1高考山西文数学一轮复习教材研读：选修45 第一节 绝对值不等式柯西不等式排序不等式 含解析

选修4—5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式
1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:
|a+b|≤|a|+|b|; |a-b|≤|a-c|+|c-b|.
(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. (1)柯西不等式的向量形式:|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2.
(3)√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+√(x 2-x 3)2+(y 2-y 3)2≥√(x 1-x 3)2+(y 1-y 3)2.(此不等式通常称为平面三角不等式)
3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:
∑i=1
n
a i 2·∑i=1
n
b i 2≥(∑i=1
n
a i
b i )2
.
4.会用向量递归方法讨论排序不等式.
1.绝对值三角不等式
定理1:如果a,b 是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当① ab ≥0 时,等号成立.
定理2:如果a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当② (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式a>0a=0a<0
|x|<a
③
{x|-a<x<a}
④⌀⑤⌀
|x|>a ⑥{x|x>a或
x<-a}
⑦{x|x∈R且
x≠0}
⑧R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔⑨-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔⑩ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
解法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.
解法二:利用“零点分区法”求解,体现了分类讨论的思想.
解法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
3.柯西不等式
(1)二维形式
内容等号成立的条件
代数形式若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)·(c2+d2)≥
(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立
向量形式
设α,β是平面上的两个向
量,则|α·β|≤|α||β|当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立
三角形式设x1,y1,x2,y2∈R,那么
√x12+y12+√x22+y22
≥√(x1-x2)2+(y1-y2)2
当且仅当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线且
P1,P2在点O两旁时,等号成立
(2)一般形式
设a1,a2,…,a n,b1,b2,…,b n为实数,则(a12+a22+…+a n2)1
2·(b12+b22+…+b n2)
1
2≥|a1b1+a2b2+…+a n b n|,
其中等号成立⇔a1
b1=a2
b2
=…=a n
b n
(当某b j=0时,认为a j=0,j=1,2,…,n).
4.排序不等式
(1)顺序和、乱序和、反序和的概念
设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n为b1,b2,…,b n的任一排列,称
a 1b1+a2b2+…+a n
b n为这两个实数组的顺序和;称a1b n+a2b n
-1
+…+a n b1为这两个实数组的反序和;称a 1c1+a2c2+…+a n c n为这两个实数组的乱序和.
(2)排序不等式(又称排序原理)
设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,c1,c2,…,c n为b1,b2,…,b n的任一排列,则有
a1b n+a2b n
-1
+…+a n b1≤a1c1+a2c2+…+a n c n≤a1b1+a2b2+…+a n b n,等号成立(反序和等于顺序
和)⇔a1=a2=…=a n或b1=b2=…=b n,可简记为反序和≤乱序和≤顺序和.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.()
(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集是⌀.()
(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立.()
(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.()
答案(1)✕(2)√(3)✕(4)√
2.不等式3≤|5-2x|<9的解集为()
A.[-2,1)∪[4,7)
B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7)
D.(-2,1]∪[4,7)
答案D
3.若关于x的不等式|x-a|<1的解集为(1,3),则实数a的值为()
A.2
B.1
C.-1
D.-2
答案A
4.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是. 答案(-∞,-3]∪[3,+∞)
解析∵|x+1|+|x-2|
≥|(x+1)-(x-2)|=3,
∴|x+1|+|x-2|的最小值为3,要使原不等式有解,只需|a|≥3,即a≥3或a≤-3.
绝对值不等式的解法
典例1已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|,求不等式f(x)≥1的解集.
解析f(x)={-3,x<-1,
2x-1,-1≤x≤2, 3,x>2.
当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
方法技巧
解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;
(2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;
(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
易错警示
易出现解集不全的错误.对于含绝对值的不等式,无论是分段去绝对值符号还是利用几何意义求解,都要不重不漏.
1-1不等式|x+2
x
|<1的解集为.
答案{x|x<-1}
解析∵x≠0,∴|x+2|<|x|,即(x+2)2<x2,∴x+1<0,x<-1,∴原不等式的解集为{x|x<-1}.
1-2已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.求不等式f(x)≥x2-8x+14的解集.
解析①当x≤2时,f(x)=-3,而x2-8x+14=(x-4)2-2≥-2,∴f(x)≥x2-8x+14无解;
②当2<x<5时,f(x)=2x-7,
原不等式等价于{2x-7≥x2-8x+14, 2<x<5,
解得3≤x<5;
③当x≥5时,f(x)=3,原不等式等价于{x2-8x+14≤3, x≥5,
解得5≤x≤4+√5.
