有限元法的发展及在塑性加工研究中的应用

有限元法的发展及在塑性加工研究中的应用
金属成形过程的研究方法大致可分为三类[33]：第一类是基于经典塑性理论的解析方法，其中包括：①精确地联立求解塑性理论基本方程的数学解析法。

②将平衡方程和塑性条件简化后联立求解塑性理论基本方程的主应力法。

③针对平面问题提出的滑移线法。

④基于能量守恒原理的能量法和上限法；第二类是以实验数据为分析基础的实验力学研究方法，如视塑性法、网格法、密栅云纹法等；第三类是随着塑性理论和计算机应用的发展，由传统的方法演化出来的数值方法，主要包括：①上限元法(UBET)，②矩阵算子法，③有限差分法(FDM)，④加权余数法(WRM)，⑤边界元法(BEM)，⑥有限元法(FEM)等。

近年来，随着计算机技术的发展和普遍应用，对塑性成形问题的求解起到了很大的促进作用。

金属成形过程伴随着很大的塑性变形，既存在材料非线性（应力与应变之间的非线性），又有几何非线性（应变与位移之间的非线性），变形机制十分复杂。

加上复杂的边界条件以及数学上的困难，使得成形过程的求解十分复杂。

有限元法是20世纪60年代提出的一种分析方法，已能在考虑变形热效应以及工件与模具、周围介质热交换的情况下，确定变形体内的应力、应变和温度情况。

成形过程的设计一般依赖于图表、经验公式等传统的经验设计，这对于工艺设计复杂而工艺参数控制要求严格的精确塑性成形而言，其浪费会更大，有限元数值模拟方法在计算机上再现了零件的制造过程，使人们能够直观、全面地了解成形过程。

精确塑性成形需要高质量的控形和控性来保证，通过模拟可以在零件实际制造前，发现成形条件和工艺中可能存在的问题及缺陷，优化成形工艺，提高生产效率，降低生产成本，是一种非常有效的研究方法。

有限元法所以能获得如此广泛应用，与计算机技术的发展、特别是模拟的实践指导与应用密切相关。

有限元模拟有其独特的优越性，通过模拟计算可以作为试验设计依据，从而简化试验，降低试验成本、避免多次试验的尝试和反复修改。

计算机数值模拟技术已成为研究和发展先进塑性成形理论和技术的强有力工具，为高质量、低成本、短周期地实现塑性成形产品的开发创造了有利条件。

有限元法是对塑性成型过程进行数值模拟的最有效方法。

可以比较精确地求解变形过程中的各种场变量，如速度（位移）场、应变场和应力场等，从而为变形工艺分析提供科学依据和具体实践的指导。

Marcal和King[34]于1967年最早提出了弹塑性有限元，它同时考虑弹性变形和塑性变形，弹性区采用Hook定律，塑性区采用Prandtl-Reuss方程和Mises屈服准则。

1973年S.Kobayashi和C.H.Lee[35]针对弹塑性有限元法存在的问题提出了所谓“矩阵法”的刚塑性有限元法，用来分析金属塑性成形问题。

这类有限元法不计弹性变形，采用Levy-Mises 方程作为本构方程，满足体积不变条件，并采用率方程描述，变形后物体的形状通过在离散空间上对速度积分而获得，从而避开了有限变形中几何非线性问题。

近年来，刚塑性有限元法己被广泛应用并解决了许多金属塑性成形问题。

与此同时，针对刚塑性有限元法在求解过程中存在的一些问题，提出了各种相应的解决方法，如处理材料不可压缩条件的Lagrange乘子法[35]、罚函数法[36]和体积可压缩法[37]等。

O.C.Zienkiewicz[38]等将刚塑性材料看作是非牛顿不可压缩粘性流体，导出了刚粘塑性有限元求解列式，并于1972年提出了刚粘塑性有限元法。

针对以上提出的模型，后人根据具体材料的不同情况进行了大量的模拟试验，使这些有限元方法得到了广泛的应用，同时结合实际对模型进行修正，促进有限元模拟在生产的指导作用[39~43]。

N.L.Dung等[39]采用刚塑性有限元法，对涡轮叶片精锻过程进行了二维有限元模拟，在模拟过程中采用三角形和四边形的混合单元，并采用Lagrange乘子法处理体积不可压缩条件，对金属在对称和不对称的上下模的作用下的流动情况进行了对比分析。

