江苏省启东中学高三数学考前辅导(教师)【会员独享】

江苏省启东中学2012届高三考前辅导材料（数学科）
第一篇高考数学考前辅导及解题策略
数学应试
一、考前注意什么？
1．考前做“熟题”找感觉
挑选部分有代表性的习题演练一遍，体会如何运用基础知识解决问题，提炼具有普遍性的解题方法，以不变应万变最重要。

掌握数学思想方法可从两方面入手：一是归纳重要的数学思想方法；二是归纳重要题型的解题方法。

还要注意典型方法的适用范围和使用条件，防止形式套用时导致错误。

顺应时间安排：数学考试安排在下午，故而考生平时复习数学的时间也尽量安排在下午时段。

每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，保持思维的灵活和流畅。

2.先易后难多拿分
改变解题习惯：不要从头到尾按顺序做题。

无论是大题还是小题，都要先抢会做的题，接着抢有门的题，然后才拼有困难的题，最后再抠不会的题。

先抢占有利地势，可以保证在有限的时间内多拿分。

3.新题难题解不出来先跳过
调整好考试心态，有的同学碰到不会做或比较新颖的题就很紧张，严重影响了考试情绪。

高考会出现新题，遇到难题或新题时，要学会静下来想一想，如果暂时还想不出来，跳过去做另一道题，没准下道题目做出来后你已经比较冷静了，那就再回过头来解答。

在近期复习中，抓容易题和中档题，不宜去攻难题。

因为这段时间做难题，容易导致学生心理急躁，自信心丧失。

通过每一次练习、测试的机会，培养自己的应试技巧，提高得分能力。

二、考时注意什么？
1．五分钟内做什么
①清查试卷完整状况，清晰地填好个人信息。

②用眼用手不用笔，看填空题要填的形式，如是易错做好记号，为后面防错作准备。

对
大题作粗略分出A、B两类，为后面解题先易后难作准备。

③稳定情绪，一是遇到浅卷的心理准备，比审题，比步骤，比细心；二是遇到深卷的心
理准备，比审题，比情绪，比意志；碰到深卷坚信：江北考生难江南考生更难，启中考生不会则他人更不会，更难下手。

2．120分钟内怎样做
①做到颗粒归仓，把会做的题都做对是你的胜利，把不会做的题抢几分是你的功劳
审题宁愿慢一点，确认条件无漏再做下去。

解题方法好一点，确认路子对了再做下去。

计算步骤规范一点，错误常常出在“算错了”计算的时候我们的草稿也要写好步骤，确认了再往下走。

考虑问题全面一点，提防陷阱，注意疏漏，多从概念、公式、法则、图形中去考察，尤其是考察是否有特例，考虑结论是否符合题意，分类要明，讨论要全。

②盯住目标，适度考虑时间分配，保证总分。

（1）高考试题设置的时候是14道填空题、6道大题。

应该坚持由易到难的做题顺序。

盯住填空题前10题确保正确。

盯住大题前3题，确保基础题不失分。

关注填空题后4
题严防会而放弃，适度关注大题后三题，能抢多少是多少。

（2）填空题（用时35分钟左右）：解答题（用时在85分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。

17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在15分钟左右。

19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在17分钟左右。

加试题前二题不会难，是概念和简单运算，要细心又要快，用时在12分钟左右；第三题也不太难，是计算与证明，但要讲方法，用时10分钟左右；第四题有难度，用时在10分钟左右。

（3）要养成一个一次就作对一步到位的习惯。

我做一次就是正确的结论，不要给自己回过头来检查的习惯。

高考的时候设置一个15分钟的倒数哨声，这就是提醒部分考生把会做的题要写好。

同学们，高考迫近，紧张是免不了的，关键是自我调整，学会考试，以平和的心态参加考试，以审慎的态度对待试题，以细心的态度对待运算，以灵动的方法对待新颖试题，只有好问、好想、好做、善探究、善反思、善交流才能在最后阶段有提高、有突破，才能临场考出理想的成绩。

考试是为了分数，会做的题不失分就是成功的考试。

祝同学们高考数学取得高分！
江苏省启东中学2012届高三数学备课组
一、填空题：
1. 已知函数f(x)＝ln(x＋x2＋1)，若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，
则a＋b等于__________．1
2.已知集合}01
|
{<--=a
x ax x A ，且A ∈2，A ∉3， 则实数a 的取值范围是 。

