佛山二模理科数学试题以及解答(W

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数
学（理科）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中的•
1.设全集U "?1,2,3,4,5 集合A^1,2?, B 才2,3?,则A（① B）二（
A.〈4,5?
B.〈2,3?
C.4
2012年4月18日,只有一项是符合题目要求
）
D •⑵
2. 设向量a、b满足：a
30 =1, b二2, a a-b\-0,则a与b的夹角是(
B . 60 90 D. 120
3 . -0,y -0,且x - 2y =1,则2x 3y2的最小值是(
3
B .-
4
4.
1
已知a,b 为实数,则“|a| • |b|：：：1 ”是“ |a|：：：
丄且|b|：：：
2
2
3
1
_ ”的（
2
D.
5 .
充分不必要条件
充分必要条件
B.必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件函数
x
y , [•匸,0 0,二的图像可能是下列图像中的（
sin x
y*
O x
A .
6. 已知直线m、丨与平面:■
A.:'-且丨 _ m
C . m // :且丨 _ m
)
、、满足m二：；，m _ ,则下列命题一定正确的是（）
7. 如图所示为函数 f x =2s in（「・0,0 一- ■:）
的部
分图像，其
中
代B两点之间的距离为
B. 3
5,那么f -1 =( ) -3 D. -2
丄1,x M R ,满足f M x =
M J Qx老M
个非空真子集A,B,且A B=Q,则F x二一fA
B
x 1
&已知函数f M x的定义域为实数集(
A. 0,2
I 3
f A x f B x 1 1 2
C 2 —一1 >
.2,3,1
的值域为（）
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分（一）必做题（9〜13题）
5
9.设i为虚数单位,则1 i的虚部为______________ .
x _0
I
10. 设x, y满足约束条件X _2y _0,则z=2x • y的最大值是 __________ .
x -y _1
11. 抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S=「1,2,3,4,5,6 ?,令事件A =「2,3,5,事件
B =「1,2, 4,5, 6,则P A|B 的值为_________ .
12. 直线y =2x和圆x2y2 =1交于A, B两点，以Ox为始边，OA , OB为终边的角分别为:■/ ,则
sin ［很亠）j的值为_____ .
a a
13. 已知等比数列玄的首项为2 ,公比为2 ,则止------- 二_______ .
a a1 G a2巫；日為
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）
14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，射线.'0与曲线G：T=4S in二的异于极点的交
3
点为A,与曲线C2：P=8si n°的异于极点的交点为B,则|AB|= ____________
15. （几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F , E是
AB 延长线上一点，且DF 二CF —、2 , AF : FB : BE : 4:2:1,若CE
与圆相切，贝U线段CE的长为________ .
三、解答题：本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
16 .(本题满分12分)
在四边形ABCD 中，AB = 2 , BC = CD = 4 , AD = 6 , . A . C =.
(I)求AC的长；
（n）求四边形ABCD的面积.F
C
B乍
17 .（本题满分12分）
空气质量指数PM2.5 (单位：」g/m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量 ，这个值越高，就代
表空气污染越严重：
PM2.5日均浓度
0 : 35
35 : 75
75 : 115
115 : 150 150 ： 250
>250
空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市2012年3月8日一4月7日(30天)对空气质量指数 PM2.5进行监测,获得数据后得到如下条
形图：
(I)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；
(H)在上述30个监测数据中任取 2个，设X 为空气 质量类别为优的天数，求X 的分布列.
18. (本题满分14分)
如图所示四棱锥 P -ABCD 中，PA _底面ABCD ,四边形ABCD 中，AB _
AD ，BC // AD ，PA = AB = BC =2，AD =4，E 为 PD 的中 点，F 为PC 中
点.
(I)求证：CD _平面PAC ； (H)求证:BF //平面ACE ；
(川)求直线 PD 与平面PAC 所成的角的正弦值；
19. (本题满分14分)
2 2
已知椭圆E ：务・每=1 a b 0的一个交点为
a b
(I)求椭圆E 的方程；
(H)设椭圆E 的上下顶点分别为 A, A , P 是椭圆上异于
A , A 2的任一点，直线PA,PA 2分别交x 轴于点N, M ,若直线
OT 与过点M , N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长 为定值，
并
y ■
广
A
1
a
7
Z
A
/N^x
£ -、、3,0 ,而且过点H
求出该定值.
20. (本题满分14分)
_ n *
记函数 f n x j ： [ 1 • x -1 n _ 2, n ：= N 的导函数为 f ； x ,函数 g x ^ f n x - nx . （I ）讨论函数g x 的单调区间和极值；
（n ）若实数 x 0和正数k 满足：
fn x fn k
，求证：o ：：： ：： k .
