导数难题(含答案)

1 1 a

0
F a在 0, e 1递减， F a F e 1 2 0 ， F a 0 无解，
当 1 a 0 时， h x在1, e上递增， hmin h 1 2 a 0 a 2 a 无解 当 a e 1时， h x在1, e上递减
hmin

h e
ea
1 a e
0a
e2 1 ，∴ a e2 1 ；
（2）若 f x 0 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 f x 0 ， min
若 f x 0 恒成立，转化为 f x 0 ; max
（3）若
f
x
g
x 恒成立，可转化为
f
xmin

g
x max
.
6．（1）极小值为 f 1 1；（2）见解析（3） 2 a e2 1
.
.
8．已知函数 f x x2 ax a ex ．
（1）讨论 f x的单调性； （2）若 a 0, 2，对于任意 x1, x2 4, 0，都有 f x1 f x2 4e2 mea 恒成立，求 m 的取值
范围
.
.
参考答 1．A
【解析】令 g x f x gx f x f x 0, g 0 2018
x

h
'
x

x

1
x x2
1

a

①当 a 1 时， h 'x 0,h x在（0，） 上递增；
②当 a 1 时， h 'x 0 x 1 a ，
∴ h x在（0）,1 a 上递减，在 1 a, 上递增；
（III）先解区间1, e上存在一点 x0 ,使得 f x0 g x0 成立
2a 上递增，在 1 Nhomakorabeaa,


上递减.；（2）

,
1 2

.
【解析】试题分析：（1）对函数 f x求导，再根据 a 分类讨论，即可求出 f x的单调性；（2）将
f x a 化简得 a x2 1 lnx 0 ，再根据定义域 x 1, ，对 a 分类讨论， a 0 时，满足题
.
一、单选题
1．已知可导函数 f x的导函数为 f 'x， f 0 2018 ，若对任意的 x R ，都有 f x f 'x， 则不等式 f x 2018ex 的解集为（ ）
A. 0,
B.

1 e2
,


C.

,
1 e2

【解析】令 g x
f
x，则 gx
x
xf x
x2
f
x
∵ f x xf x
∴
xf
x
f
x
0
，即
g x
xf
x
x2
f
x

0 在 0,
上恒成立
∴ g x在 0, 上单调递减
∵
x2
f

1 x


f
x
即 g（x）为偶函数，所以 g e g 2
f e f 2
即

4
e2
因为 f x为偶函数，所以 f 2 f 2,
f e f 2
所以

4
e2
故选 D 点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数 g（x）并分析 g（x）的单调性与奇偶性． 3．A
D. , 0
2．定义在 R 上的偶函数 f x的导函数为 f x，且当 x 0, xf x 2 f x 0 .则（ ）
f e f 2
A.
4
e2
B. 9 f 3 f 1
f e f 3
C. 9 e2
f e f 2
D. 4 e2
3．已知 f x为定义在 0, 上的可导函数，且 f x xf 'x恒成立，则不等式
x2
f

1 x


f
x
0
的解集为（
）
A. 1, B. ,1 C. 2,
D. , 2
二、解答题
4．已知函数 f x ax2 lnx a R . （1）讨论 f x的单调性； （2）若存在 x 1, , f x a ，求 a 的取值范围.
0
∴
f
1
x 1


f
x
x
，即
g

1 x


g
x
x
.
.
∴ 1 x ，即 x 1 x
故选 A 点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和 函数值的大小关系，判断自变量的大小关系.
4．（1）
f
x在

0,
1
意， a 0 时，构造 g x a x2 1 lnx ，求出 g x的单调性，可得 g x的最大值，即可求出
a 的取值范围.
试题解析：（1） f x 2a 1 1 2ax2 ，
xx
当 a 0 时， f x 0 ，所以 f x在 0, 上递增，
当 a 0 时， a x2 1 lnx 0 满足题意，
当 a 1 时，设 g x a x2 1 lnx(x 1), gx 2ax2 1 0 ，
2
x
所以 g x在 1, 上递增，所以 g x g 1 0 ，不合题意，
ex
ex
因此
f
x 2018ex

f
x
ex


2018

g
x

g 0 x
0 ，选 A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造
辅助函数常根据导数法则进行：如
f x
f
x构造 g x
f
x ，
ex
f x f x 0 构造
.
.
处理导数大题时，注意分层得分的原则.一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨
论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的
函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
5．(1) f（x）递增区间为（0， 1 ），（1，+∞），递减区间为（ 1 ，1）；(2)1.
e 1
.
.
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，
求导函数零点，讨论1 a 与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点
x0 ,使得 f x0 g x0 成立时实数 a 的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）
当
0

