误差理论和测量平差 第二讲

国土信息与测绘工程系教案（首页）
班级：课程：误差理论与测量平差授课日期：2005年月日第周A.提出问题，导入新课
观测必然有误差，没有误差的观测数据是不存在的。

咋样衡量和评定带有误差的观测数据－测量精度的概念。

本次课程的内容：衡量精度的指标。

B.授课章节名称： 2.1 正态分布，§2.2 偶然误差的概率特性，§2.3 衡量精度的指标
教学要点：
1、正态分布，偶然误差的概率特性
2、方差和中误差，平均误差、或然误差、极限误差、相对误差的基本概念重点：
1、随机变量方差和中误差的表述
2、其它精度指标与中误差的理论关系
难点：
1、观测数据的精度、准确度和精确度的概念、区别和联系
2、随机变量各种精度指标的理论值和估计值的关系
C.教学过程设计
一维正态分布的密度函数
度维正态分布的密度函数
偶然误差的概率特性
方差和中误差
平均误差
或然误差
极限误差 相对误差
一些需要注意的问题 课堂习题 作业题布置
第二讲
开场白：同学们我们上一节课学习了测量平差的基本概念，知道测量必然带来误差，没有误差的观测数据是不存在的。

并且学习了测量误差的分类及其各种误差的基本性质，我们本课程的学习内容是只带有偶然误差的数据处理，偶然误差服从正态分布，希望大家认真复习好所学过的概率和数理统计方面的知识。

本次课程我们将学习如何来衡量观测结果的精度。

第二章 误差理论基础
§1.1正态分布
无论在理论还是在实用上，正态分布都是一种重要的分别，这是因为： （1）设有相互独立的随机变量1X ，2X ，…n X ，其总和为∑=
i
X
X ，无论这些随
机变量原来服从什么分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和X 的影响都是均匀地小，也就是说，没有一个比其它的变量占有绝对优势，那么，其总和X 将是服从或近似服从正态分布的随机变量。

当我们对某个量进行观测时，总是不可避免地受到许许多多偶然因素的影响，其中每一个因素都引起基本误差项，而总的测量误差∆则是这一系列个别因素引起的基本误差项1δ，
2δ，…n δ之和，即∑=∆i δ，如果每一个δ对其总和∆的影响都是均匀的小，那么总和
测量误差∆就是服从正态分布的随机变量。

（2）有许多种分布，例如在后面章节要提到的二项式分布，t 分布，2
χ分布等等，当
∞→n 时，它们多趋于正态分布，或者说，许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。

由此可见，正态分布时一种常见的概率分布，是处理观测数据的基础。

在观测值仅含偶然误差的情况下，精度与观测质量具有相同的含义，它与误差的分布状
况有着直接的关系，并取决于测量条件。

测量条件好，误差分布的离散度小，观测质量高，精度高；测量条件差，误差分布的离散度大，观测质量低，精度也低。

测量条件相同，误差分布的离散度相同，观测质量相同，也就是等质量或等精度观测。

一、一维正态分布
服从正态分布的一维随机变量x 的概率密度函数是：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=222)(exp 21
)(σμπσx x f ，∞<<∞-x 其中μ和σ是分布密度的两个参数。