饰化）f 仆（k ）
21 .（本题满分14分）
设曲线C : x 2-y 2=1上的点P 到点A 0,a n 的距离的最小值为d n ,若a 0 =0, a n 2d n 」，n ・N
（I ）求数列
的通项公式；
（n ）求证：玉•玉：:;…汕:::亜■ a4
亘；
a 3 a
5
a
2n + a 4 a
6
a
2n 书
— * 1 1 1
（川）是否存在常数 M ,使得对-n ・N ,都有不等式：飞 3
3 :: M
成立？请说明理由.
a
1
a
2
a
n
2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）参考答案
选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
B
B
B
C
A
A
B
、填空题：本题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，共30分
6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算
步骤
16•【解析】（I ）如图，连结AC ,依题意可知，B • D m ,
2 2 2
9. -4 ；
10. 5 ；
11 12
_4 5 ；
13. 4_ ；
14. 2“ ；
、1
15.
2
数学（理科）
2012年4月18日
三、解答题：本大题共
在ABC中，由余弦定理得AC =2 4 -2 2 4cos B
=20 -16cos B
在ACD中，由余弦定理得AC2=62• 42 -2 6 4cos D
=52 - 48cos D = 52 48cos B
1 由20 -16cos B =5
2 48cos B ,解得cos B 二
从而AC2 =20 -16cos B =28,即AC = 2.7 ,,,,,,,,
2、5
5
（n ）由（i ）可知
sin B =sin D
1 1 所以 S A BCD = S ABC S AC D AB BC sin B AD CD sin D = 2、3 6、3 = 8, 3.,,, 12分
17.［解析】（I ）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为 16天, 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为
16 __8 30 一 15 （n ）随机变量 X 的可能取值为0,1,2,则 C 22 231 C ；C ；2 P X ^0 22 , P x =1 」C 0 435 ' 丿 C 30 28 _ 435 X 0 1 2 P 231 176 28
435 435 435
所以X 的分布列为： 12分
18 .［解析】（I ）因为PA _底面ABCD , CD 二面ABCD , PA _ CD ,又因为直角梯形面 ABCD 中，AC 二2.2, CD = 2.2 , AC 2 CD 2 二 AD 2,即 AC _CD ,又 PA AC =A,所以 CD _ 平面 PAC ；,, 解法一：如图，连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , BG,FG , EO ,则在 PCE 中，FG // CE , 所以 所以 （n ） 连接 又EC 二平面ACE , FG 二平面ACE ,所以FG //平面ACE , 因为BC // AD ,所以 BO
=^^,则 OE//BG , OD ED BG 二平面ACE ,所以BG //平面ACE , 又0E 平面ACE , 又BG FG 二G ,所以平面BFG //平面ACE , 因为BF 平面BFG ,所以BF //平面ACE .,,, 解法二：如图，连接
BD ,交AC 于0,取PE 中点G , 连接FD 交CE 于H ,连接OH ,则FG//CE ,
10分
在• :DFG 中，HE // FG ,则堕=-FH = 1
ED HD 2
在底面ABCD 中，BC // AD ,所以史 二匹
OD AD
B
G
A
D
P
O
C
G F D
O
C
所以 所以 （川
）
FH BO 1
一
,故 BF // OH ,又 OH 平面 ACE , BF 二平面 ACE , HD OD 2
BF // 平面 ACE .,,,
10 分
由（i ）可知，CD _平面PAC ,所以• DPC 为直线PD 与平面PAC 所成的角，
2、2 10 =
在 Rt PCD 中，CD =2、2, PD = PA 2 AD 2 =2\5,所以 sin DPC 二 CD PD
所以直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值为 二0.
5
2
2
3 1
2
14分
2
5分
2
所以椭圆E 的方程为 — y 2 =1.,,,,,,,
4
解法二：椭圆的两个交点分别为 片-、、3,o ,F 2、、3,o ,
7 1
2
由椭圆的定义可得 2a H PF 1 | | PF 2 |
4,所以a =2 , b 2 = 1,
2 2
2
所以椭圆 E 的方程为-y 2 =1.,,,,,,,,,,,,,,,,,,
4
(n)解法一：由(i)可知 A 0,1 ,4 0,-1 ,设 P X O ,V O , V O -1
X ,令 y = 0,得 X N
直线 PA ： y -1
X o -X o V O _ 1
直线 PA ： y 1
y 0 T
-x ,令 y = 0,得 x M X o
设圆G 的圆心为
X o
y o 1
X X o y^1
y°j 丿 ,h
，
则r 2
I 2
2 +1 y o -1) y o +1 一 X o X o X o h 2
1 4 l yo +1
X o y
o -1 J
2
-
+ h 2, OG 2 = 1
4屏+1
X o
X o
y
o -1
2
+ h 2
OT 2
2
-h
2 2
1 =OG —
2 X o
1-y o 2
2
4 (1 _ y2 )
而—y o 2 = 1,所以 X ： = 4 1 - y o 2 ,所以 OT 2 2- =4, 4
1 - y o
所以|OT | = 2,即线段OT 的长度为定值2 .,,,,,,,,,,,,,,,, X o
14分
解法二:由(i)可知 A (0,1),A(0,—1),设 P (X o ,y 。

),
Vc — 1
直线 PA ：yT - X ,令 y=0,得X N X o
y 0 +1 直线
PA : y 1 - X ,令 y=0,得 X M ~X 0
y o -1 X o X o 则 |OM | |ON | =2
V O 1
2 ,而■X L ■ y 02 = 1,所以 4 2
X
o
4 1 - y ：,
X o V O 2 -1
所以|OT | = 2,即线段OT 的长度为定值2.,,,,,,,,,,,,,,,, n
一
r 20.【解析】(i)由已知得g x j ： [1 ■ X -1 -nx ,所以g X 二n y V X 所以 |OM | |ON | = =4,由切割线定理得 OT 2 =|OM | |ON 戶4
①当n •丄2且n 为偶数时，n -1是奇
14分
n4 -1
.,,,,,,
数，由 g X 0 得 X 0 ；由 g X 0 得 x ：：： 0 .