a

1 2
时，令
gx

0 ，得
x


1 2a
,

，令
gx
0
，得
1,
1 2a ，
所以
g
x max

g

1 2a


g
1
0
，则
x

1
,
g
x
0
，
综上，
a
的取值范围是

,
1 2

.
点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.
2
2
【解析】试题分析：（1）求出函数 f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为 a>x-2（x-1）lnx 恒成立，令 g（x）=x-2（x-1）lnx，根据函数的单调性求出 a 的最小 值即可． 试题解析： （1）由题意可得 f（x）的定义域为（0，+∞）， 当 a=2 时，f（x）=﹣x2+2x+2（x2﹣x）lnx，
g x ex f x，
xf x
f x构造 g x
f x ，
xf x f x 0 构造 g x xf x等
x
2．D 【解析】根据题意，设 g（x）=x2f（x）， 其导数 g′（x）=（x2）′f（x）+x2•f（x）=2xf（x）+x2•f（x）=x[2f（x）+xf'（x）]， 又由当 x＞0 时，有 2f（x）+xf'（x）<0 成立，则数 g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]<0， 则函数 g（x）在（0，+∞）上为减函数， 若 g（x）=x2f（x），且 f（x）为偶函数，则 g（-x）=（-x）2f（-x）=x2f（x）=g（x），
当 a 0 时，令 f x 0 ，得 x 1 ，
2a
令
f
x

0 ，得
x


0,
1 2a

；令
f
x
0
，得
x


1 2a
,

，
所以
f
x在

0,
1

2a 上递增，在
1 2a
,


上递减.
（2）由 f x a ，得 a x2 1 lnx 0 ，因为 x 1, ，所以 lnx 0, x2 1 0 ，
所以 f′（x）=﹣2x+2+2（2x﹣1）lnx+2（x2﹣x）• =（4x﹣2）lnx， 由 f'（x）＞0 可得：（4x﹣2）lnx＞0，
所以
或
，
解得 x＞1 或 0＜x＜ ； 由 f'（x）＜0 可得：（4x﹣2）lnx＜0，
所以
或
，
解得： ＜x＜1．
综上可知：f（x）递增区间为（0， ），（1，+∞），递减区间为（ （2）若 x∈（0，+∞）时，f（x）＞0 恒成立， 即 a＞x﹣2（x﹣1）lnx 恒成立， 令 g（x）=x﹣2（x﹣1）lnx，则 a＞g（x）max．
单调性可得实数 a 的取值范围，最后取补集得结果
试题解析：解：（I）当 a 1时， f x x lnx f 'x x 1 0 x 1 ，列极值分布表
x
f x在（0,1）上递减，在（1，） 上递增，∴ f x的极小值为 f 1 1；
（II） h x x alnx 1 a
x
若 a 1，求函数 f x的极值； 设函数 h x f x g x，求函数 h x的单调区间； 若在区间1, ee 2.71828上不存在 x0 ，使得 f x0 g x0 成立，求实数 a 的取值范围.
.
.
7．已知函数 f x x alnx, a R . （1）当 a 0 时，求函数 f x 的极小值； （2）若函数 f x在 0, 上为增函数，求 a 的取值范围.
，1）．
因为 g′（x）=1﹣2（lnx+ ）=﹣2lnx﹣1+ ， 所以 g'（x）在（0，+∞）上是减函数，且 g'（1）＞0，g′（2）＜0， 故存在 x0∈（1，2）使得 g（x）在（0，x0）上为增函数，在（x0，+∞）上是减函数， ∴x=x0 时，g（x）max=g（x0）≈0， ∴a＞0，又因为 a∈Z，所以 amin=1． 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
.
.
5．设函数 f x x2 ax 2 x2 x lnx ．
（1）当 a 2 时，讨论函数 f x的单调性； （2）若 x 0, 时， f x 0 恒成立，求整数 a 的最小值．
6．已知函数 f x x alnx, g x 1 a a R.
h x f x g x 0 在1,e上有解 当 x 1, e时， h x 0 min
由（II）知
①当 a 1 时， h x在1, e上递增， hmin h 1 2 a 0 a 2
∴ a 2
②当 a 1 时， h x在（0）,1 a 上递减，在 1 a, 上递增
e 1
e 1
当 0 a e 1时， h x在1,1 a上递减，在 1 a, e上递增
hmin h 1 a 2 a aln 1 a
令
F
a
2

a

aln a
1
a

2 a
1
ln
1
a ，则
F
' a

2 a2