综上,原不等式的解集为[3,4+√5].
绝对值不等式性质的应用
典例2(2018辽宁五校联合体模拟)已知函数f(x)=|x-a|+|2x-a|(a∈R).
(1)若f(1)<11,求a的取值范围;
(2)若∀a∈R,f(x)≥x2-x-3恒成立,求x的取值范围.
解析(1)f(1)=|1-a|+|2-a|={3-2a,a≤1, 1,1<a<2, 2a-3,a≥2,
当a≤1时,3-2a<11,解得a>-4,
∴-4<a≤1;
当1<a<2时,1<11恒成立;
当a≥2时,2a-3<11,解得a<7,∴2≤a<7.
综上,a 的取值范围是(-4,7). (2)∵∀a ∈R,f(x)≥x 2-x-3恒成立,
又f(x)=|x-a|+|2x-a|≥|x-a-(2x-a)|=|x|,∴|x|≥x 2-x-3,
∴{x ≥x 2-x -3,x ≥0
或{-x ≥x 2-x -3,x <0,
解得0≤x ≤3或-√3≤x<0, ∴x 的取值范围是[-√3,3]. 方法技巧
绝对值不等式性质的应用
(1)绝对值三角不等式|a+b|≤|a|+|b|中等号成立的条件要特别注意,尤其是用该不等式求最值及对不等式进行放缩时.
(2)解题时常会用到||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 2-1 已知函数f(x)=|2x-1|,x ∈R.
(1)解不等式:f(x)<|x|+1;
(2)若对任意x,y ∈R,有|x-y-1|≤1
3,|2y+1|≤1
6,求证: f(x)<1. 解析 (1)由f(x)<|x|+1,得|2x-1|<|x|+1, 即{x ≥1
2,2x -1<x +1或{0<x <12,
1-2x <x +1 或{x ≤0,1-2x <-x +1, 得1
2≤x<2或0<x<1
2或无解.
故不等式f(x)<|x|+1的解集为{x|0<x<2}.
(2)证明:f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤|2(x-y-1)|+|2y+1|=2|x-y-1|+|2y+1|≤2×13+16=5
6<1.
2-2 已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].
(1)求m+n 的值;
(2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1. 解析 (1)不等式|2x-3|≤1可化为
-1≤2x-3≤1,
解得 1≤x ≤2,所以m=1,n=2, 所以m+n=3.
(2)证明:由(1)知|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1,即|x|<|a|+1. 绝对值不等式的综合应用
典例3 已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a ∈R.
(1)若不等式f(x)+|x-1|≥2对任意的x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当a<2时,函数f(x)的最小值为a-1,求实数a 的值. 解析 (1)f(x)+|x-1|≥2可化为|x -a
2|+|x-1|≥1. ∵|x -a
2|+|x-1|≥|a
2-1|, ∴|a 2-1|≥1,∴a ≤0或a ≥4,
∴实数a 的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞).
(2)当a<2时,易知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|的零点分别为a
2和1,且a
2<1, ∴f(x)={-3x +a +1,x <a
2,
x -a +1,a 2
≤x ≤1,3x -a -1,x >1,
易知f(x)在(-∞,a 2)上单调递减, 在(a
2,+∞)上单调递增, ∴f(x)min =f (a
2)=-a
2+1=a-1, 解得a=4
3,又4
3<2,∴a=4
3. 方法技巧
与绝对值不等式有关的参数范围问题及解法
设函数f(x)中含有绝对值,则 (1)f(x)>a 有解⇔f(x)max >a.
(2)f(x)>a 恒成立⇔f(x)min >a.
(3)f(x)>a 恰在(c,b)上成立⇔c,b 是方程f(x)=a 的解. 3-1 设函数f(x)=|2x-7|+1.
(1)求不等式f(x)≤x 的解集;
(2)若存在x 使不等式f(x)-2|x-1|≤a 成立,求实数a 的取值范围. 解析 (1)由f(x)≤x 得|2x-7|+1≤x, ∴{2x -7≥0,
2x -7+1≤x 或{2x -7<0,-2x +7+1≤x, 解得7
2≤x ≤6或8
3≤x ≤7
2,
∴f(x)≤x 的解集为{x|8
3≤x ≤6}. (2)令g(x)=f(x)-2|x-1|=|2x-7|-2|x-1|+1, 则g(x)={6,x ≤1,
-4x +10,1<x ≤7
2,-4,x >7
2,
∴g(x)min =-4,
∵存在x 使不等式f(x)-2|x-1|≤a 成立, ∴g(x)min ≤a,∴a ≥-4, 即a 的取值范围是[-4,+∞).