]
3,2()21
,31[
3. 已知函数2(1)()1
(1)x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在12,x x R ∈，12x x ≠，使12()()f x f x =成立，
则实数a 的取值范围是 .2a ≤. 4． 设定义域为R 的函数⎩⎨⎧≤-->=,0
,20|,lg |)(2
x x x x x x f 则关于x 的函数1)(3)(22+-=x f x f y 的零点的个数为 ．
解：由01)(3)(22
=+-=x f x f y ⇒f(x)=1或f(x)=1
出f(x)的图像，由f(x)=2
1⇒x 有4个值；由f(x)=1⇒x 有故共有7个零点.
5．在平面直角坐标系中，点集(){}22,
|1A x y x y =+≤(){},|1
1,11B x y x y =--≤≤≤≤，则点集{}
12121122(,),,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积
为__________．
解： x 1=x-x 2，y 1=y-y 2，代入12121≤+y x ，得1)()(2222≤-+-y y x x ，
表示以点(x 2,y 2)为圆心，1为半径的圆以及内部，而点(x 2,y 2)∈B ，即点 (x 2,y 2)在正方形MNKL 的周界及内部，如图为点集Q 所表示的区域，它 包含12个单位正方形和4个四分之一圆弧，故面积为12+π.
6．如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面11
2
米，某人在离地面
32
米的C 处看此树，则该人离此树 米时，看A 、B 的视角最大．6
7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 且22
812cos a
b
C -=,
则
=+C A tan 1tan 1 .2
1
解：222
2
2284cos212sin 1sin b b C C a a θ=-=-⇒=
22sin sin 0,sin sin sin 2sin cos 2cos sin sin b B
C C A C A C A C a A
>∴==⇒=+
2cos 2cos 111
sin sin 01sin sin tan tan 2
C A A C C A A C ≠∴
+=∴+= 8.在周长为16的三角形ABC 中，AB =6，,A B 所对的边分别为,a b ，
则cos ab C 的取值范围是 . [)7,16
解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，
由题意得：106CA CB AB +=>=，所以由椭圆定义的点C 的轨迹是以AB 为焦点的椭圆（除
第6题图
长轴两端点），设点C (,)x y ，则点C 的轨迹方程为：2212516
x y +=，[)22
16,25x y ∴+∈，
而[)22cos (3,)(3,)97,16ab C CB CA x y x y x y ==-----=+-∈， 即所求的取值范围为[)7,16。

9．已知A 、B 是椭圆16
252
2y x +＝1的长轴端点，O 为坐标原点，C 为椭圆上不同于A B 、的任
意一点，若P 为线段OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．
【审题指导】要求向量的数量积的最值问题，一般都是引入一个变量，设OC t OP =，将所求的数量积转化为这个变量的函数，再利用函数知识求解。

而OC 是一个没有确定的向量，因此要应用椭圆的几何性质，这样才能使得问题得到解决．
分析：如图，设OC t OP =，则 ()PA PB PC +⋅=
2
222()2()PO PC tOC OC tOC t t OC ⋅=-⋅-=-=2
2112[()]24
t OC --，
所以当2
1=t ，2
16OC =时，()PA PB PC +⋅有最小值-8．
10． 手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为
2
2的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝ ．936-
11．已知平面内两点N M ,,点)sin 5,cos 52(θθ+M ，1=,过N 作圆C ：
4)2(22=+-y x 的两条切线NF NE ,,切点分别为F E ,,则∙的最小值
为 。

答：6
12．称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”，若在四直角三棱锥SABC 中， ∠SAB ＝∠SAC ＝∠SBC ＝90°，则第四个面中的直角为________．∠ABC 13. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12
PA PC +=的点P 的个数为 ．6
14.下列命题中，正确命题的序号为 ④⑤ ①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行； ②已知平面α,直线a 和直线b ，且a b a a ⊥=⋂,α，则α⊥b ； ③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形.
15.直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分， 则22(1)k m +的最小值为 . 4
【解析】：数形结合得：两直线的交点在圆外，k 与m 满足的关系为：22(1)4k m +≥
所以22(1)k m +的最小值为4。

【考查】：点与圆的位置关系、直线与直线的交点、直线与圆的交点等，利用数形结合的数学
思想。

（原创） 16．已知点P 是直线:1l ax y +=上任意一点，直线l 垂直于直线y x m =-+，EF 是圆M ：2
2
(2)1x y +-=的直径，则PE PF ⋅ 的最小值为 ．
【答案】：-1
2
【解析】：设点P x y （，），则()()PE PF PM ME PM MF ⋅=+⋅+=
22
()()PM ME PM ME PM ME +⋅-=-=22
(2)1x y +--，因:1l ax y +=垂直于直线
y x m =-+，则1a =，所以:1l x y +=由点P 在直线上，所以1x y +=，即1x y =-，
由此可得PE PF ⋅=2
2
2
2
11(1)1222()2
2x x x x x ++-=+=+-，当1
-2
x =时，取得最小值为-1
2
． 17．过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，
记APB α∠=，则当α最小时cos α= ．【答案】：
9
10
【解析】：当P 离圆O 最远时α最小，此时点P 坐标为：()4,2--记APO β∠=，由切线性
质得：在三角形OPA
中：sin β又因为2cos 12sin αβ=-，计算得cos α=910
18.已知椭圆22
:12
x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2
200
012x y <+<,则|1PF |+|2PF |的取值范围为_______，直线
0012
x x
y y +=与椭圆C 的公共点个数_____。

[2,,0
19．设A 、B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的公共顶
点，P 、M 分别是双曲线和椭圆上不同于A 、B 的两动点，且满足()AP BP AM BM λ+=+,其中,1,R λλ∈>设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ，则1k +2k =5，则3k +4k = ．-5
20．设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22
22x y 1a b
-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存
在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣
,则该双曲线的渐近线方程为 。

