八年级下册数学期末试卷模拟练习卷(Word版含解析)

八年级下册数学期末试卷模拟练习卷（Word 版含解析）
一、选择题
1．若两个最简二次根式22-n n 和4n +是同类二次根式，则n 的值为（ ） A ．4或－1
B ．4
C ．1
D ．－1 2．若线段a ，b ，c 首尾顺次连接后能组成直角三角形，则它们的长度比可能为（ ） A ．2：3：4 B ．3：4：5 C ．4：5：6 D ．5：6：7 3．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）
A ．A
B ∥CD ，AD ∥BC
B ．AD ∥B
C ，AB ＝C
D C ．OA ＝OC ，OB ＝OD
D ．AB ＝CD ，AD ＝BC 4．一组数据2，3，5，4，4的中位数和平均数分别是（ ） A ．4和3.5 B ．4和3.6 C ．5和3.5 D ．5和3.6 5．图，在四边形ABCD 中，1AB BC ==，2CD =，6AD =，且90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．61+
B ．122+
C ．12+
D ．162- 6．如图，在菱形ABCD 中，8AB =，120BAD ∠=︒，点O 是对角线BD 的中点，O
E CD ⊥于点E ，则OE 的长为（ ）
A ．23
B 3
C ．4
D ．37．如图，在长方形ABCD 中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC ＝4a ，则按
图③方式摆放时，剩余部分CF 的长为（ ）
A ．23a
B ．32a
C ．53a
D ．35a
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y kx =-与x 轴交于点A ，直线
2:(3)2l y k x =--分别与1l 交于点G ，与x 轴交于点B ．若GAB GOA S S ∆<，则下列范围中，含有符合条件的k 的（ ）
A ．01k <<
B ．12k <<
C ．23k <<
D ．3k >
二、填空题
9．函数y ＝21
x x ++的自变量的取值范围是 ____________． 10．如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2时，则菱形的边长为____cm ．
11．直角三角形的两条直角边长分别为2cm 、10cm ，则这个直角三角形的斜边长为________cm ．
12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，若120AOD ∠=︒，12BD =，则DC 的长为________．
13．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象与直线y ＝2x 平行，且经过点A （1，6），则一次函数y ＝kx +b 的解析式为 ____．
14．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，60AOB ∠=，1AB =，则AD 的长为________．
15．如图，已知直线a ：y x =，直线b ：12
y x =-和点()1,0P ，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ，过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ，过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ，过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的横坐
标为________．
16．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，D 是BC 的中点，E 是AC 上一动点，将CDE 沿DE 折叠到C DE '△，连接AC ′，当AEC '△是直角三角形时，CE 的长为_____．
三、解答题
17．计算：
（1）234393415⨯ （2）20511235
--⨯ 18．如图，货船和快艇分别从码头A 同时出发．其中，货船沿着北偏西54°方向以15海里/小时的速度匀速航行，快艇沿着北偏东36°方向以36海里/小时的速度航行，1小时后．两船分别到达B 、C 点．求B 、C 两点之间的距离．
19．如图在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，点B 都在格点上，按下列要求画图．
（1）在图①中，AB为一边画ABC，使点C在格点上，且ABC是轴对称图形；
（2）在图②中，AB为一腰画等腰三角形，使点C在格点上；
（3）在图③中，AB为底边画等腰三角形，使点C在格点上．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作//
MN BD交CD延长线于点N．
（1）求证：四边形MNDO是平行四边形；
（2）请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时，四边形MNDO分别是菱形、矩形、正方形．
21．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi （a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似．
例如：计算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝，i4＝，i+i2+i3+…+i2021＝；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；
（3）已知a+bi＝
25
43i
-
（a，b2222
(24)
x a x b
+-+
22．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装，专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店支付员工的工资为每人每天82元，每天还应该支付其它费用为106元（不包含债务）．（1）求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；
（2）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
23．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点.过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．
（1）如图1，连，试证明；
（2）如图2，连接，并延长交对角线BD于点N，试探究线段
之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD至Q延长至P,连若,且
，则．（直接写出结果）
24．已知：直线
3
6
4
y x
=+与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将
BCO
∆沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出点A、点B的坐标：
（2）求AC的长；
（3）点P为平面内一动点，且满足以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接回答：
①符合要求的P点有几个？
②写出一个符合要求的P点坐标．
25．如图，平行四边形ABCD中，连接对角线BD，∠ABD＝30°，E为平行四边形外部一点，连接AE、BE、DE，若AE＝BE，∠DAE＝60°．
（1）如图1，若∠C＝45°，BC＝2，求AB的长；
（2）求证：DE＝BC；
（3）如图2，若∠BCD＝15°，连接CE，延长CB与DE交于点F，连接AF，直接写出
（AF
BF
）2的值．
【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据同类二次根式的概念可得关于n的方程，解方程可求得n的值，再根据二次根式有意义的条件进行验证即可得．
【详解】
解：由题意：n2-2n=n+4，即n2-3n-4=0，
所以（n-4）（n+1）=0
解得：n1=4，n2=-1，
当n=4时，n2-2n=8，n+4=8，符合题意，