王梦寒等[42]用刚粘塑性有限元法对油泵定了温挤成形过程的模拟分析，优化了成形工艺及模型参数，通过与物理试验比较，验证了数值模拟分析的准确性。

对钛合金塑性成形过程进行数值模拟是实现计算机仿真的基础。

由于有限元法可以全面地考虑变形过程中材料的动态特性、各种边界条件和初始条件的影响，即使对于复杂边界仍可达到满意的模拟精度。

因此，目前对塑性成形过程进行数值模拟的方法主要是有限元法。

有限元法的一般解题步骤是：
（1）连续体的离散化。

把求解的连续体离散成有限数目的单元，单元的类型有多种，二维中有三边形、四边形，三维中有四面体、六面体等。

模拟中根据实际模拟对象和模拟的需要，选择合理的单元类型、大小和数目。

（2）选择插值函数。

选择满足某些需要（单元连续性、边界协调性等）的、联系单元节点和单元内部各点位移（速度）的插值函数，保证计算结果的精确性。

插值函数通常为多项式，以便于微分和积分。

（3）建立单元的刚度矩阵或能量泛函。

根据变分原理，对弹性和弹塑性有限元，推导单元的刚度矩阵[K]e，用此矩阵把单元节点位移{u}e和节点力{P}e联系起来,即e
[K]{u}e={P}e(1-1)对刚塑性有限元，建立以节点位移为自变函数的单元能量泛函
（4）建立整体方程。

对弹性和弹塑性有限元，这个过程包括由各单元的刚度矩阵集合成整个变形体的总刚度矩阵[K]，以及由单元节点力列阵集合成的总载荷列阵{P}，从而建立表示整个变形体的节点位移和总载荷关系的方程组，即[K]{u}={P}(
对于刚塑性有限元，则建立整个变形体的能量泛函变分方程组，
（5）方程组求解。

求未知的节点位移或速度，在弹性有限元中，这些方程组是线性的；而在弹塑性和刚塑性有限元中，这些方程组是非线性的，因此求解时需要进行线性化。

（6）由节点位移（速度），利用几何方程和物理方程，求整个变形体的应变场、应力场等，并根据问题的需要，进一步计算各种参数。

分析塑性成型时，常用的方法有弹塑性有限元、刚塑性有限元和刚粘塑性有限元。

塑性变形一般为大变形问题，此时材料的弹性变形量相对于塑性变形量可以忽略不计，因而可视为刚塑性或刚粘塑性材料。

对于体积成型，特别是大变形（几何非线性），刚塑性、刚粘塑性有限元应用最广。

运用刚塑性、刚粘塑性有限元可以实时跟踪描述金属的流动行为，模拟
成形过程，揭示金属的真实流动规律，研究各种因素对金属变形行为的作用与影响，并给出变形体在成形过程中各种力学场量的分布。

因而用数值模拟方法对成形过程进行优化设计不仅是可能的，而且是必要的，具有理论上和实践上的双重价值。

本文的研究目的是通过对TA15钛合金的热变形行为的特点和变形过程
中组织演化进行研究，探索在热变形中组织演化的规律，分析不同变形条件
对组织变化的影响，初步解释热变形机制。

利用有限元数值模拟方法模拟热
约束变形及根据模拟结果调整、优化热约束成形模具，为实现精确塑性成形
提供设计依据。

（3）运用刚塑性有限元方法对TA15钛合金的热压缩变形过程进行二维轴对称模拟，分析摩擦因子、变形速率、变形温度对鼓肚变形量的影响；对热约束变形的几何边界条件进行设计，模拟不同的模型边界对成形的影响，优化初始设计模型使成形后变形区很均匀，并具体设计此模型的成形模具；对单筋的成形过程进行平面应力模拟，分析各变形区的变形特点。

4.2单向热压缩过程的模拟
4.2.1几何模型的建立
根据轴对称的特点，选取二维轴对称模型进行分析，只取1/2截面进行模拟，压缩试样原始尺寸为：Φ8×12mm。

对变形体进行均匀的网格划分，变形体的几何形状及原始网格的划分如下图4-2所示，网格数为8×24，单元选取二维轴对称四节点单元10。

图中oo1为压缩试样的轴心线，a、c为上下底面的外端点，b为1/2高度外表面处的点。

图4-2单向热压缩试样初始单元的网格
4.2.2材料模型的建立
材料为TA15钛合金，材料类型选取为各向同性的刚塑性材料。

材料模型建立的关键在于材料本构关系的描述，本构关系模型对变形行为的准确性和模拟精度有直接的影响。

本文第3章已根据TA15合金热压缩试验得到的真应力-真应变曲线构造了材料本构关系模型，在此把本构方程中的参数分别输入即可。

其中，最小屈服应力认为是变形开始发生时的应力。

4.2.3关键问题的处理
（1）摩擦边界条件采用剪切摩擦的常摩擦因子法，接触体之间的摩擦因子m取0.1~0.7。

（2）初始速度场由边界条件确定，根据实际的变形速度确定，模拟中所采用的初始速度有：0.012mm/s、0.36mm/s、1.2mm/s、12mm/s，分别对应的应变速率是0.001s-1、0.03s-1、0.1 s-1、1s-1。