±y=0
21．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左
焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，
1AF B
∆的外接圆为圆M ． 若直线2
13404
x y a ++
=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2M E M F a ⋅=-，则椭圆方程为 ．22
11612
x y += 22。

不等式2)22(log )12(log 122<-⋅-+x x 的解集是 。

提示：设log 2(2x
－1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2<y<1，所以x ∈(log 25
4
,log 23)。

23．设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___ 。

),1[]1,(+∞⋃--∞ 24．设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，
则a 1＝ 。

答案：
14
25．已知数列｛a n ｝满足：
*13
()21
m
a m N =∈-，13,32,3
n n n n n a a a a a +-=≤＞，则数列｛a n ｝的前44
m +项的和44m S += 。

答案：112(21)
21
m m +--
26．已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下命题中真命题的编号是 ． ① 数列{}n a 的各项均为正数；② 数列{}n a
③ 数列{}n a 的公比必是正数；④ 数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1． 答案：③
27．已知AD 是ABC ∆的中线，3BC =，45,30BAD CAD ︒︒∠=∠=，则ABC ∆的面积的最大值
为
28．已知数列{}n a 满足*112(12)1,,|4|(13)
n
n n a n a a n a n -≤⎧==∈⎨-≥⎩N ，若2012t a =，
则t = 20或1026
29．对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图的方式“分裂”，仿此，
若m 3
的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为 ．
分析：2927253,11973,5313,972532312432432++=++=++=+=+=+=，， 不难得出规律：n 2可以表示为两个连续奇数之和；n 3可以表示为三个连续奇数之和；n 5可以表示为五个连续奇数之和；m 3
可以表示为m 个连续奇数之和，即
3)]1(2211[213211m m =-++++ ，02102
3=--m m m ，∵0>m ∴15=m
30．先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为m ，n ，设向量),(n m =，
的概率为 。

36
13
31．设点()a b ,在平面区域{()||1||1}D a b a b =,≤,≤中按均匀分布出现，则椭圆
22
221
x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e
的概率为 。

116 提示：属几何概型的概率问题，D 的测度为4
；e 112b a <<，
(](]0101a b ∈∈,,,，则d 的测度为1
4
，∴116d P D =
=的测度的测度． 32．已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在0=x 处
取得最大值，则正数a 的范围 . 6
(0,]5
二、解答题：
1．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第二象限内，直线AB 的倾斜角
为34π，OB=2，设3,,24AOB ππθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭。

⑴用θ表示OA ⑵求OA OB 的最小值。

27 22
2
3
24
9
5 3 3
1 7 3
2 3
3 34
29
11 5 7 1
25 3 9
解：⑴在ABC ∆中，3,4
AOB B πθθ∠=∴∠=
-，由正弦定理得：2
sin()sin 44
OA ππθ=-
2(cos sin ))4
OA π
θθθ⇒=+=+
⑵OA
OB 2
)2cos 4(cos sin cos )2(1cos2)2sin 24
π
θθθθθθθ=+⨯⨯=++=++
)24
π
θ=++
min 357(,)2(,)()22224444
OA OB πππππ
θθ∈∴+∈∴=-
2．已知ABC ∆的外接圆半径是1，角A,B,C 的对边分别是,,a b c ， 向量(,4cos ),(cos ,)m a B n A b ==满足//m n ，
⑴求t =sin sin A B +的取值范围； ⑵若实数x 满足,abx a b =+试确定x 的取值范围。

解：⑴//4cos cos m n ab B A ⇒= ABC ∆的外接圆的半径为
1，22sin ,2sin 4sin sin 4cos cos sin sin a b a A b B A B A B A B
∴
==∴==∴= cos()0sin sin sin cos
)24
A B A B t A B A A A π
π
∴+=⇒+=∴=+=++ 3012
4
4
4
A A t π
π
π
π
<<
∴
<+
<
∴< ⑵由
22sin 2sin sin sin 1
14sin sin 2sin sin 1
A B A B t abx a b x A B A B t
t t
++=+⇒=
===
--
其中1
t t
-随(
t ∈单调递增，可得x 的取值范围是)
+∞。

3．已知)sin ,(cos αα=，)sin ,,(cos x x =，)cos 54
sin ,(cos α
+-=x x
（1）当x
sin 54
cos =
α时，求函数y ∙=的最小正周期及值域；
（2）若,13
12=
∙OM PQ OM ||,)(x -α和)(x +α都是锐角，求α2cos 的值。

解：（1）由
x s i n 54
c o s
=α，得
0s i n ≠x 得z
k k x ∈≠,π。

故
PQ ON y ∙=x 2
c o
s =),(,22c o s 1z k k x ∈≠+=πα。

π=T ，值域[)1,0（2）由1312)cos(=-=∙x OM α，得135)sin(=-x α，由||得5
4
)sin(=+x α，得
53)cos(=+x α，故[]65
16
54135531312)()(cos 2cos =⨯-⨯=++-=x x ααα。

