BB52常数项级数的判敛法

定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1 )u n u n 1 ( n 1 ,2 , ) ;
2) lim un0,
n

则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 Su1, 其余项满足
n1
rn un1.
23
证: S 2 n ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 n 1 u 2 n ) 0 S 2 n u 1 ( u 2 u 3 ) ( u 4 u 5 ) ( u 2 n 2 u 2 n 1 ) u2n u1
说明 : 1 时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
1 n1 n p
:
un

1 np
,
n
un


n1n
p
1(n ) 但
p1, 级数收敛 ; p1, 级数发散 .
21
例1：判断下列级数的敛散性
1.
n n1 2 n
解： u n

n 2n
S2n 是单调递增有界数列, 故 n l i m S2nSu1 又 n l iS 2 m n 1 n l i(S m 2 n u 2 n 1 )nl im S2n S
故级数收敛于S, 且 S u1, Sn的余项: rnSSn (u n 1 u n 2 ) r n u n 1 u n 2 un1
lim n p n
un
l
n l i m n p unl
对正项级数 un, 可得如下结论 :
p1, 0l
un发散
p1, 0l
un收敛
10
例5

判别级数
1
的敛散性
n1(n1)(n2)
解:

un
1 (n1)(n2)
vn

1 n2
lim u n lim n2
由比较判别法可知 p>1 时，p 级数收敛。 5
P级数 当 当pp11时 时,,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 NZ, 对一切 nN,
(1)
un

1 n
,

则un 发散;
n1
(2)
unn1p
(p1),
limn n
vn

lim
n
n
4 3n
1 3
由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。 22
二 、交错级数及其审敛法
设 u n 0 ,n 1 ,2 , ,则各项符号正负相间的级数 u 1 u 2 u 3 ( 1 ) n 1 u n
称为交错级数 .
n 1
v n 12(un un )
(n1,2, )

显然 vn 0, 且 v n un , 根据比较审敛法 v n 收敛,
n 1
un2vnun


u n , 2 v n 收敛
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1

1 n2

limn2
n

1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知
n1ln1n12
收敛.
14
例10. 判别级数
tan
n 1

n2
的敛散性 .
解:
nl im n2tann2
lim n 2 n
n2
unkvn (常数 k > 0 ), 则有
1、 若级数（2) 收敛 , 则级数(1) 也收敛 ;
2、 若级数（1） 发散 , 则级数（2） 也发散 .
证略
3
例1：判断下列级数的敛散性
1.
1 n1 n 2
2. 1 n1 n
解 1：
un

1 n2

vn

1
nn1
而
1
n2 nn 1 收敛
2）若 p1,顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起
1 2 1 p 3 1 p 4 1 p 5 1 p 6 1 p 7 1 p 8 1 p 1 1 p 5
1 2 1 p 2 1 p 4 1 p 4 1 p 8 1 p 8 1 p 121 p121 p1221 p13此式q21p1收敛
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
n un
例如, p – 级数
1 n1 n p
:
lim u n 1 n un

lim
n
(n
np 1)
p
1
p1, 级数收敛 ;
但
p1, 级数发散 .
16
例1：判断下列级数的敛散性
1.
n n1 2 n
解： u n
n 1
n 1
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称

原级数 u n 条件收敛 .
n 1
例如 ： (1)n1 1 为条件收敛 .
n1
n
(1)n1 1 ,
n1
n!
n1(1)n11n0n 均为绝对收敛.
26
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .

证: 设 u n 收敛 , 令
n 1
nn
n !2
用比值法知级数收敛，
nn

nl im un
lim
n

n
!
2
0
20
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)

设 u n
n 1
为正项级数, 且 nl i mnun, 则
(1)当 1时 ,级数收 ; 敛
(2)当 1时 ,级数发 . 散 证明略
的敛
散.
性
un
1 n2n
1 2n

而级数
1
收敛
2n
n1

级数
n1
1 n2n
收敛.
8
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数


un, vn
n1 n1
满足 lim un l, n vn
则有
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;



则un
n1
收敛.
6

例3. 证明级数
n1
证: 因为
1 n(n 1) 发散 .
1 n(n1)
1 (n1)2
1 (n1,2,) n1
1
而级数 n 1 n 1
1 n2 n
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
7
例4
解:
判
别级数1 n1 n2n

n 2n

lim un1 n un
limn n2
1
n 1

2n n

1 2

1
由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。
2.
n! n1 2 n
解：u n

n! 2n
lim un1 n un
lim
n
n!2nn11
2n n!

