四川省成都七中高中数学人教新课标A版必修5课件：3.1 不等式的性质 (共32张PPT)

比商法
1 1 4. 已 知 a b 且 ab 0 ， 试 比 较 与 的 大 小. 例1. a b 1 1 ba 解： ab a b
a b 且 ab 0 ，
ba 0.
ba 当 ab 0 时， 即 0， ab ba 当 ab 0 时， 即 0， ab
a b a b 0.
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的 差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容．
怎样比较两个数的大小？
比较两个实数 a 与 b 的大小，归结为判断它们 的差 a － b 的符号，而这又必然归结到实数运算的
符号法则． 比较两个代数式的大小，实际上是比较它们
1 1 1 1 . 0， a b a b 1 1 1 1 0 ， . a b a b
1 试比较 和 1 a 的 大 小. 例2. 设 a R ， 1 a
2 1 a 解： ( 1 a ) 1 a 1 a 1 a2 1 a； 0 当 a 1 时， 1 a 1 a 1 a2 1 a； 当 a 1 且 a 0 时 ， 0 1 a 1 a 1 a2 1 a . 当 a 0 时， 0 1 a 1 a
B

A
在图中，点 A 表示实数 a ，点 B 表示实数 b, 点 A 在点B右边，那么a＞b．
b
B
a
A
若a＞b，则a－b是正数；逆命题也正确． 类似地，若a＜b，则a－b是负数； 若a=b，则a－b=0．它们的逆命题都正确． 这就是说：a b a b 0; a b a b 0;
由正数的相反数是负数 ，得
(a b) 0 ， 即 b a 0 ，
ba (2) b a b a 0
由负数的相反数是正数 ，得
(b a ) 0 ， 即 a b 0 ，
ab
故 ab ba
性质 2
a b且b c a c
3a 5 2a 是同向不等式 . 例如：a 2 a 1，
2 2
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式 .
2 2 a 3 2 a ， a a 5 是异向不等式 . 例如：
不等式的性质：
a b 且 b c a c 性质2 （传递性） c a 或 c b且b a a b a c b c （同加性） 性质3 a b且c 0 ac bc （乘法法则） 性质4 a b且c 0 ac bc 性质5 a b且c d a c b d （同向可加性） ac bd （同向可乘性） 性质6 a b 0且c d 0
ac bc 性质 3 a b 证明： (a c ) (b c ) a b 而 a b ab 0 即 (a c ) (b c ) 0
ac bc a b ac bc ? 想一想：
（同加性）
根据性质 1，得 a b a c b c
第三章
不等式
3.1 不等式的性质
生活中的不等关系 问题 1 ：限速 40km/h 的路标，指示司 机在前方路段行使时，应使汽车的速度
v不超过40km/h.怎样用不等式表示这里
的不等关系？ 0＜v≤40
问题2：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种 . 按照生
的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符 a b ab 0; 号． 即： a b a b 0 ;
a b a b 0.
比差法
怎样比较两个数的大小？
特殊的，两个正数比较大小，可以比较它们 的商与1的大小 a a 0, b 0, 1 a b ; b a a 0, b 0, 1 a b ; 即： b a a 0, b 0, 1 a b . b
产的要求， 600mm 钢管的数量不能超过
500mm 钢管的 3 倍 . 如何用不等式组表示
500x 600 y 4000 上述所有不等关系？ 3x y x0 y0
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的， 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比 左边的点表示的实数大． b
说明： (1) 性质3的逆命题也成立； (2) 由性质3可以得出：
ab c a cb.
即说，不等式中任何一项改变符号后，
可以把它从一边移到另一边。
a b且c 0 ac bc 性质4 a b且c 0 ac bc 证明： ac bc (a b)c . a b， ab 0
3.1(2) 不等式的性质
复 习：
实数的大小顺序与运算性质：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
利用比较实数的方法， 可以推出不等式的性质 .
在推证不等式的性质之前，我们先明确一下同向
不等式与异向不等式的概念. 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式 .
n
性质1
ab ba
（对称性）
n （ n N，且n 1） a b a b 0 （乘方法则） 性质7 n n （n N，且n 2） a b a b 0 （开方法则） 性质8
性质 1
ab
ba
（对称性）
(1) a b a b 0 证明：
或 c b且b a c a 证明： a b ，b c ，
a b 0 ，b c 0 .
由两个正数的和仍是正 数，得
（传递性）
( a b) ( b c ) 0 ，
即 a c 0，
ac.
根据性质1，性质2还可以表示为：
c b且b a c a .