3-2 (2018山西太原模拟)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|.
(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含[3
4,2],求m 的取值范围. 解析 (1)当m=-1时, f(x)=|x-1|+|2x-1|, 当x ≥1时, f(x)=3x-2, f(x)≤2,即3x-2≤2,所以1≤x ≤43; 当1
2<x<1时, f(x)=x ≤2,所以12<x<1; 当x ≤12时, f(x)=2-3x,
f(x)≤2,即2-3x ≤2,所以0≤x ≤1
2,
综上可得原不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x ≤4
3}. (2)由题意可知f(x)≤|2x+1|在[3
4,2]上恒成立.
当x ∈[3
4,2]时, f(x)=|x+m|+|2x-1|=|x+m|+2x-1≤|2x+1|=2x+1, 所以|x+m|≤2,即-2≤x+m ≤2,-2-x ≤m ≤2-x 在[3
4,2]上恒成立. 因为在[3
4,2]上,(-2-x)max =-11
4,(2-x)min =0, 因此m 的取值范围为[-114
,0].
柯西不等式、排序不等式
典例4 (1)已知a,b,x,y 都是正数,且a+b=1,求证:(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.
(2)已知a ≥b ≥c>0,求证:bc a +ac b +ab
c ≥a+b+c. 证明 (1)∵a,b,x,y 都是正数, ∴(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)
=(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)≥(a √x 1x 2+b √x 1x 2)2=(a+b)2x 1x 2. 又∵a+b=1, ∴(a+b)2x 1x 2=x 1x 2,
其中等号当且仅当x 1=x 2时成立. ∴(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2. (2)由已知得1c ≥1b ≥1
a >0,a
b ≥a
c ≥bc>0. 由排序不等式得
ab c +ac b +bc
a
≥ac ·1c +bc ·1b +ab ·1
a =a+b+c, 当且仅当a=b=c 时等号成立. ∴bc a +ac
b +ab
c ≥a+b+c.
方法技巧
1.利用柯西不等式解题的常用技巧
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序.
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.
(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.
2.利用排序不等式解题的常用技巧
(1)在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,分析所求代数式的结构特征,构造两个有序数组:①根据各字母在不等式中的对称性,限定一种大小关系.②若给出的字母不具有对称性,一定不能直接限定字母的大小顺序,要根据具体情况分类讨论.
(2)运用排序原理求最值时,一定要验证等号是否成立,若等号不成立,则取不到最值.
4-1设x1,x2,…,x n均为正数,求证:
(x1+x2+…+x n)(1
x1+1
x2
+…+1
x n
)≥n2.
证明由柯西不等式得
(x1+x2+…+x n)(1
x1+…+1
x n
)
≥(√x1·
√x +√x2·
√x
+…+√x n·
√x
)
2
=n2,当且仅当x1=x2=…=x n时,等号成立,
∴(x1+x2+…+x n)(1
x1+1
x2
+…+1
x n
)≥n2.
A组基础题组
1.(2019湖北荆州一模)已知函数f(x)=|x-a|,不等式f(x)≤3的解集为[-6,0].
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解析(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
∴a-3≤x≤a+3,
又f(x)≤3的解集为[-6,0],
∴a=-3.
(2)f(x)+f(x+5)=|x+3|+|x+8|≥|x+3-(x+8)|=5,
∵f(x)+f(x+5)≥2m 对一切实数x 恒成立,
∴2m ≤5,即m ≤52.
2.(2018山东淄博模拟)设函数f(x)=|x+4|.
(1)若y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,求a 的值;
(2)求不等式f(x)>1-12x 的解集.
解析 (1)因为f(x)=|x+4|,
所以y=f(2x+a)+f(2x-a)=|2x+a+4|+|2x-a+4|≥|2x+a+4-(2x-a+4)|=|2a|,
又y=f(2x+a)+f(2x-a)的最小值为4,
∴|2a|=4,
∴a=±2.
(2)f(x)=|x+4|={x +4(x >-4),
0(x =-4),-4-x(x <-4),
∴不等式f(x)>1-12x 等价于{
x +4>1-12x(x >-4),0>1-12x(x =-4),-4-x >1-12x(x <-4), 解得x>-2或x<-10,
故不等式f(x)>1-12x 的解集
为{x|x>-2或x<-10}.
3.(2018课标全国Ⅰ,23,10分)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围.
解析 (1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)={-2,x≤-1,
2x,-1<x<1,
2,x≥1.
