+2.3+确定二次函数的表达式+课件+2023--2024学年北师大版九年级数学下册

1.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则抛物线的解析式为
( B)
A.y=3x2-6x-5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB.y=3x2-6x+1
C.y=3x2+6x+1
D.y=3x2+6x+5
解析:∵抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),∴设抛物线的解析式为
y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,解得a=3,∴y=3(x-1)2-2=3x2-6x+1.故
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
将 （－3，0），（－1，0）和（0，－3）带入解析式中，得
= −
－ + =
－ + = ，解得 = − .
= −
= −
∴二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？
函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a=
1
,
12
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)
之间的函数表达式为y=-
1
(x-4)2+3.
12
总结:
(1)形如y=ax2的二次函数,
因为只有一个系数a是未知
的,所以只需要知道图象上
一个点的坐标即可.
(2)形如y=a(x-h)2和
3个
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上
的点的坐标才能求出来？
3个
【例2】已知一个二次函数的图象经过（-1，10）,（1，4）,（2，7）三
点， 求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解：设所求的二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ， 由已知，将三点（-1，
3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函
y=x2-7x+12
数的表达式是
.
解析:设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数的解
析式y=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.故填y=x2-7x+12.
4.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式





1.方法：待定系数法
2.步骤：
①设：设表达式为y=ax2+bx+c；
②代：将三个点的坐标带入所设的二次函数表达式中；
③解：解三元一次方程组,得到a,b,c的值；
④还原：把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
已知二次函数的图象经过点（－3，0），（－1，0）和（0，－3），
试求出这个二次函数的表达式.
选B.
2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是( D )
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为(1,2),设抛物线
的解析式为y=a(x-1)2+2,将(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得
a=-2,则抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故选D.
(x1, x2为交点的横坐标）
待定系数法
已知条件
求二次函数解析式
所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标
用顶点法：y=a(x－h)2+k
或对称轴或最值
③已知抛物线与
x轴的两个交点
用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)
(x1, x2为交点的横坐标）
2.步骤：
①设：设函数表达式是y=a(x－h)2＋k；
②代：先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④写：a用数值换掉，写出函数表达式.
【例4】选取（－3，0），（－1，0），（0，－3），试求出这个二次函数的表达式.
解： ∵（－3，0）（－1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).
∴得y=a(x＋3)(x＋1).
再把点（0，－3）代入上式得
a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，
∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋3)(x＋1),
即y=－x2－4x－3.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x
1.知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
2.步骤是：
①设：设函数表达式是y=a(x－x1)(x－x2)；
②代：将两交点横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③解：将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④写：a用数值换掉，写出函数表达式.
巩固练习
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
=+
∴
－ = +
=
，解得
= －
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
.
关于y轴
对称
已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二
次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（－2,8）和（－1,5），
= −
二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象
上两点的坐标，可以确定这个二次函数的表达式．
二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 用配方法可化成：y ＝ a（x - h）2 ＋ k，
顶点是（h，k）．如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点 的
坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．
【例3】选取顶点（－2，1）和点（1,－8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x－h)2＋k,
把顶点（－2，1）代入y=a(x－h)2＋k得
y=a(x＋2)2＋1，
再把点（1，－8）代入上式得
a(1＋2)2＋1=－8，
解得
a=－1.
∴所求的二次函数的表达式是y=－(x＋2)2＋1或y=－x2－4x－3.
3
1.知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
= －
∴
，解得
.
= −
= －
∴ y=－x2－6x.
图象经过
原点
对于特殊条件的二次函数， y = ax2+bx， y = ax2+c:
1.特点：①表达式中含有2个未知系数；
②题目中有两个坐标点；
2.解法：
①代：将两个坐标点带入表达式中，得一个方程组；
②解：解方程组；
③写：写出表达式
10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得
=
= − +
= + + ，解得 = − .
= + +
=


∴二次函数的表达式是y=2x2-3x+5. y= 2x2-3x+5=2（x- ）²+ .


∴二次函数对称轴为直线x= ,顶点坐标为（ ， ）.
所以二次函数解析式为y=-(x-2)2+1,展开得y=-x2+4x-3.
课堂总结
通过本节课你学到了什么？
待定系数法
已知条件
求二次函数解析式
①已知三点坐标
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或对称轴或最值
用顶点法：y=a(x－h)2+k
③已知抛物线与x轴的两个交点
用交点法：y=a(x－x1)(x－x2)
九年级下册数学
北师大版
确定二次函数的表达式
新知讲解
生活中有很多类似抛
物线形状的建筑物,如
果你是设计师,你能设
计出这些建筑物吗?
初步探究确定二次函数表达式所需要的条件
如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水
平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?
解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次
5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是A(2,1),且经过点B(1,0),求此抛物线
的解析式.
解析:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将点B(1,0)代入解析式即可求
出a的值,从而得到二次函数解析式.
解:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,
将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1,
y=ax2+k的二次函数,有两个
系数是未知的,所以需要知
道图象上两个点的坐标即
可.
(3)形如y=a(x-h)2+k的二
次函数,如果已知二次函数
的顶点坐标,那么再知道图
象上的一个点的坐标就可
以确定二次函数的表达式.
【例1】已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个
二次函数的表达式．
2-2x-3
y=x
为
.
解析:∵抛物线过(0,-3),∴c=-3,设二次函数的表达式
为y=ax2+bx-3, 把(-1,0),(3,0)分别代入二次函数表达式
y=ax2+bx-3中,得 a b 3=0，

9a 3b 3 0.
a =1，
解这个方程组,得b 2.

∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.故填y=x2-2x-3.