4．在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，
24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点． (Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；
(Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；
(Ⅲ)求多面体ADBEG 的体积.
解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG .
∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . (Ⅱ)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，
又,AE EB EB
EF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE .
过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE . ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥.
∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==， ∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， 又,BH
DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD .
∵BD ⊂平面BHD , ∴BD EG ⊥.
(Ⅲ) ∵EF ⊥平面AEB ，//AD EF ，∴⊥EF 平面AEB ，
由（2）知四边形BGHE 为正方形，∴BC BE ⊥. ∴BEC D AEB D ADBEG V V V --+=AE S AD S BCE ABE ⋅+⋅=
∆∆31313
83434=+=。

5．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BCD ︒∠=，点E 是BC 边的中点，
AC DE 与交于点O ，PO ABCD ⊥平面.
（1）求证：PD BC ⊥；
（2）在线段AP 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面PDE ？若存在，求四棱锥F ABED -与
四棱锥P ABCD -的体积之比；若不存在，试说明理由.
解：（1）在菱形ABCD 中，连接,DB
因为60BCD ︒∠=，
故BCD ∆是等边三角形．
因为E 是BC 边的中点，所以DE BC ⊥ 由于PO ABCD ⊥平面，BC ABCD ⊂平面，
所以PO BC ⊥，而DE PO O =，所以BC ⊥平面PDE
， 又由于PD ⊂平面PDE ，所以PD BC ⊥．
（2）在线段AP 上存在一点F ，使得BF ∥平面PDE ， 取AD 中点M ,AP 中点F ,连接,MF BM ，
Ａ Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｄ
Ｐ Ｏ Ｄ
Ｐ
F
因为1
,,2
MD BE MD BC BE =
=∥ 所以BM D E ∥又BM ⊄平面PDE ，
D E ⊂平面PDE ，所以BM ∥平面PDE ， 同理可得MF ∥平面PDE
又因为BM MF M =，所以平面FMB ∥平面PDE 因为BF ⊂平面BMF ，所以BF ∥平面PDE 因为F 为AP 中点,
所以于是四棱锥F ABED -的高是四棱锥P ABCD -的高的一半，
又因为四棱锥F ABED -的底面积是四棱锥P ABCD -的底面积3
4，
所以四棱锥F ABED -与四棱锥P ABCD -的体积之比是3
8
．
法二:事实上，过点B 作BG DE ∥交AC 于G ，过G 作GF OP ∥，交AP 于F ，连BF ， 因为BG DE ∥，BG ⊄平面PDE ，D E ⊂平面PDE ，所以BG ∥平面PDE ， 因为GF OP ∥，GF ⊄平面PDE ，OP ⊂平面PDE ，所以GF ∥平面PDE ， 又因为BG GF G =，所以平面BGF ∥平面PDE
因为BF ⊂平面BGF ，所以BF ∥平面PDE ；…………12分 由（Ⅰ）知O 为等边BCD ∆的中心，于是G 为等边ABD ∆ 的中心，所以AG GO OC ==，即G 为AO 中点，所以F 为
AP 中点，于是四棱锥F ABED -的高是四棱锥P ABCD -
的高的一半，又因为四棱锥F ABED -的底面积是四 棱锥P ABCD -的底面积
3
4
，所以四棱锥F ABED - 与四棱锥P ABCD -的体积之比是3
8
．
6．椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1 (Ⅰ)
求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

解答一（Ⅰ）设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”事件B 表示“一个月内被投诉的次
数为1”()()()0.40.50.9P A B P A P B ∴+=+=+=
Ａ
Ｂ Ｅ
Ｃ
Ｄ
Ｐ
Ｏ
G
F
()0.1,()1()10.10.9p A P B P A =∴=-=-=Q
(Ⅱ)同解答一。

7．已知关于x 的一元二次函数.14)(2+-=bx ax x f
（Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作
为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（a ，b ）是区域⎪⎩
⎪
⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数),1[)(+∞=在区间x f y 上
是增函数的概率。

解：（Ⅰ）∵函数14)(2
+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2a
b
x =
要使14)(2
+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数， 当且仅当a >0且
a b a
b
≤≤2,12即 若a =1则b =－1， 若a =2则b =－1，1
若a =3则b =－1，1； ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件的概率为
51
153
= （Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当a b ≤2且a >0时，
函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)00a b a b a b ⎧⎫
+-≤⎧⎪⎪⎪
>⎨⎨⎬⎪⎪⎪
>⎩⎩⎭
构成所求事件的区域为三角形部分。