正态分布也称为高斯分布。

对一维随机变量x 服从参数为μ和σ的正态分布，一般记为x ～),(σμN 。

一维正态随机变量x 的数学期望和方差分别为
μ==⎰
+∞
∞
-xdx x f x E )()(
[]{}
[]22
2
)()()()(σ=-=-=⎰
+∞
∞
-dx x E x x f x E x E x D
在推导过程中需要注意到
02exp 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎰∞
+∞-dt t t ，π22exp 2=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎰∞+∞-dt t
一维正态随机变量x 出现在给定区间),(σμσμk k +-内的概率是：
dx x E x dx x f k x k P k k k k ⎰⎰
+-+-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==+<<-σ
μσμσ
μσ
μσπσσμσμ222))((exp 21
)()( 如果令
σ
μ
-=
x t
则上式变为
dt t dt t k x k P k
k
k ⎰
⎰++-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
+<<-0
222exp 222exp 21
)(π
πσμσμ
由概率论知道
683.0)(≈+<<-σμσμx p
955.0)22(≈+<<-σμσμx p 997.0)33(≈+<<-σμσμx p
二、N 维正态分布
服从N 维正态分布的随机向量T
n x x x X ),,,(21 =的概率密度函数是：
()
[][]⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=
-X XX T X n XX
X D X D X f μμπ1
2
2
121exp 21
)(
N 维正态随机变量T
n x x x X ),,,(21 =的数学期望和方差分别为
X XdX X f X E μ==⎰
+∞
∞
-)()(
[]{}
[]XX D dX X E X X f X E X E X D =-=-=⎰+∞
∞
-2
2
)()()()(
其中
X n n x E x E x E X E μμμμ=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()()(2121 [][]{}
T
XX X E X X E X E D )()(--=
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=222
21
22
1212
11n n n n n x x
x x x x x x
x x x x x x x σσσσσσσσσ
这里2
i x σ是第i 个随机变量的方差，j i x x σ是第j 个随机变量的互协方差。

、
§2.2偶然误差的概率特性
一、偶然误差的分布和统计性质
前已指出，偶然误差是由无数偶然因素影响所致，因而每个偶然误差的数值大小和符号
正负都是偶然的（或随机的）。

然而，反映在个别事物上的偶然性，在大量同类事物的统计分析中却呈现出一定的统计规律性。

例如，一个具有一定技术水平的射手进行射击实验，假设仅考虑许多偶然因素的影响，每发射一弹命中靶心的上、下、左、右都有可能，但当射击次数足够多时，弹着点就会呈现出明显的规律性，即越靠近靶心越密；越远离靶心越稀；差不多以靶心为对称点。

偶然误差具有与之类似的规律性。

为寻求偶然误差的规律性，下面通过测量实例来说明。

某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的全部内角，由
0180-++=∆i i i i C B A 算得各三角形的闭合差。

由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性
影响，这些三角形闭合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。

它们的数值分布情况列于下面的表内（等于分界数值的闭合差，统计在数值小的区间中）。

表2.2.1
考察这一统计表，不难发现如下的规律：（1）这些闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说超出一定界限的闭合差出现的概率为零；（2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现的概率要大；（3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。

上述情况，不仅表现于这个例子里，在大量的测量结果中，偶然误差都有与此完全一致的规律性。

为了对偶然误差的分布情况有个更直观的了解，并为进一步从理论上加以探讨，可按下述方法作出以上实例的解析图。

具体作法是先在横轴上截出表中的各误差区间并以之为底，再以误差出现于相应区间的频率除以区间间隔∆d （此处取5.0''=∆d ）的商为高，即，作一系列长方形，则得如图2.2.1所示的直方图。

图中每一长方形面积即为误差出现于该相应区间的频率，长方形面积之和等于1，长方形的高则表示相应区间的误差分布密度。

这种图通常称为直方图，它形象地表示了误差的分布情况。

由此可知，在独立等精度条件下所得的一组观测误差，只要误差的总个数n 足够多，那么，误差出现在各区间的频率总是稳定在某一常数附近，而且当观测个数愈多时，稳定程度愈高。

如表2.2.1，如果在观测条件不变的情况下，再继续观测更多的三角形，则可以预见，随着观测个数的增加，误差出现在各区间的频率其变动的幅度也就愈来愈小，当∞→n 时，各频率将趋于一个完全确定的值，这个值即为误差出现在各区间的概率。

这就是说，一定的测量条件对应着一种确定的误差分布。

实际上误差的取值是连续的，当设想误差个数无限增多，所取区间间隔无限缩小时，则图2.2.1的直方图中各长方形上底的极限将形成一条连续曲线，设以)(∆f 表示，则得如图2.2.1所示的光滑曲线。

图中的曲线即为偶然误差的概率分布曲线，又称为偶然误差的分布密度曲线。

这一曲线与正态分布密度曲线极为接近，所以一般总是认为，当∞→n 时，偶然误差的频率分布是以正态分布为其极限的。

理论上，可由概率论中的中心极限定理给出证明。

中心极限定理指出：若随机变量y
是众多随机变
图2.2.1
5
.0ω
）
－－图（121
量),,2,1(n i x i =之和，n x x x y +++= 21，如果i x 相互独立，且对y 的影响均匀的小，则当n 相当大时，随机变量y 趋于服从正态分布。

