |＝2，得⎩⎨
⎧
3x －y ＝x ＋3y ，x 2＋y 2＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋1
2，y ＝
3－1
2
，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3＋1
2，y ＝－
3－1
2
.
所以c ＝⎝
⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.
二、综合能力提升
1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝ ( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
3，－79
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
9
，－73
解析：选 D 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x,2＋y )，a ＋b ＝(3，－1)，由已知可得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
2(2＋y )＋3(x ＋1)＝0，
3x －y ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－7
9，y ＝－7
3，
即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
9
，－73.
2．△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P ，Q 满足uuu r AP ＝λuuu r AB ，uuu
r AQ ＝(1－λ) uuu r AC ，
λ∈R ，若uuu r BQ ·uu
u r CP ＝－2，则λ＝( )
A.13
B.23
C.43
D ．2
解析：选A 以点A 为坐标原点，uuu r
AB 为x 轴的正方向，uuu r AC 为y
轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题意知B (2，0)，C (0,1)，
P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，则uuu r
BQ ＝(－2,1－λ)，uu u r CP ＝(2λ，－1)，
∵uuu r BQ ·uu
u r CP ＝－2，∴－2×2λ＋
(1－λ)×(－1)＝－2，解得λ＝1
3
，故选A.
3．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 的值为 ( ) A ．－92
B ．0
C ．3
D.152
解析：选C ∵2a －3b ＝(2k －3，－6)．又(2a －3b )⊥c ，
∴(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3)×2＋(－6)＝0， 解得k ＝3.
4．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
( )
A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，12
解析：选A 设i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，求λ的取值范围需满足：a·b ＞0，且a ，b 不共线．由
a·b ＞0⇒(1，－2)·(1，λ)＝1－2λ＞0⇒λ＜1
2
.
当a ，b 共线时，λ＝－2，因此λ∈(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.
5．已知a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________. 解析：∵a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，∴a －2b ＝(－3,3－2t )．
∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即(－3)×(－1)＋3(3－2t )＝0，解得t ＝2，∴b ＝(1,2)，∴|b |＝12
＋22
＝ 5. 答案： 5
6．已知点A (4,0)，B (0,3)，OC ⊥AB 于点C ，O 为坐标原点，则uu u r OA · uuu r
OC ＝________.
解析：设点C 的坐标为(x ，y )，∵OC ⊥AB 于点C ，
∴⎩
⎨⎧
uuu r OC ·uuu r
AB ＝0，uuu r AC ∥uuu r
AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y )·(－4，3)＝－4x ＋3y ＝0，
3x ＋4y －12＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3625，y ＝48
25，∴uu u r OA ·uuu r OC ＝4x ＝14425
.
答案：14425
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)．
(1)求uuu r AB ·uuu r AC 及|uuu r AB ＋uuu
r AC |；
(2)设实数t 满足(uuu r
AB －t uuu r OC )⊥uuu r OC ，求t 的值．
解：(1)∵uuu r
AB ＝(－3，－1)，uuu r AC ＝(1，－5)，
∴uuu r AB ·uuu
r AC ＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵uuu r
AB＋
uuu r
AC＝(－2，－6)，
∴|uuu r
AB＋
uuu r
AC|＝4＋36＝210.
(2) ∵uuu r
AB－t
uuu r
OC＝(－3－2t，－1＋t)，
uuu r
OC＝(2，－1)，且(
uuu r
AB－t
uuu r
OC)⊥
uuu r
OC，
∴(uuu r
AB－t
uuu r
OC)·
uuu r
OC＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，∴t＝－1.
8．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，求uuu r
CM·
uuu r
CN的
取值范围．
解：记MN的中点为E，则有uuu r
CM＋
uuu r
CN＝2
uu u r
CE，
uuu r
CM·
uuu r
CN＝
1
4
[(
uuu r
CM＋
uuu r
CN)2－(
uuu r
CM－
uuu r CN)2]＝uu u r
CE2－
1
4
uuu u r
MN2＝
uu u r
CE2－
1
2
.又|
uu u r
CE|的最小值等于点C到AB的距离，即
32
2
，故
uuu r CM·uuu r
CN的最小值为
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
32
2
2－
1
2
＝4.当点M(或N)与点A(或B)重合时，|
uu u r
CE|达到最大，
|uu u r
CE|的最大值为
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
32
2
＋22＝
13
2
，因此
uuu r
CM·
uuu r
CN的取值范围是[4,6]．。