由),38,316(20
8得交点坐标为⎪⎩
⎪
⎨⎧==-+a
b b a ∴所求事件的概率为
31882
138821=⨯⨯⨯
⨯=P 8．某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为θ，小屋有一扇面向正南的窗户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示．如图2是遮阳篷的截面示意图，AB 表示窗户上、下边框的距离，AB=m ，CD 表示遮阳篷．已知该公园夏季正午太阳最高这一天，太阳光线与水平面所成角为α，冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面所成角为β（αβ>）．若要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD 和遮阳篷与窗户上边框的距离BC 各为多少？
解：如图所示，设BC x =，CD y = ，
依题意∠ADC ＝α，∠BDC ＝β. 在△BCD 中，∠BCD ＝πθ-，
CBD BDC BCD πθβ∠=-∠-∠=-，
由正弦定理得
sin sin()
x y
βθβ=-， ① 在△ACD 中，CAD ACD CDA πθα∠=-∠-∠=-，
图1
图2
AB ＝m ，AC m x =+，
由正弦定理得
sin sin()
m x y
αθα+=-，② 由①②得
sin()()sin()
sin sin x m x θβθαβα
-+-=，
所以
s i n ()s i n
s i n s i n ()s i n s i n (
)
m x θα
βαθββθα-=
---
sin()sin()sin()
sin sin sin()sin sin()
m y x θβθαθββαθββθα---=
=---.
答：遮阳篷的伸出长度CD 为
sin()sin sin sin()sin sin()
m θαβ
αθββθα----，遮阳篷与窗户上边框的距离
BC 为
sin()sin()
sin sin()sin sin()
m θαθβαθββθα-----.
9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为x x )2(+
万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他
因素，记余下工程的费用为y 万元。

（1）试写出y 关于x 的函数关系式；
（2）当640=m 米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：（1）设需要新建n 个桥墩，m x n =+)1( 即1-=
x
m
n 所以x x n n x f y )2)(1(256)(+
++==
x x x m
x m )2()1(
256++-= 2562256-++=m x m x m
（2） 由（1）知，)512(221256)(2
3
2
212-=+-='-x x
m mx x m x f 令0)(='x f ，得
5122
3
=x ，所以64=x
当640<<x 0时0)(<'x f ， )(x f 在区间()64,0上为减函数
当64064<<x 时，0)(>'x f ,)(x f 在区间()640,64上为增函数
（第16题）
所以)(x f 在64=x 处取得最小值，此时，9164
6401=-=-=x m n 答：需新建9个桥墩才能使y 最小.
10．建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为36平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）要最小．
（１）求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少米？
（２）如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内，外周长
最小为多少米？
解（1）h BC AD )(2136+=
，AD ＝BC+2×hcot 60=BC+h 3
32， h h BC )3322(2136+=，h h BC 3336-=
．设外周长为l ，则h h h BC AB l 333660
sin 22-+=+= ， 263
63≥+
=h
h 当h
h 3
63=
，即6=h 时等号成立．外周长的最小值为26米，此时堤高h 为6米． (2)),6(3363h h h h +=+设32321≤<≤h h ，则=--+1122
66h h h h 0)6
1)((2
112>-
-h h h h ,l 是h 的增函数， 353
3
633min =+
⨯=∴l (米)．
（当3=h 时取得最小值） 11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=． （1）若过点1(1 0)C -，
的直线被圆2C 截得的弦长为
6
5
，求直线的方程； （2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；
②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说 明理由． 【解析】：（1）设直线的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=． 因为直线被圆2C 截得的弦长
为
65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到：0kx y k -+=
45
． 化简，得21225120k k -+=，解得43k =或3
4
k =．
所以直线的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．
（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，
=．
化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．
②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C
=． 于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．由22
10 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩
，
，
得1 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
所以定点的坐标为(1-
，(1 2+． 【考查】：求圆方程、圆的性质、直线与圆的位置关系、两圆位置关系等，利用数形结合、转
化归纳、函数方程等数学思想。

（改编） 12．已知⊙221--0C x y x a +=：与⊙222-2-20C x y x +=：交于P 、Q 两点， (2,)M t 是
直线PQ 上的一个动点。

（1）求⊙1C 的标准方程；（2）求以OM 为直径且被直线
3450x y --=截得的弦长为2的圆3C 的方程；（3）过点2C 作OM 的垂线与以OM 为直
径的圆交于点N ，请判断线段ON 的长是否为定值？若是定值求出这个定值；若不是请说明理由。

【解析】： （1）因为⊙1C 与⊙2C 的公共弦PQ 方程是2x a =-，而(2,)M t 是2x a =-上的点所以
4a =,圆1C 标准方程为: 22117
-24
x y +=（）。

（2）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=，即2
2
2(1)()124
t t x y -+-=+
其圆心为(1,)2t ,
半径r =因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的
弦长为2，所以圆心到直线3450x y --=
的距离d 2
t
= 所以
32552
t t
--=，解得4t =，所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-= （3）方法一：由平几知：2
ON OK OM =，直线OM ：2t y x =
，直线FN ：2
(1)y x t
=-- 由22(1)
t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+
，2
224(1)2244
ON t t ∴==+∙∙=+所以线段ON
方法二、设00(,)N x y ，则 {
000000(1,),(2,)(2,),(,)
FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=
0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+=
又
2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=
所以，ON x =
=为定值
【考查】：求圆方程、圆的性质、直线与圆的位置关系、两圆位置关系等，利用数形结合、转
化归纳、函数方程等数学思想。