偶然误差正是这一类型的随机变量，即，
n ∆++∆+∆=∆ 21。

通过上面的分析讨论，可用概率的术语将偶然误差的规律性阐述如下：
（1）在一定的测量条件下，偶然误差的数值不超过一定限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零。

（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。

（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同。

这就是偶然误差的三个概率特性，或简称偶然误差三特性。

这三特性可简要概括为：界限性、聚中性及对称性，它们充分揭示了表面上似乎并无规律性的偶然误差的内在规律。

掌握这一规律并加以运用，在本课程中是很重要的。

偶然误差的界限性表明，在一定测量条件下，偶然误差的数值是有一定范围的。

因此我们可以根据测量条件来确定偶然误差出现的界限。

显然测量条件愈好，可能出现的最大偶然误差愈小；反之，则愈大。

所以界限性是以后讨论极限误差的理论依据。

偶然误差的聚中性表明，偶然误差愈接近零，其分布愈密，而且易知，对于较好的测量条件这一特性也必相对明显和突出。

偶然误差的对称性表明，正负偶然误差的分布对称于零，故其密度函数必为偶函数，于是得偶然误差的数学期望
0)()(=∆∆∆=∆⎰+∞
∞
-d f E (2.2.1)
这说明，偶然误差有相互抵消性，当误差个数足够多时，其算术平均值应趋于零，即
01lim 1
=∆∑=∞→n
i i n n (2.2.2) 此式与（2.2.1）式在含义上是一样的。

由此又知，偶然误差的分布即以其数学期望为对称中心，此中心常称作离散中心或扩散中心。

二、真值的统计学定义
误差是相对于绝对准确而言的。

反映一个量真正大小的绝对准确的数值，称为这一量的真值。

通过量测直接或间接得到的一个量的大小称为这个量的观测值。

与真值相对应的，凡以一定的精确程度反映这一量大小的数值，都统称之为此量的近似值或估计值，又简称估值。

一个量的观测值或平差值，都是此量的估值。

设以L ~
表示一个量的真值，L 表示它的某一观测值，∆表示观测误差，则有
∆+=L L ~
(2.2.3)
这里∆是相对于真值的误差，称为真误差。

真值通常是无法测知的，自然真误差也无法获得。

但是在一些情况下，有可能预知由观测值构成的某一函数的理论真值。

例如：以1L ，2L ，3L 表示平面三角形三内角的观测值，三内角和的理论真值为0
180 则是已知的。

若以w 表示三内角和的真误差，即三角形闭合差，则得
)(1803210L L L w ++-= (2.2.4)
因为三角形闭合差的真值为0，可得 w w w =-=∆0，故w 也可理解为三角形闭合差的真误差，
又如，当对同一个量观测两次，设观测值为1L 和2L ，该量真值为L ~
，且以d 表示两次观测的差数的真误差，可得
2121)()(L L X X L L d -=---= (2.2.5)
由此可见，两次观测值的差值d 就是差值的真误差。

差值d 又称较差。

一个量的真值即准确反映其真正大小的数值。

由于自然界中的一切事物都是在不停地发展变化着，作为测量对象的任何一量也不会例外，它的真正大小也是随时随地变化的。

所以一个量的真值，只能是指该量在观测瞬间或变化极微的一定时间段内的确切大小。

按照这一观点，一个量的客观真值是真实存在的，但是由于观测误差的不可避免，依靠观测所得到的只能是某些量一定意义下的估计值。

所以，真值一般是无法确知的理论值。

依照统计学的观点，对（2.2.3）式取数学期望并顾及（2.2.1）式得
)(~
L E L = (2.2.6)
此式表明，一个量仅含偶然误差的观测值的数学期望，就是这一量的真值。

