2025高考数学一轮复习-44.2-圆锥曲线中的最值与范围、证明与探索性问题-专项训练【含答案】

－8ny1＋4n2＋4.
同理可得|SQ|2＝ મ
－8ny2＋4n2＋4.
∵ ＝ ＝મ
મ
＝，
∴要证|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2，
等价于证明 y1·|SQ|2＝y2·|SP|2，
∵y1·|SQ|2＝ મ
－8ny1y2＋4(n2＋1)y1，又 y1y2＝4，∴y1·|SQ|2＝4(n2＋
1)(y1＋y2)－32n， 同理可得 y2·|SP|2＝4(n2＋1)(y1＋y2)－32n， ∴y1·|SQ|2＝y2·|SP|2， 即|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2.
.
令 f (k)＝
，k≥1，
则 f ′(k)＝
，
当 1≤k＜ 时，f ′(k)＜0，当 k＞ 时，f ′(k)＞0， 所以函数 f (k)在[1， )上单调递减，在( ，＋∞)上单调递增，所以 f (k)≥f ( ) ＝3 ，
所以
＞
≥3 .
②当 2k－2k2＞0，即 0＜k＜1 时，函数 y＝(－2k2－2k)t＋k3－1 在 ，
∴x3＋x4＝ ，x3x4＝
，
∵
＝0，
∴k(x3－2)(x4－x0)＋k(x4－2)(x3－x0)＝0， 即 2x3x4－(x0＋2)(x3＋x4)＋4x0＝0，
∴
－(x0＋2)· ＋4x0＝0，
即
＝0，解得 x0＝ ，
∴假设成立，即存在点 T ， ，使得直线 MT，NT 的倾斜角互补．
3．解：(1)由题意可得 ＝ ，
设B ，
，依题意知直线 AB 不与两坐标轴平行，
故可设直线 AB 的方程为 y－
＝k(x－t), 不妨设 k＞0，
与 x2＝y－ 联立，得 x2－kx＋kt－t2＝0， 则Δ＝k2－4(kt－t2)＝(k－2t)2＞0，所以 k≠2t. 设 A(x1，y1)，所以 t＋x1＝k，所以 x1＝k－t，
＝0，
又 ＝4x1，则 ＝16x1，
મ
મ
＝4(2n1－y1)2＝0，则 2n1＝y1.
同理可得 2n2＝y2.
મ 联立两切线方程
મ
， 将 2n1＝y1，2n2＝y2 代入，
，
，
解得
∴S(1，2n)， મ，
∴|SP|2＝(x1－1)2＋(y1－2n)2，又 x1＝ny1－1，
∴|SP|2＝(ny1－2)2＋(y1－2n)2＝ મ
＝1.
由椭圆 C 的方程可知，椭圆 C 的左顶点为(－3，0)，又 F ， ，
∴ －(－3)＝4，解得 p＝2， ∴抛物线Γ的方程为 y2＝4x. (2)①证明：当 m＝k 时，直线 l：y＝k(x＋1)，即 x＝ y－1，
令 ＝n，则直线 l：x＝ny－1，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
.
令 g(k)＝
，0＜k＜1，
则 g′(k)＝
，
当 0＜k＜ 时，g′(k)＜0，当 ＜k＜1 时，g′(k)＞0，
所以函数 g(k)在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，所以 g(k)≥g ＝3 ，
所以
＞
≥3 .
综上，矩形 ABCD 的周长大于 3
＝
x1x2－
(x1＋x2)＋4t2＋32
＝
＋4t2＋32＝0.
所以 · ＝ · ，
所以| || |cos 0＝| || |cos 0，即 ＝ .
2．解：(1)设椭圆 C 的方程为λx2＋μy2＝1(λ≠μ，λ＞0，μ＞0)， ∵点( ，2 )和( ，2)在椭圆 C 上，
， ∴
，
， 解得
，
∴椭圆 C 的标准方程为
此时 xA＋xB＝ ，yA＋yB＝ .