所以g X 的递减区间为
-：：,0 ,递增区间为 0,=：,极小值为g 0 =0.,,,,,
②当n 一2且n 为奇数时，n -1是偶数，
由 g x ] > 0 得 x ” -2 或 X 0 ;由 g X : 0 得 一2 ：：： x ：：： 0. 所以g X 的递减区间为 -2,0 ,递增区间为 」：，-2和0, 7
1
1 1
21 此时g x 的极大值为g -2 =2n-2,极小值为g 0 = 0.,,,,, nd n
n 1 X o
1 k -1
（n ）由仝「二厶x
得
n
f n 1 X o
f n 1 k
n 1 1
x o 1 k -1
n 1 心
n
L （1+k ）-1l
所以1 xo
—
n 1 1 k
-1
显然分母（n +1 ）[（1+k $ —1}A 0,设分子为 h （k ）=（ nk —1）（ 1 + k ）n +1
（ k
n
n 1
n 1
则 h k = n 1 k i 亠 n 1 k i m k -1 = n n 1 k 1 k ]
> o
所以h k 是0,亠「j 上的增函数，所以h k h 0i ； = 0,故怡-o ,,,,,
n 卅
又 「1 + k （ n +1）-（1+k ） n 1 1 k -1
故当 x >0时，g （x ）》g （0 ）=0,即（
1 + x ）n >1 + nx ,所以 1 +k （n +1 ）A （1 + k 所以 x 0 -k :: 0 ,从而 x 0 :: k. 综上,可知 0 ：：： x 0 ：：：
k .,,,,, 14 分 X o
•【解析】（i ）设点 因为y R ,所以当 又耳=2d n1所以 （n k —1）（1 + k ）n
+1
（n +1 儿（1 +k ）n —1 I
10分
12分
n
,由（i ）知，g x = 1 • x -1 - nx 是0,：；心］；上的增函数，
P x,y ,则 x 2 -y 2 =1,所以 |PA n
|「x 2 y_an 2 = , 2 y y 号时,IPAil 取得最小值d n ,且d n 「22a n
_ 1 a n 1 二■- 2d n ,即 d n a n 1
a n 2
将小“=吉a n 卅代入d n = 得言*“41=
2
' 两边平方得a
2^
a 2 =2,又玄=0, a 2 =2 故数列「a ；?是首项
a 2 =2,公差为2的等差数列，所以a 2 =2 n ,
4 二.2d n j ■
,所以 a n = ■- 2n .，”,,,,,,,,,,,，
因为 2n 2 2n -1 -2n 2n 1 = -2 ：： 0,所以 2n 2 2n -1 : 2n 2n 1
因为 所以 所以
以上 （出
）
因为
2n 2 2n
一1「2 n 2n 1 ,所以 a 2n 2&2n 「: &2n 屜
a 2n 4 . a
2n
a
2n 1
a
2n 2
,所以色：::屯启启,…，归：::玉
a
4 a
5 a
6 a
2n 1 a
2n 2
n 个不等式相加得
a 3
去+鱼+…+a 2nd a 2 +a 4 +…+ a 2n
a 3 a
5
a
2n 1 a 4 a 6
a
2n 2
当k > 2时 1
1
1
' _
' Q J （k 2-1）k
&k -1忑亦1「） 応石丙 麻'
10分
1 _ k 2. k .百 芦
111 _________________________ _____ 1 1
所以.' < .' .k 1—、、k—1 」J —,k-1 k 1 k . k-1 k 1 ■' ■'
所以-1- 1,
、k3、‘k—1 k 1，
f ——「——「—
. k 1 2 . k、k 1
ki_F k^ ,k -1
n
所以V 3
i 4 a i
1 1 J 1 1 1 1 1.
2 =2 2 2,2心人
3 2.2 2.2「显W
故存在常数14分<Z I
11 / 8。