（3）接触分析:按照接触体的定义，把压缩试样看成变形体，而两端的压头变形可以忽略，则定义为刚体，其中一个压头是运动的，须定义为有初始速度的刚体，而另一个固定不动。

轴心线定义为对称轴。

接触体之间的接触容限为0.01mm。

（4）时间步长的选取:由公式（2-16）即可确定时间步长，而增量步数n需经过估算得到，一般采用总的行程L与单元网格最小边长l的1/3的比值，即3L/l作为增量步数。

（5）收敛性准则:采用相对位移误差容限作为收敛判据，位移误差容限值取为0.1，在对计算结果没有太大影响的情况下，选取稍大值有利于运算的收敛。

（6）网格重划分:采用整体网格重划分，可避免过密的网格划分可能造成的计算费用的增加，也可避免因过疏的网格无法精确描述单元变形的空间变化。

网格重划分的穿透容限采用系统默认值，即为接触容限的两倍。

31有限元模拟技术概况
有限元方法在数值计算方法中占有及其重要的地位。

这种思想推用来求解弹性力学的平面应力问题，并首次使用“有限单元(FinietElement)”一术语，引起了人们的极大关注。

有限元数值模拟技术是随物理模拟设备的善以及计算机技术的发展而发展起来的。

金属的塑性成形特别是热工过程是一个非常复杂的塑性大变形过程，存何非线性、物理非线性和边界条件的非线性。

所以对塑性成形问题进行精确非常困难。

过去应用更多的是近似方法，如主应力法，滑移线法，以及上限下限法
等，这些近似研究方法都需要做较多的简化和假设，从而导致所得的和实际情况相去甚远，甚至无法满足理论分析和工程实际的需要。

目前，塑限元法已成为模拟分析塑性成形过程的有力工具，也是应用最广泛的数值分法。

塑性有限元法可以由实验和理论方法给出流动应力模型、边界条件、摩系式，按变分原理推导出场方程，根据离散技术建立计算模型，从而实现对成形问题进行数值模拟。

塑性有限元法的发展借助了两个重要工具:即在理导方面所采用的矩阵方法和在实际计算中所使用的计算机。

塑性有限元法可以分为两大类:一类是固体型塑性有限元法(SFomrulatoin)一弹塑性有限元法，这类有限元法同时考虑弹性变形和塑性变弹性区采用虎克定律，塑性区采用Prnadtl一Ruess方程和Mises屈服准则，对塑性变形所求的未知量是单元节点位移，适用于分析结构失稳，屈服等工程问对于大塑性变形，采用增量法分析。

这类有限元法的特点是考虑弹性区与塑的相互关系，既可以分析加载过程，又可以分析卸载过程，包括计算残余应应变及回弹、模具和零件之间的相互作用，也可以处理几何非线性和非稳态其缺点是所取的步长太大，计算工作量繁重，对非线性硬化材料计算复杂。

弹塑性有限元法主要用于分析板料成形、弯曲等工序。

但近年来随着计算机技术的发展，这种方法正朝着更广的应用范围扩展。

对于大多数体积成形问弹性变形量较小，可以忽略，即可将材料视为刚塑性体，同时为了克服上述性有限元方法不足，Lee和Kboyaashli”]于1973年首次提出了基于变分原理动型有限元法—刚塑性有限元法，用Lgarnage乘子技术施加体积不变条由于这种方法不象弹塑性有限元法那样用应力应变增量进行求解，因此计算量步取得较大些，但对于每次增量变形来说，材料仍处于小变形状态，下一算是在材料以前的累加变形几何形状和硬化特性基础上进行的，所以可以用形的计算方法来处理大变形工步分析。