故不等式f(x)>1的解集为{x|x>1
2
}.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|0<x<2
a
},
所以2
a
≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].
4.已知函数f(x)=|x-2|.
(1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集;
(2)设g(x)=-|x+7|+3m,若关于x的不等式f(x)<g(x)的解集非空,求实数m的取值范围.解析(1)当x≥2时,不等式等价于x-2+x2-4>0,解得x>2,
当x<2时,不等式等价于2-x+x2-4>0,解得x<-1.
综上,原不等式的解集为{x|x>2或x<-1}.
(2)问题等价于|x-2|+|x+7|<3m的解集非空,
∵|x-2|+|x+7|≥|x-2-x-7|=9,∴3m>9,∴m>3.
B组提升题组
1.(2018课标全国Ⅲ,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
解析 (1)f(x)={-3x,x <-1
2,x +2,-12≤x <1,3x,x ≥1.
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时, f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.
2.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.
(1)解不等式f(x)>0;
(2)若∃x 0∈R,使得f(x 0)+2m 2<4m 成立,求实数m 的取值范围.
解析 (1)当x<-2时, f(x)=1-2x+x+2=-x+3,
∵f(x)>0,∴-x+3>0,解得x<3,又x<-2,∴x<-2;
当-2≤x ≤12时, f(x)=1-2x-x-2=-3x-1,∵f(x)>0,∴-3x-1>0,解得x<-1
3,
又-2≤x ≤12,∴-2≤x<-13;
当x>12时, f(x)=2x-1-x-2=x-3,
∵f(x)>0,∴x-3>0,解得x>3,又x>12,∴x>3.
综上,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-13)∪(3,+∞).
(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|={-x +3,x <-2,
-3x -1,-2≤x ≤12,x -3,x >12,
易知f(x)min =f (12)=-52.
∵∃x 0∈R,使得f(x 0)+2m 2<4m 成立,
∴4m-2m 2>f(x)min =-52,
整理得4m 2-8m-5<0,解得-12<m<52,
因此,m 的取值范围是(-12,52).
3.(2018新疆自治区适应性检测)设函数f(x)=|2x+1|-|2x-4|,g(x)=9+2x-x 2.
(1)解不等式f(x)>1;
(2)证明:|8x-16|≥g(x)-2f(x).
解析 (1)当x ≥2时, f(x)=2x+1-(2x-4)=5>1恒成立,所以x ≥2.
当-12≤x<2时, f(x)=2x+1-(4-2x)=4x-3>1,得x>1,所以1<x<2.
当x<-12时, f(x)=-2x-1-(4-2x)=-5>1不成立. 综上,原不等式的解集为(1,+∞).
(2)证明:|8x-16|≥g(x)-2f(x)⇔|8x-16|+2f(x)≥g(x),
∵2f(x)+|8x-16|=|4x+2|+|4x-8|≥|(4x+2)-(4x-8)|=10,当且仅当-12≤x ≤2时等号成立, ∴2f(x)+|8x-16|的最小值是10.
又g(x)=-(x-1)2+10≤10,所以g(x)的最大值是10,且当x=1时等号成立.
∵1∈[-12,2],∴2f(x)+|8x-16|≥g(x),
∴|8x-16|≥g(x)-2f(x).
4.(2018福州质量检测)已知函数f(x)=x 2-|x|+1.
(1)求不等式f(x)≥2x 的解集;
(2)若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在[0,+∞)上恒成立,求实数a 的取值范围. 解析 (1)不等式f(x)≥2x 等价于x 2-|x|-2x+1≥0,①
当x ≥0时,①式化为x 2-3x+1≥0,
解得x ≥3+√52或0≤x ≤3-√52;
当x<0时,①式化为x 2-x+1≥0,解得x<0.
综上所述,不等式f(x)≥2x 的解集为{x |x ≤
3-√52或x ≥3+√52}. (2)不等式f(x)≥|x 2+a|在[0,+∞)上恒成立,等价于-f(x)≤x 2+a ≤f(x)在[0,+∞)上恒成立,
等价于-x 2+x-1≤x 2+a ≤x 2-x+1在[0,+∞)上恒成立,
等价于-x 2+12x-1≤a ≤x 2-32x+1在[0,+∞)上恒成立,
-x 2+12x-1=-(x -14)2-1516≤-1516当且仅当x=14时取等号,x 2-32x+1=(x -34)2+716≥716当且仅当x=3
4时取等号,所以-1516≤a ≤716.
综上所述,实数a 的取值范围是[-1516,716].。