由正项级数的比值判别法可知原级数发散。
11
n2 nn 1
由比较判别法可知原级数收敛
解
2：
un
1 n

vn

1 n
1 1 nn
而


n
1
1 n
发散 , 由比较判别法可知原级数发散
4
例的解2n.敛:讨11n1散)论若性发p.散p级数,1由, 比因1 较为21 审对p 敛一3法切1p可 n 知Zpn级1 ,pn 数1 p n1n1(常n1而p 数发调p散和>级.0)数
3.

3n
n1n1 n2
解： un n13nn2
limun1 n un
lim n
n13 n1 n21 n2 n n3
比值判别法失效！
17
3.

3n
n1n1 n2
用比较法！
解 因分母的最高次数与分子的最高次数之差为
31 7 23 6
(2) 当 l = 0 且vn收敛时 , un 也收敛;
n1
n1
(3) 当 l =+∞

且vn

发散时, un
也发散.
n1
n1
证明略！
9
un,vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
当 0l时, 两个级数同时收敛或发散 ;
特别取
vn

1 np
,
lim u n n vn

” 若 u n 收敛 , 则 Sn收,敛 故有界.
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,

又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
2
定理2 (比较审敛法) 两个正项级数,

un , 1
n1

vn 2
n1
且存在 NZ , 对一切 nN, 有

根据比较审敛法的极限形式知

n1

tann2
收敛.
tan

n2
~
n2
15
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
un
n 1
为正项级数, 且 limun1 , 则
n un
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当1或 时, 级数发散 .

lim
n
e nn (1 n)
n
lim n
比值法失效，但

1
e 1
n

n
1
11nn是随 n的增大单调上e的 升， 趋于
对任 n都 何u有 n11, 故级数发散。
un
19
例2：求证
lim
n
nn
n !2

0
解：考虑以 n n
n !2

为通项的级数
limn
n
un
lim n n
n 2n

1 2
由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。
2.
nn n1 e n
解：u n

nn en
limn
n
un

lim
n
n e

由正项级数的根值判别法可知原级数发散。
3.
31n
n1 3n
解：un33n1n 34n vn
第二节
第五章
常数项级数的判敛法
一、正项级数的判敛法 二、交错级数及其审敛法 三、任意项级数的判敛法
1
一、正项级数及其审敛法

定义 若 un 0, 则称 u n 为正项级数 . n 1
定理 1. 正项级数 u n 收敛
部分和序列Sn
n 1
S1,S2,S3 Sn 有界 .
证: “
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n !
3)
n n110 n
.
n
un

1 10
发散
收敛
收敛
25
三、任意项级数的判敛法

定义: 对任意项级数 u n , u n 可正可负可为零。

n 1

若 u n 收敛 , 则称原级数 u n 绝对收敛 ；
12
例7：1. 判别级数的敛散性:
(1) n1ln(n11) ;

(2)
n1
n
1
n
n
p级数:n1n1p
.
不是 p–级数
解: (1)
lnn (1)n1,
1 ln(n1)
1 n1
1 发散 , 故原级数发散 .
n1 n 1
(2)

lim
n
nn
1
n
n
则取
vn
1
7
1
n6
lim
n
un vn

lim
n
7
n6
n
n3
1n

1
22
1


vn
1
7
n1
n1 n6
为 p 级数，且 p>1, 则原级数收敛。
18
4.
n1
n!
e n n
解：
lim lim un1
u n n
en1n!(n1) n n n (n1)n1 e n n !
24
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 ) 1 1 1 1 ( 1 )n 11 收敛
234
n
2 ) 1111 ( 1 )n 11 收敛
2! 3 ! 4!
n!
3 )1 1 1 0 2 2 0 1 3 3 0 1 4 4 0 ( 1 )n 1 1 n n 0 收敛
1
n v n n (n1(n2)

而级数
1收敛
n2
n1

级数
1 收敛
n1(n1)(n2)
11
例6. 判别级数

n
n1n1n2n3
的敛散性.
解:
lim n 2
n
n
n1n2n3 1
根据比较审敛法的极限形式知原式收敛。

lim
n
1 nn
1
故原级数发散 .
13
例8. 判别级数

sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例9. 判别级数

ln
n1
1
1 n2
的敛散性.