1979年，Ziekneiwicz等又给出了罚法【’8]的体积不可压缩的刚塑性有限元法【’9]。

刚塑性有限元法通常只用于冷加工问题，而对热加工(再结晶温度以上)应变硬化效应不显著，材料对形速度具有较大的敏感性的情况不太适用。

因此，在研究热加工问题时要采用塑性本构关系，相应地发展了另一类流动型有限元法。

流动型塑性有限元法F(lowFomrulation)—刚粘性有限元法，包括刚塑性限元法和刚粘塑性有限元法。

这种方法采用对速度积分来获得变形体变形后的形，避开了变形体的几何非线性问题。

刚粘塑性有限元法与刚塑性有限元法的区别仅在于它们所采用的本构关系不同。

热加工及超塑性成形中，材料不仅表现有塑性，同时也表现有粘性，而且某些对应变速率敏感的材料，即使在常温下也表现出粘性。

粘性对材料塑性变形规律有较大影响，在有限元模拟中必须加以虑。

因此，需要采用粘塑性本构关系，发展粘塑性有限元法。

Peryzna[20]对粘塑性的屈服准则和本构关系进行了系统的总结。

刚粘塑性有限元法将变形体视为非牛顿流体，适用于分析热态及对速度敏感的金属材料的塑性成形问题。

许多学者采用刚粘塑性有限元法对各种塑性成形问题进行了分析，取得了许多成果。

Rbeol等人进行了稳态过程的热力祸合计算分析。

Oh等[2’]在刚粘塑性材料变分原理基础上，也导出了类似的刚粘塑性有限元求解列式。

Mori和Oaskada 提出了刚塑性有限元中的可压缩方法[22]，对多种扎制和挤压工艺以及粉末成形工艺进行了模拟123一#2]。

Hartiye和sutgess对塑性成形摩擦进行了研究。

目前，刚粘性有限元法是国内外公认的分析塑性成形问题最先进的方法之一。

金属的塑性成形过程是一个复杂的变形过程。

材料特性、上模速度、变形温度、摩擦条件、坯料形状和尺寸等因素对成形过程都有一定的影响。

因此，分析和研究成形过程中的应力、应变分布以及不同因素对成形过程的影响，如:坯料与模具之间的摩擦、热量传递以及温度的分布、坯料形状和尺寸等对成形的影响，对认识了解金属成形的规律，解决成形过程中的各种实际问题提供了科学依据。

金属塑性成形过程的传热问题是一个很复杂的热力学问题，材料的温度与流动应力、流动方式等交互作用。

一方面，由于成形过程中变形热效应及坯料与模具间传热的影响必然要造成坯料内部的温度变化。

另一方面，材料流动应力、流动方式等随温度变化也有很大的改变。

因此，成形过程中由热效应引起的温度变化反过来又对变形体变形行为产生影响。

对于受温度影响的塑性变形过程，变形分析和传热分析对理解金属变形的力学特性是重要的，且二者相互影响。

为了解决这种变形问题，必须同时求解在给定温度分布条件下的金属塑性变形速度方程和热传导方程，即进行变形和传热藕合分析，其实质是在同一套有限元网格系统上，分别求解考虑速度影响的热传导和考虑温度效应的塑性变形速度方程，直到获得相应的收敛解口0]。

在实施藕合分析时，将速度场的计算和温度场的计算视为两个独立子系统进行求解，其中变形对温度场的影响通过内热产生的热流矢量加入到温度求解方程中，而温度对变形的影响则通过温度对流动应力的影响加以考虑。

这种祸合分析过程的收敛速度较快。

金属在高温变形过程中，由于高温和变形的同时作用，材料不仅发生宏观变形，其微观组织也将发生一系列变化，如回复与再结晶及晶粒长大等。

同时，这些微观组织变化又直接决定了材料的宏观力学性能。

因此了解产品的微观组织演化及其影响因素对有效预测和控制产品组织、性能具有重要意义[16]。

微观组织演化的有限元模拟可以将相对简单的基本成形与复杂的工业成形状况结合起来，给出微观组织和产品性能的过程控制的方法，通过使变形条件适合特定材料的特殊要求，可成形出性能确定、组织均匀的产品，近年来得到了广泛的应用，应用领域从轧制扩展到锻造、凝固、焊接等方面，研究材料从最初的碳钢扩展到高温合金、有色合金，如铝合金、钛合金等。

随着现代计算机技术的
发展及有限元模拟技术的进步，材料微观组织演化的数值模拟具有广阔的应用前景。

建立材料的微观组织演化模型，并与有限元分析软件相结合进行数值模拟的方法，是实现变形过程组织预测与控制的一种有效途径。

其中，材料的微观组织演化模型是连接材料宏观变形与微观组织演化的桥梁，关系到模拟的精度和可靠性。

因此，建立准确、有效的微观组织演化模型是微观组织演化数值模拟过程的关键问题[17]。

由于目前的工程材料复杂多样，还难以做出可以表示所有材料和所有变形范围内组织演化的通用模型，必须根据所需的加工工艺和材料种类建立适当的模型。

目前在金属热态塑性成形领域使用的微观组织演化模型大致可以分为数值模型和随机模型两类[18]。

缩短模具制造周期，节省费用，提高零件的质量和使用性能，降低零件废品率，合理的选用成形材料。

随着计算机技术的迅速发展以及有限元法在塑性成形中的成功应用塑性成形过程中的数值模拟技术已得到迅速发展它为工序方案的确定成形过程中的不合理现象提供了可靠的理论依据对于减少试模时间缩短产品开发周期降低产品开发费用方面发挥着越来越大的作用。