而点 M 的坐标满足
，
，
解得 xM＝ ＝ ，yM＝ ＝ ，
故 M 为 AB 的中点，即|MA|＝|MB|. 若选择①③： 证明：当直线 AB 的斜率不存在时，点 M 即为点 F(2，0)，此时 M 不在直线 y＝
x 上，矛盾．
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝m(x－2)(m≠0)，并设 A(xA，
， 则
，
两式相减，得 y1－y2＝2 xM－ (x1＋x2)，而 y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1 －x2)，
故 2 xM＝k(x1－x2)＋ (x1＋x2)，解得 xM＝
.
两式相加，得 2yM－(y1＋y2)＝ (x1－x2)， 而 y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，故 2yM＝k(x1＋x2)＋ (x1－x2)＋2b，
将该直线与 y＝ x 联立，解得 xM＝ 点．故点 M 在直线 AB 上．
＝xC，yM＝
＝yC，即点 M 恰为 AB 的中
4．解：(1)设点 P 的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝
，
化简得 x2＝y－ ，
所以 W 的方程为 x2＝y－ .
(2)证明：设矩形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 在 W 上，则 AB⊥BC，矩形 ABCD 的周长为 2(|AB|＋|BC|)．
4．在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 ， 的距离，记动 点 P 的轨迹为 W. (1)求 W 的方程； (2)已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于 3 .
参考答案
1．解：(1)由题意可得
＝1，2
＝10，故 a＝4，b＝3，所以 C 的方
上单调递减，函数 y＝(2k－2k2)t＋k3＋1 在
， 上单调递增，函数 y＝(2k2
＋2k)t－k3＋1 在 ，
上单调递增，所以当 t＝－ 时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|
取得最小值，且最小值为 k3＋k＝k(1＋k2)，
又 2kt＋1≠0，所以 2(|AB|＋|BC|)＞
·k(k2＋1)＝
yA)，B(xB，yB)，不妨令点 A 在直线 y＝ x 上，则
， 解得 xA＝ ，
，
yA＝ .
同理可得 xB＝ ，yB＝－ .
因为 M 在 AB 上，且|MA|＝|MB|，所以 xM＝ ＝ ，yM＝ ＝ .
由于点 M 同时在直线 y＝ x 上，故 6m＝ ·2m2，解得 k＝m.因此 PQ∥AB.
②当 m＝－2k 时，直线 l：y＝k(x－2)，
假设存在点 T(x0，0)，使直线 MT，NT 的倾斜角互补，
则直线 MT，NT 的斜率之和为 0.
设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，
，
由
得(3k2＋4)x2－12k2x＋12k2－36＝0，
，
∴Δ2＝(12k2)2－4(3k2＋4)(12k2－36)＞0， 即 5k2＋12＞0 恒成立，
所以|AB|＝
|x1－t|＝
|k－2t|＝
|2t－k|，
|BC|＝
＝·
＝ |2kt＋1|，且 2kt＋1≠0，
所以 2(|AB|＋|BC|)＝
(|2k2t－k3|＋|2kt＋1|)．
所以|2k2t－k3|＋|2kt＋1|＝
(
)
，≤ ，
(
)
，
<≤ ，
(
)
，> .
①当 2k－2k2≤0，即 k≥1 时，函数 y＝(－2k2－2k)t＋k3－1 在 ， 上单
由
મ
， 得 y2－4ny＋4＝0，
，
则Δ＝16n2－16＞0，∴n2＞1，
∴y1＋y2＝4n，y1y2＝4.
设抛物线Γ在点 P，Q 处的切线方程分别为 x＝n1(y－y1)＋x1，x＝n2(y－y2)＋x2，
由
મ
，

， 得 y2－4n1y＋4n1y1－4x1＝0，∴Δ1＝ મ －16n1y1＋16x1
则直线 DE：y＝ (x－2 )．
，
由 ，
得(9－2t2)x2＋8 t2x－16t2－144＝0，
所以 x1＋x2＝ ，x1x2＝
.
