1987年考研数学三

1987年考研数学三
一、判断题.
（1）∞=→x
x e 10
lim . （ ）
（2）
⎰-
=π
π
0sin 4xdx x . （ ）
（3）若级数
∑∞
=1
n n
a
与
∑∞
=1
n n
b
均发散，则级数
∑∞
=+1
)(n n n
b a
必发散. （ ）
（4）假设D 是矩阵A 的r 阶子式，且0≠D ,但含D 的一切1+r 阶子式都等于0，那么矩阵A 的一切1+r 阶子式都等于0. （ ） （5）连续型随机变量取任何给定实数值的概率等于0. （ ）
二、选择题.
（1）下列函数在其定义域内连续的是 （ ）
(A)x linx x f sin )(+=
(B)⎩⎨
⎧>≤=0
cos 0
sin )(x x x x x f
(C)000,1,0,1)(>=<⎪⎩
⎪
⎨⎧-+=x x x x x x f
(D)⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠=0
001)(x x x
x f
(2) 若)(x f 在),(b a 内可导且b x x a <<<21，则至少存在一点ξ，使得 （ ） (A) ()()b a a b f a f b f <<-'=-ξξ)()()(
(B)()()b x x b f x f b f <<-'=-ξξ111)()()( (C)()()211212)()()(x x x x f x f x f <<-'=-ξξ
(D)
()()222)()()(x a a x f a f x f <<-'=-ξξ
（3）下列广义积分收敛的是 （ ） (A)dx x
x e
⎰
+∞
ln (B)⎰
+∞
e
x
x dx
ln (C)
()
⎰
+∞
e
x x dx
2
ln
(D)
⎰
+∞
e
x
x dx
ln
（4）设n 阶方阵A 的秩n r A r <=)(，那么在A 的n 个行向量中 （ ） (A)必有r 个行向量线性无关
(B)任意r 个行向量都线性无关
(C)任意r 个行向量都构成极大线性无关向量组 (D)任意一个行向量都可以由其他行向量
线性表示
（5）若两件事A 和B 同时出现的概率()0=AB P ,则 （ ） (A)A 和B 不相容（互斥）
(B)AB 是不可能事件. (C)AB 未必是不可能事件
(D)()0=A P 或()0=B P
三、计算下列极限. （1）求极限(
)x
x x xe
10
1lim +→
（2）已知1
111ln
2
2++-+=x x y ，求y '.
（3）y
x y
x z -+=arctan
，求dz （4）求不定积分dx e
x ⎰
-1
2.
四、考虑函数x y sin =，2
0π
≤
≤x .问
（1）t 取何值时，右图中阴影部分的面积21,S S 的面积之和最小？ （2）t 取何值时，面积21S S S +=最大？
五、将函数2
31
)(2+-=x x x f 展开成x 的幂级数，并指出收敛区间.
六、计算二重积分
⎰⎰D
x dxdy e 2
，其中D 是第一象限中由直线x y =和3
x y =围成的封闭区
域.
七、已知某商品的需求量x 对价格p 的弹性33p -=η，而市场对该商品的最大需求量为1（万件）求需求函数.
八、解线性方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-3
37713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x
九、设矩阵A 和B 满足B A AB 2+=，求矩阵A ，其中⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=321011324A .
十、求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----=101410213A 的实特征值及对应的特征向量.
十一、已知随机变量X 的概率分布为{}2.01==X P ,{}3.02==X P ,{}5.03==X P .试写出X 的分布函数()X F .
十二、假设两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中
18件一等品.现在从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件不放回），试求：
（1）先取出的零件是一等品的概率p ：
（2）先取出的零件是一等品的情况下，第二次取出的零件还是一等品的条件概率q .。