（改编）
13．已知椭圆()2
22:11x C y a a
+=>的右焦点为()(,0)1F c c >，点P 在圆22:1O x y +=上
任意一点（点P 第一象限内），过点P 作圆O 的切线交椭圆C 于两点Q 、R ．
（1）证明：PQ FQ
a +=； （2，求线段QR 长度的最大值． 解：
（1）设111
(,)(0)Q x y x >，
得1||FQ a ex =-， 由
，||PQ ，
注意到221121x y a +=，1PQ ex ==，所以||||PQ FQ a +=．
（2）由题意，e =
，2
a ∴=．
方法一：设直线QR 的方程为y kx m =+，点P 在第一象限，0,0k m ∴<>． 由直线QR 与圆O 相切
，221,1m k =∴=+． 由22
1
4
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消y 得()2
2
2148440k x
kmx m +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则122
814km
x x k +=-
+．
由（1）知，(
)1222228)14143k m k m km
QR e x x k k m k =+=
-==+++，
2
2
3m k k +≥
，2QR ∴≤=．
当且仅当m =时，QR 取最大值2，此时直线QR
的方程为(y k x =，过焦点F ．
方法二：设()()()001122,,,,,P x y Q x y R x y ，
则直线QR 的方程为001x x y y +=．
由0022
144
x x y y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得()
2222
000048440y x x x x y +-+-=， 则0
122200
84x x x y x +=
+，2
20
1x y +=，0
1220
813x x x x ∴+=
+， 由（1）知，
(
)001222
00
00
81
13133x x QR e x x x x x x =+=
==+++，
0013x x +
≥
2QR ∴≤
=， 当且仅当0x =时，QR
取最大值2
，此时P ⎝⎭，直线QR 过焦点F ． 方法三：由（1）同理可求||||P R F R +
=，则4Q R Q F F R +
+=，
,24,2QR RF FR QR QR RF FR QR ≤+≤++=∴≤，
当且仅当直线QR 过焦点F 时等号成立，从而max 2QR =．
14．给定椭圆2
222:1(0)y x C a b a b
+=
>>，称圆心在坐标原点O 的圆是椭
圆C 的“伴随圆”．
若椭圆C 的一个焦点为20)F ，
其短轴上的一个端点到2F 距
（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”
所得的弦长为m 的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，
试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.
解：
（Ⅰ）由题意得：a =
c = 则1b =椭圆C 方程为2
213
x y += “伴随圆”方程为224x y +=
（Ⅱ）则设过点P 且与椭圆有一个交点的直线为：y kx m =+，
则22
13
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222136(33)0k x kmx m +++-= 所以()()()2
22
6413330km k m ∆=-+-=，解2231k m +=① 又因为直线截椭圆C 的
“伴随圆”所得的弦长为22，
则
有=化简得()22
21m k =+ ② 联立①②解得，221,4k m ==，所以1k =±，2(0)m m =-<，则(0,2)P -
（Ⅲ）当12,l l 都有斜率时，设点00(,),Q x y 其中220
04x y +=， 设经过点00(,),Q x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+，
由0022
()
13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到[]22003()30x kx y kx ++--= 即2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=，
[]2
22
00006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦，
经过化简得到：2220
000(3)210x k x y k y -++-=，因为22
004x y +=，所以有222
0000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，因为12,l l 与椭圆都只有一个公共
点，所以12,k k 满足方程222
000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，因而121k k ⋅=-，即直线12,l l 的斜率
之积是为定值1-
15．设数列｛a n ｝满足：a n （n ∈N*）是整数，且a n+1－a n 是关于x 的方程
x 2＋( a n+1－2)x －2a n+1＝0的根．
（1）若a 1＝4，且n≥2时，4≤a n ≤8，求数列{a n }的前100项和S 100； （2）若a 1＝－8，a 6＝1，且a n ＜a n ＋1（n ∈N*），求数列{a n }的通项公式． 解：（1）由a n+1－a n 是关于x 的方程x 2
＋( a n+1－2)x －2a n+1＝0的根，
可得：()()*
11220()n n n n a a a a n N ++---=∈，
所以对一切的正整数n ，12n n a a +=+或11
2
n n a a +=
， 若a 1＝4，且n≥2时，4≤a n ≤8，则数列｛a n ｝为：4,6,8,4,6,8,⋅⋅⋅ 所以，数列{a n }的前100项和10033(468)8598S =+++=；
（2）若a 1＝－8，根据a n （n ∈N*）是整数，a n ＜a n ＋1（n ∈N*），且12n n a a +=+或11
2
n n a a +=
可知，数列{}n a 的前6项是：
8,6,4,2,0,2----或8,6,4,2,1,1-----或8,6,3,1,1,3----或8,6,2,0,2,4---或8,6,2,1,1,3----
因为a 6＝1，所以数列{}n a 的前6项只能是8,6,4,2,1,1-----且*4,n n N ∈＞时，
12n n a a +=+
所以，数列{a n }的通项公式是：210,4211,5
n n n a n n -≤=
-≥
16．有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a （3,,,3,2,1,≥=n n k m ），公差为m d ，并且nn n n n a a a a ,,,,321 成等差数列.
(1)证明：的多项式）是m p p n m d p d p d m 212211,,3(≤≤+=，并求21p p +的值； (2)当121,3d d ==时，将数列{}m d 分组如下： 1()d ，234(,,)d d d ，56789(,,,,)d d d d d ，…
（每组数的个数构成等差数列）.设前m 组中所有数之和为4
()m c （0m c >），
求数列{
}
2m c
m d 的前n 项和n S .
(3)设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于(1)中的n S ，求使得不等式1
(6)50
n n S d -> 成立的所有N 的值.
解：(1)由题意知1(1)mn m a n d =+-.
[][]2121211(1)1(1)(1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--,
同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…，
(1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--.
