18-19版：1.4.2 微积分基本定理(一)（步步高）

＝13a＋c＝－2，
③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
1234
解答
4x－2π，0≤x≤π2，
4.已知
f(x)＝ cos
x，π2<x≤π，
计算：ʃ π0f(x)dx.
1234
解答
规律与方法
1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分. (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分 再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值， 因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和， 而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
0
＝sin
θ
π
|03
＝
3 2.
1234
√D.
3 2
解析 答案
3.已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f′(0)＝0，ʃ 10f(x)dx＝－2.求 a，b，c 的值.
解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2， f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，
① ②
ʃ 10f(x)dx＝ʃ 10(ax2＋c)dx＝31ax3＋cx10
解 ∵|x2－x|＝x－x2，0≤x≤1， x2－x，1<x≤2，
∴ʃ 2－2|x2－x|dx＝ʃ 0－2(x2－x)dx＋ʃ 10(x－x2)dx＋ʃ 21(x2－x)dx
＝31x3－12x20－2 ＋21x2－13x310＋ 31x3－12x221 ＝134＋16＋56＝137.
解答
类型二 利用定积分求参数 例 3 (1)已知 t>0，f(x)＝2x－1，若 ʃ t0f(x)dx＝6，则 t＝___3___. 解析 ʃ t0f(x)dx＝ʃ t0(2x－1)dx＝t2－t＝6， 解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.
跟踪训练 2 (1)f(x)＝x12＋，21x<，x≤0≤2，x≤1， 求 ʃ 20f(x)dx. 解 ʃ 20f(x)dx＝ʃ 10(1＋2x)dx＋ʃ 21x2dx ＝(x＋x2)|10＋13x3|21＝2＋73＝133.
解答
(2)求 ʃ 2－2|x2－x|dx 的值. x2－x，－2≤x<0，
解答
反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化 为和的形式，便于求得函数F(x). (2)由微积分基本定理求定积分的步骤 第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x). 第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).
跟踪训练1 求下列定积分.
(1)ʃ 21x－x2＋1xdx；
0
π
( x＋cosx) |02
＝π2＋cos 2π－(0＋cos 0)＝π2－1.
解答
(4)ʃ 30(x－3)(x－4)dx. 解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴ʃ 30(x－3)(x－4)dx＝ʃ 30(x2－7x＋12)dx ＝31x3－72x2＋12x30 ＝13×33－27×32＋12×3－0＝227.
梳理 (1)微积分基本定理 ①条件：F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积. ②结论：ʃ baf(x)dx＝ F(b)－F(a) . ③符号表示：ʃ baf(x)dx＝ F(x)ba ＝ F(b)－F(a) . (2)常见函数的定积分公式 ①ʃ baCdx＝Cxba (C 为常数)； ②ʃ baxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)；
解 ʃ 21x－x2＋1xdx
＝21x2－13x3＋ln
x21
＝12×22－31×23＋ln
2－12－31＋ln
1
＝ln 2－56.
解答
(2)
π 2 0
cos2
x sin2 2
x 2
dx
；
解
π 2 0
cos2
x 2
sin2
x 2
dx
π
＝ 2 cos xdx 0
π
＝sin x |02 ＝1.
解析 答案
(2)已知 2≤ʃ 21(kx＋1)dx≤4，则实数 k 的取值范围为__23_，__2___. 解析 ʃ 21(kx＋1)dx＝21kx2＋x21＝32k＋1. 由 2≤32k＋1≤4，得23≤k≤2.
解析 答案
引申探究 1.若将本例(1)中的条件改为 ʃ t0f(x)dx＝f 2t ，求 t. 解 由 ʃ t0f(x)dx＝ʃ t0(2x－1)dx＝t2－t， 又 f 2t ＝t－1，∴t2－t＝t－1，得 t＝1.