·
· ＝(2 －x1，－y1)·(4 －x2，t－y2)－(4 －x1，t－y1)·(x2
－2 ，y2)
＝2x1x2＋2y1y2－6 (x1＋x2)－t(y1＋y2)＋32
＝2，故 a＝1，b＝ .因此 C 的方程为
x2－ ＝1. (2)设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，将直线 PQ 的方程代入 C 的方程得(3－
k2)x2－2kbx－b2－3＝0，则 x1＋x2＝ ，x1x2＝－ ，所以 3－k2<0，所以 x1
－x2＝
＝
.
设点 M 的坐标为(xM，yM)，
程为
＝1.
(2)证明：设 E(4 ，t)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，
当 x＝4 时，即
＝1，解得 y＝±3，则|t|＜3.
因为双曲线的渐近线方程为 y＝± x， 故当直线 DE 与渐近线平行时， 此时和双曲线仅有一个交点，
此时直线 DE 方程为 y＝± (x－2 )，
令 x＝4 ，则 y＝± ，故|t|≠ .
调递减，函数 y＝(2k－2k2)t＋k3＋1 在 ， 上单调递减或是常数函数(当 k＝
1 时是常数函数)，函数 y＝(2k2＋2k)t－k3＋1 在 ，
上单调递增，
所以当 t＝ 时，|2k2t－k3|＋|2kt＋1|取得最小值，且最小值为 k2＋1，
又 k≠2t，所以 2(|AB|＋|BC|)＞
(k2＋1)＝
若选择②③：
证明：因为 PQ∥AB，所以设直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)，并设 A(xA，yA)，B(xB，
yB)，不妨令点 A 在直线 y＝ x 上，则
， 解得 xA＝ ，yA＝ .
，
同理可得 xB＝ ，yB＝－ .
设 AB 的中点为 C(xC，yC)，则 xC＝ ＝ ，yC＝ ＝ . 由于|MA|＝|MB|，故 M 在 AB 的垂直平分线上，即点 M 在直线 y－yC＝－ (x－xC) 上．
44.2-圆锥曲线中的最值与范围、证明与探索性问题-专项训练
1．已知双曲线 C：
＝1(a＞0，b＞0)过点 A(4 ，3)，且焦距为 10.
(1)求 C 的方程；
(2)已知点 B(4 ，－3)，D(2 ，0)，E 为线段 AB 上一点，且直线 DE 交 C 于 G，
H 两点．证明： ＝ .
2．已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，对称轴为 x 轴、y 轴，且点( ，2 )和点 ( ，2)在椭圆 C 上，椭圆的左顶点与抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的距离为 4. (1)求椭圆 C 和抛物线Γ的方程； (2)直线 l：y＝kx＋m(k≠0)与抛物线Γ交于 P，Q 两点，与椭圆 C 交于 M，N 两点． ①若 m＝k，抛物线Γ在点 P，Q 处的切线交于点 S，求证：|PF|·|SQ|2＝|QF|·|SP|2； ②若 m＝－2k，是否存在定点 T(x0，0)，使得直线 MT，NT 的倾斜角互补？若存 在，求出 x0 的值；若不存在，请说明理由．
3．已知双曲线 C：
＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F(2，0)，渐近线方程为 y＝
± x. (1)求 C 的方程； (2)过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2) 在 C 上，且 x1>x2>0，y1>0．过 P 且斜率为－ 的直线与过 Q 且斜率为 的直 线交于点 M，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①M 在 AB 上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
解得 yM＝
＝ xM.
因此，点 M 的轨迹为直线 y＝ x，其中 k 为直线 PQ 的斜率．
若选择①②：
证明：因为 PQ∥AB，所以设直线 AB 的方程为 y＝k(x－2)，并设 A(xA，yA)，B(xB，
yB)，不妨令点 A 在直线 y＝ x 上，
，
则
解得 xA＝ ，yA＝ .
，
同理可得 xB＝ ，yB＝－ .