又因为nn n n n a a a a ,,,,321 成等差数列，所以n n a a 12-=n n a a 23-=…=n n nn a a )1(-- 故,12312--==-=-n n d d d d d d 即{}n d 是公差为12d d -的等差数列. 所以12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-. 令,1,221-=-=m p m p 则2211d p d p d m +=此时21p p +=1. (2) 当3,121==d d 时,)(12*
N m m d m ∈-=
数列{}m d 分组如下：1()d ，234(,,)d d d ，56789(,,,,)d d d d d ，…按分组规律，第m 组中有
21m -个奇数，
所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-=个奇数. 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k +++
+-=，
所以前2m 个奇数的和为224()m m =.
即前m 组中所有数之和为4m ，所以4
4
()m c m =.
因为0,m c >所以m c m =，从而*
2(21)2().m c m m d m m N =-⋅∈
所以234
112325272(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅+
+-⋅+-⋅. 23451212325272(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋅+
+-⋅+-⋅ 故2
3
4
1222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅
2312(2222)2(21)2n n n +=+++
+---⋅
12(21)
22(21)221
n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--.
所以1
(23)2
6n n S n +=-+.
(3)由(2)得*
21()n d n n N =-∈, 1
(23)2
6n n S n +=-+*()n N ∈.
故不等式
1
(6)50
n n S d ->就是1(23)250(21)n n n +->-. 考虑函数11()(23)250(21)(23)(250)100n n f x n n n ++=---=---. 当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-. 而(6)9(12850)1006020f =--=>，
注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >. 因此,当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1
(6)50
n n S d ->成立. 所以,满足条件的所有正整数N=5,6,7,,20.
17．已知函数,16
4)(2
1+=
x mx x f m
x x f -=)21()(2,其中0≠∈m R m 且. (1)判断函数)(1x f 的单调性；
(2)若2-<m ，求函数[])2,2())((21-∈+=x x f x f x f （）的最值；
(3)设函数⎩⎨
⎧<≥=2),(2
),()(2
1x x f x x f x g ，当2≥m 时，若对于任意的[)+∞∈,21x ，总存在唯一的()2,2∞-∈x ，使得)()(21x g x g =成立，试求m 的取值范围.
解：（1）,)82(4()(2
221+-=
'x x m x f ）
则当0>m 时，知函数)(1x f 在)2,2(-上单调递增，在()2,-∞-及),2(+∞上单调递减；当0<m 时，知函数)(1x f 在)2,2(-上单调递减，在()2,-∞-及
),2(+∞上单调递增.
(2)由22,2≤≤--<x m ，可得x m m
x x f )2
1(2)
21()(2⋅==-. x m
x mx x f x f x f )21(216
4))((2
21⋅++=
+=∴（）. 由(1)知，当2-<m ，22≤≤-x ，函数)(1x f 在[]2,2-上是减函数，
而函数x
m x f )2
1(2)(2⋅=在[]2,2-上也是减函数， 故当2-=x 时，函数)(x f 取得最大值16
2,16242m m m m
--
⨯+即. 当2=x 时, 函数)(x f 取得最小值16
2
2
m
m +-.
(3)当2≥m 时，由于21≥x ，则16
4)()(2
11111+=
=x mx x f x g ，
由(1)知，此时函数)(1x g 在[)+∞,2上是减函数，
从而]16
0)()]2(0)(111m
x g f x g ，（，即，（∈∈
若2≥m 时，由于22<x ，则==)()(222x f x g m
x -2)
2
1(=2
)
2
1(x m -=22)2
1(x
m
⋅，
易知)(2x g 在()2,∞-上单调递增，从而))2
1(0)())2(0)(2222-∈∈
m x g f x g ，（，即，（. 要使)()(21x g x g =成立，只需2)21(16-<m m ，即0)
21
(162
<--m m 成立即可,
设,)2
1
(16)(2--=
m m m h 则易知函数)(m h 在[)+∞,2上单调递增，且0)4(=h ， 故4<m ，所以42<≤m .
18． 对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ⊆],[，同时满足：
①)(x f 在],
[n m 内是单调函数；
②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称],[n m 是该函数的“和谐区
间”．
（1）求证：函数x
x g y 5
3)(-
==不存在“和谐区间”． （2）已知：函数x
a x a a y 221)(-+=（0,≠∈a
R a ）有“和谐区间”],[n m ，当a 变化时，求
出m n -的最大值．
（3）易知，函数x y =是以任一区间],
[n m 为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”
的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的x y =及形如ax
c
bx y +=的函数为例） 解： （1）设],
[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-⊆n m 或
),0(],[∞+⊆n m ，故函数x
y 5
3-
=在],[n m 上单调递增． 若],
[n m 是已知函数的“和谐区间”，则⎩
⎨⎧==n n g m m g )()(
故m 、n 是方程x x
=-5
3的同号的相异实数根．
0532=+-x x 无实数根，∴函数x
y 5
3-=不存在“和谐区间”
．
（2）设],[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-⊆n m 或
),
0(],[∞+⊆n m ，故函数x
a a a x a x a a y 2221
11)(-+=-+=在],
[n m 上单调递增．
若],
[n m 是已知函数的“和谐区间”，则⎩
⎨⎧==n n f m
m f )()(
故m 、n 是方程
x x
a a a =-+21
1，即01)(22=++-x a a x a 的同号的相异实数根． 01
2>=
a
mn ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2>-+=∆a a a ，即1>a 或3-<a 时，已知函数有“和谐区间”],
[n m ，3
4)311(34)(22+--=-+=-a mn m n m n ，
∴当3=a 时，m n -取最大值3
32
（3）如：2+-=x y 和谐区间为]2,0[、]3,1[-，当2=+b a 的区间],[b a ；
x y 2
sin
π
=和谐区间为]1,0[；
21x y -=和谐区间为]0,
1[-
19．已知函数：∈--=a ax x a x f (3ln )(R ). （1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为。