此即真值的统计学定义。

将（2.2.6）式代入（2.2.3）式，即得真误差的表达式
L L E L L -=-=∆)(~
(2.2.7)
这里的真误差∆仅仅包含偶然误差。

由此可知，偶然误差间的相互差异与对应观测值之间的相互差异相同。

故观测值L 与它所带有的偶然误差∆具有类型一致的分布——正态分布。

且可看出，∆就是L 的中心化随机变量。

在图2.2.1中，若以横轴表示L ，0=∆处对应换作)(L E ，则图中曲线即观测值的分布密度曲线。

偶然误差真误差∆和观测值L 的密度函数分别是
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆-∆-=∆2
2222exp 21
2)(exp 21
)(σπσσπσE f (2.2.8) ()⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=222)(exp 21
)(σπσL E L L f (2.2.9) 易知，偶然误差∆服从正态分布),0(2
σN 。

当参数σ确定后，即可画出偶然误差所对应的误差分布曲线。

当σ不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。

σ愈小曲线顶点愈高，形状愈陡峭，也就是分布愈密集于随机变量的数学期望附近，故参数σ代表的是随机变量分布的离散特征。

如图2.2.2所示，其中21σσ>。

误差分布的离散程度的数值←→精度，实际工作中，通过子样统计，得出在一定测量条件下观测精度的估计数值，因此精度评定也称为精度估计。

§2.3 衡量精度的指标
∆
图2.2.2
在观测值仅含偶然误差的情况下，精度与观测质量具有相同的含义，它与误差的分布状况有着直接的关联，它们都取决于测量条件。

测量条件好，误差分布的离散度小，观测质量高。

测量条件差，则误差分布的离散度大，观测质量低。

同等测量条件下，误差分布的离散度相同，此时所获得的测量结果应视为有同等的质量。

给出确定的数值，用以表示一定测量条件下测量结果的质量，即为精度评定。

观测质量好即精度高；观测质量差即精度低。

反映误差分布离散程度的数值正可作为衡量精度的指标。

这也就是说，标志精度的数值应经统计得出。

显然，只有将一定测量条件下所有可能出现的误差都计算在内，即从误差的总体分布中，才能得出反映这一测量条件下观测精度的真实数据。

这在实际工作中是不可能做到的。

可行的只能是通过对有限个误差的统计，即通过子样统计，得出代表一定测量条件下观测精度的估计数值。

所以精度评定又称为精度估计。

常用的精度估计标准，有以下几种。

一、方差和中误差
仅含有偶然误差的观测值L 是随机变量，它服从正态分布，其概率密度函数是：
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=222)(exp 21
)(σμπσL L f (2.3.1) 其中
⎰+∞
∞
-==LdL L f L E )()(μ (2.3.2)
[]{}
[]⎰+∞
∞
--=-==dL L E L L f L E L E L D L 222
)()()()(σ (2.3.3)
分别是观测值L 的数学期望和方差。

而
[]{}
2)()(L E L E L D L -==σ (2.3.4)
称之为观测值L 的中误差。

由于观测值L 和其真值L ~的关系是：∆+=L L ~，μ==)(~
L E L ，所以观测值L 的真误差∆的概率密度函数是：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆-=∆22222exp 21
2))((exp 21
)(σπσσπσE f (2.3.5) 其中
0)()(=∆∆∆=∆⎰+∞
∞
-d f E (2.3.6)
[]{}
{}⎰+∞∞
-∆∆∆∆=∆=∆-∆=∆=d f E E E D 2222
)()()(σ (2.3.7)
真误差∆的中误差是：
[]{}
)()()(22∆∆-∆=∆=∆E E E D ＝σ (2.3.8)
可见观测值L 的方差、中误差和其真误差∆的方差、中误差相同。

在相同的测量条件下观测值L 和其真误差∆的方差计算公式是：
[]n
n
D L D n i
n ∆∆=∆
=∆==∞
→∞
→∑lim
lim
)()(22
σ
(2.3.9)
其估计值是
[]n
n
i
∆∆±
=∆
±=∑2
ˆσ
(2.3.10)
显然当∞→n 时，22ˆσσ
→。

二、平均误差
定义：在一定测量条件下，一组独立的偶然真误差绝对值的数学期望称为平均误差，并用θ表示，即
σσπ
σσπσσσπ
σπσθ5
4222exp 222exp 222exp 21
)(0
22220
2
222≈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--=∆∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆-=∆⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∆-∆=∆
∆∆⎰⎰
⎰⎰
∞
∞
∞
∞
∞
∞
d d d d f －－＝ (2.3.11)
在相同的测量条件下观测值L 和其真误差∆的平均误差估值的计算公式是：
σσπθˆ54ˆ2ˆ≈＝或者[]n
∆±=θˆ (2.3.12)
三、或然误差
定义：随机变量L 出现在区间),(b a 的概率是⎰
=
<<b
a
dL L f b L a P )()(，则对于偶然
真误差∆来说，出现在区间),(ρρ-的概率是0.5，那么偶然真误差∆的或然误差就是ρ，即：
5.0)(=∆∆⎰+-
ρ
ρd f 。