题型探究
类型一 求定积分 命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分. (1)ʃ 10(2x＋ex)dx； 解 ʃ 10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10 ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
解答
(2)ʃ
211x－3cos
xdx；
解
ʃ
211x－3cos
xdx＝(ln
x－3sin
跟踪训练 3
已知
x∈(0,1]
，
f(x)
＝
ʃ
1 0
(1
－
2x
＋
2t)dt
，
则
f(x) 的 值 域 是
__[0_,_2_)___.
解析 f(x)＝ʃ 10(1－2x＋2t)dt ＝(t－2xt＋t2)|10＝－2x＋2(x∈(0,1]). ∴f(x)的值域为[0,2).
解析 答案
达标检测
1.若 ʃ a12x＋1xdx＝3＋ln 2，则 a 的值是
解答
2.若将本例(1)中的条件改为 ʃ t0f(x)dx＝F(t)，求 F(t)的最小值. 解 F(t)＝ʃ t0f(x)dx＝t2－t＝t－122－14(t>0)， 当 t＝12时，F(t)min＝－14.
解答
反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起 来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上 限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.
③ʃ basin xdx＝－cos xba ；④ʃ bacos xdx＝sin xba ；
⑤ʃ
ba1xdx＝ln
xb a
(b>a>0)；⑥ʃ
baexdx＝exba
；
⑦ʃ baaxdx＝lnaxaba (a>0，且 a≠1).
[思考辨析 判断正误]
1.若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一.( × ) 2.微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( √ ) 3.应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是 连续函数.( √ )
解答
(3)ʃ
9 4
x(1＋
x)dx.
解
ʃ
9 4
x(1＋
x)dx
＝ʃ 94(
x＋x)dx＝
2 3
x 23＋12x294
＝23×9
23＋12×92－23×4
3 2
＋12×42＝2671.
解答
命题角度2 求分段函数的定积分
sin x，0≤x<π2， 例 2 (1)求函数 f(x)＝1，π2≤x≤2，
第一章 §1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.2 微积分基本定理(一)
学习目标
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 微积分基本定理
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x. 思考1 f(x)与F′(x)有何关系？ 答案 F′(x)＝2x＋1＝f(x). 思考 2 ʃ 20f(x)dx 与 F(2)－F(0)有何关系？ 答案 ʃ 20f(x)dx＝ʃ 20(2x＋1)dx＝12×2×(1＋5)＝6， F(2)－F(0)＝6. ∴ʃ 20f(x)dx＝F(2)－F(0).
本课结束
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x)|21
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
解答
(3)
π 2 0
sin
x 2
cos
x 2
2
dx；
解
∵sin
2x－cos－sin x，
∴
π 2 0
sin
x 2
cos
x 2
2
dx
π
2 1－sinxdx
x－1，2<x≤4
在区间[0,4]上的定积分；
解
ʃ 40f(x)dx＝
π
2 sin xdx
＋
2
π 1dx
＋ʃ42(x－1)dx
0
2
π
＝ (－cosx) |02
＋ x |2π
＋
12x2－x42
2
＝1＋2－π2＋(4－0)＝7－π2.
解答
(2)求定积分 ʃ 20|x2－1|dx. 解 ∵|x2－1|＝1x2－－x12，，xx∈∈[[01，，12]，， 又x－x33′＝1－x2，x33－x′＝x2－1， ∴ʃ 20|x2－1|dx＝ʃ 10|x2－1|dx＋ʃ 21|x2－1|dx
A.5
B.4
C.3
解析 ʃ a12x＋1xdx＝ʃ a12xdx＋ʃ a11xdx
＝x2|a1＋ln x|a1＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
1234
√D.2
解析 答案
2.
π 3 0
1
2
sin
2
2
d
等于
A.－
3 2
B.－12
C.12
解析
π 3 0
1
2
sin
2
2
d
＝
π
3 cos d
＝ʃ 10(1－x2)dx＋ʃ 21(x2－1)dx
＝x－x3310 ＋x33－x21 ＝1－13＋83－2－13＋1＝2.
解答
反思与感悟 分段函数的定积分的求法 (1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算. (2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值符号，转化为分段函数的 定积分再计算.