45，对于任意的[]2,1∈t ，函数
]2
)([)('23m
x f x x x g ++=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； （3）求证：∈≥<⨯⨯⨯⨯n n n
n n ,2(1
ln 55ln 44ln 33ln 22ln N*)． 【解析】（ 1）)0()
1()('>-=
x x
x a x f ,（1分）当0＞
a 时，)(x f 的单调增区间为(]1,0，减区间为[)+∞,1；当0＜
a 时，)(x f 的单调增区间为[)+∞,1，减区间为(]1,0；当0=a 时，)(x f 不是单调函数.
（2）12)2('=-=a f 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x f （5分）∴x x m
x x g 2)22
()(2
3-++=，∴2
)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且2)0('-=g ∴⎩
⎨⎧><0)3('0
)('g t g
由题意知：对于任意的[]2,1∈t ，0)('＜
t g 恒成立，所以，'(1)0
'(2)0'(3)0g g g <⎧⎪
<⎨⎪>⎩
，∴93
37
--
＜＜m
（3）令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ，由（1）知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递
增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f ＞，即01ln >-+-x x ，
∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立*∈≥N n n ,2 ，则有1ln 0-<<n n ，
∴n
n n n 1ln 0-<
<
),2(11433221ln 44
ln 33ln 22ln *∈≥=-⋅⋯⋅⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅∴N n n n n n n n ＜
20．已知函数2
2
()ln (1),()1x f x x g x x
=+=+.
（Ⅰ）分别求函数()f x 和()g x 的图象在0x =处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式()2
2
ln 11x x x
+≤+；
（Ⅲ）对一个实数集合M ,若存在实数s ,使得M 中任何数都不超过s ,则称s 是M 的一个上
界.已知e 是无穷数列1(1)n a
n a n
+=+所有项组成的集合的上界（其中e 是自然对数的底
数）,求实数a 的最大值.
解: （Ⅰ）2
2)1(2)(,1)1ln(2)(x x
x x g x x x f ++='++=',
则0)0(,0)0(='='g f ,且0)0(,0)0(==g f ,
所以函数)(x f 和)(x g 的图象在0=x 处的切线方程都是0=y
（Ⅱ）令函数x
x x x h +-+=1)1(ln )(2
2
,定义域是),1(+∞-，
2
222)
1(2)1ln()1(2)1(21)1ln(2)(x x
x x x x x x x x x h +--++=++-++=', 设x x x x x u 2)1ln()1(2)(2--++=,则x x x u 2)1ln(2)(-+=',
令x x x v 2)1ln(
2)(-+=,则x
x
x x v +-=-+='12212)(, 当01<<-x 时,0)(>'x v ,)(x v 在)0,1(-上为增函数, 当0>x 时，)(,0)(x v x v <'在),0(+∞上为减函数.
所以)(x v 在0=x 处取得极大值，且就是最大值,而0)0(=v ,所以0)(≤'x u ，函数)(x u 在
),1(+∞-上为减函数
于是当01<<-x 时,0)0()(=>u x u ,当0>x 时，0)0()(=<u x u , 所以，当01<<-x 时，)(,0)(x h x h >'在)0,1(-上为增函数. 当0>x 时,)(,0)(x h x h <'在),0(+∞上为减函数.
故)(x h 在0=x 处取得极大值,且就是最大值,而0)0(=h ,所以0)(≤x h ,即。