对于服从正态分布的偶然真误差，有
5.02exp 21
)(22＝＝⎰⎰+-+-
∆⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∆-∆∆ρ
ρ
ρ
ρ
σπσd d f 令σ∆=t ，dt d σ=∆
5.02exp 22)(0
2＝＝
⎰
⎰++-
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∆∆σ
ρρ
ρπ
dt t d f →查表可知
σσρ3
26745.0≈≈
在相同的测量条件下观测值L 和其真误差∆的或然误差估值的计算公式是：
σρ
ˆ3
2
ˆ＝ 或者 {}n mid ∆⋅⋅⋅∆∆∆=,,,ˆ321ρ ** 注意：
（1） 只有当观测次数n 较多时，σ、θ和ρ才能够比较准确地反映测量的精度。

（2） 当观测次数n 较少时，σ、比θ和ρ更可靠反映测量的精度。

（3） 一定的测量条件对应于确定的σ、θ和ρ数值，反之亦然。

（4） 等精度观测是指每次观测的σ或者（θ和ρ）相同，并非指每次观测的真误差相同。

（5） 由一系列等精度观测结果求得的σ、θ和ρ，反映了这一系列观测结果的精度，它
又是其中每个单一观测值的精度，也可以是相同测量条件下另外一系列观测结果的
精度。

四、极限误差
若观测值L 和其真误差∆是仅含有偶然误差的随机变量，并且真误差∆服从
),0(2σN ～∆的正态分布，则真误差∆出现在各种区间的概率是：
683.0)()(≈∆∆=<∆<-⎰+-σ
σ
σσd f P
955.0)()22(22≈∆∆=<∆<-⎰+-σ
σσσd f P 997.0)()33(33≈∆∆=<∆<-⎰
+-σ
σ
σσd f P
一般以2倍或3倍的中误差作为偶然真误差的极限，即
σ)3(2＝限∆
注意：极限误差知识真误差的限值，在测量上只有闭合差才是真误差，所以通常把极限误差用作求闭合差的允许值上。

五、相对误差
定义：某一物理量观测的中误差与其观测值之比，并归一化，称为这个观测量的相对误差。

举例···
在导线测量中，点位误差是测角误差和量距误差的合并影响，故二者的精度应当取得一致。

纵向相对误差S
S ∆＝ 横向相对误差ραα'
''
'∆∆=∆＝弧度＝
)(S u 应当：
ρ
α''''∆∆＝S S
练习题：
[1] 已知独立等精度观测某三角锁段共得15个三角形，其闭合差如下表所示。

试求任意三角形的和的中误差、平均误差和或然误差。

[2] 为了鉴定经纬仪的精度，对已知水平角（3000450
'''）观测了6次，观测结果如下。

求观测值的中误差、平均误差和或然误差。

7000450'''、5595440'''、8595440'''、4000450'''、9595440'''、7595440'''
[3] 已知两种测量条件下的真误差分别如下：Ⅰ1,0,2,-2,-1；Ⅱ-2,3,-2,2,-3。

试比较两组观测结果的精度，并求观测序列Ⅰ的每一观测值的精度。

[4] 已知导线测量中，距离观测值是mm m 21000±。

求角度观测值以什么样的精度才能与其匹配。

[5] 已知导线测量中，距离观测值是m 500，角度中误差是1''±。

求边长观测值以什么样的精度才能与点位的横向误差匹配。

[6] 已知某段距离的观测值及其中误差是mm m 948.652±。

求1)估计该观测值的真误差可能出现的范围，2)该观测值的相对中误差。

[7] 设两个长度的观测结果是cm m S 46001±=，cm m S 34002±=。

求两个观测结果真误差可能出现的范围，以及断定那个观测结果的精度高。