当n=-1时，n2-2n=3，n+4=3，符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件，解一元二次方程等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、∵22+32≠42，∴不能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵32+42＝52，∴能够成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵52+42≠62，∴不能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52+62≠72，∴不能够成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】
解：把这组数据按从小到大的顺序排列是：2，3，4，4，5，
故这组数据的中位数是：4．
平均数＝（2＋3＋4＋4＋5）÷5＝3.6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中位数的定义和平均数的求法，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于掌握．
5．B
解析：B
【分析】
连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ACD中，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，两直角三角形面积之和即为四边形ABCD的面积．
【详解】
解：连接AC，如图，
在Rt △ABC 中，AB =1，BC =1， 根据勾股定理得：22112AC =+=，
在△ACD 中，CD =2，6AD =，
∴AC 2+CD 2=AD 2，
∴△ACD 为直角三角形，
则四边形ABCD 的面积11111222222ABC ACD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+． 故选：B ．
【点睛】
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 6．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接OA ，由菱形的性质得AD =AB =8、AO ⊥BD 、∠ADB =∠CDB =30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
连接OA ，如图所示：
∵四边形ABCD 为菱形，点O 是对角线BD 的中点，
∴AD =AB =8，AO ⊥BD ，∠ADB =∠CDB
∵120BAD ∠=︒
∴∠ADB =∠CDB =30°，
在Rt △AOD 中，142
OA AD ==， ∴2243OD AD OA =-=∵OE ⊥CD ，
∴∠DEO =90°，
∴
在Rt △DOE 中，12
OE OD == 故选：A ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
由题意得出图①中，BE =a ，图②中，BE =43
a ，由勾股定理求出小直角三角形的斜边长为53
a ，进而得出答案． 【详解】
解：∵BC =4a ，
∴图①中，BE =a ，图②中，BE =43
a ，
∴53
a ， ∴图③中纸盒底部剩余部分CF 的长为4a -2×53a =23
a ； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 8．D
解析：D
【解析】
【分析】
两直线与y 轴的交点相同为（0，-2），求出A 与B 坐标，由S △GAB ＜S △GOA ，得AB ＜OA ，由此列出不等式进行解答．
【详解】
∵直线l 1：y=kx-2与x 轴交于点A ，直线l 2：y=（k-3）x-2分别与l 1交于点G ，与x 轴交于点B ．
∴G （0，-2），A （2k ，0），B （23k ，0）， ∵S △GAB ＜S △GOA ，
∴AB ＜OA ，
即222||＜||3k k k
，即 62||＜||3k k k 当k ＜0时，6
2＜-3k k k
，解得k ＜0； 当0＜k ＜3时，-62＜3k k k ，解得k ＜0（舍去）； 当k ＞3时，6
2＜3k k k ，解得k ＞6，
综上，k ＜0或k ＞6，
∴含有符合条件的k 的是k ＞3．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了两直线相交问题，三角形的面积，一次函数图象与坐标轴的交点问题，关键是根据AB ＜OA 列出k 的不等式．
二、填空题
9．x ≥﹣2且x ≠﹣1
【解析】
【分析】
根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到自变量的取值范围．
【详解】
解：根据题意得：20
10x x +⎧⎨+≠⎩， 2x ∴-且1x ≠-．
故答案为：2x -且1x ≠-．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数非负，分式的分母不等于0是解题的关键．
10．B
解析：13
【解析】
【分析】
连接BD 、AC 、EF ，BD 与AC 交于点O ，由题意易得B 、E 、F 、D 在同一条直线上，则有,,,,AC BD EF AC OA OC OB OD AC EF ⊥⊥===，然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解．
【详解】
解：连接BD 、AC 、EF ，BD 与AC 交于点O ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形、四边形AECF 是正方形，
∴点B 、E 、F 、D 在同一条直线上，
∴,,,,AC BD EF AC OA OC OB OD AC EF ⊥⊥===，
∵菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2， ∴211120,5022
AECF ABCD S BD AC S AC =⋅===正方形菱形， ∴10cm,24cm AC BD ==，
∴5cm,12cm OA OB ==，
在Rt △AOB 中，由勾股定理可得2213AB AO OB +=cm ，
故答案为13．
【点睛】
本题主要考查菱形与正方形的性质，熟练掌握菱形与正方形的性质是解题的关键． 11．2 3.
【解析】
【分析】
利用勾股定理直接计算可得答案．
【详解】 解：由勾股定理得：斜边22(2)(10)122 3.=+= 故答案为：23
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
12．D
解析：6
【分析】
由题意易得OD =OC ，∠DOC =60°，进而可得△DOC 是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，BD ＝12， ∴162
OD OC BD ===， ∵∠AOD ＝120°，
∴∠DOC =60°，
∴△DOC 是等边三角形，
∴6CD OC OD ===；
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
13．A
解析：y＝2x+4
【分析】
根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（1，6），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
【详解】
解：∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，
∴k＝2，
又∵函数y＝2x+b的图象经过点A（1，6），
∴6＝2+b，
∴b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝2x+4，
故答案为y＝2x+4．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，理解两条直线平行，解析式中的k值相等是解题的关键．
14．A
【分析】
根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等边三角形，求出
OB=AB=1，根据矩形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD, ∠BAD=90°，
∵60
AOB
∠=，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=1，
∴BD=2BO=2，
在Rt△BAD中,AD
【点睛】
考查矩形的性质，勾股定理等，掌握矩形的对角线相等是解题的关键.
15．【分析】
点P（1，0），P1在直线y=x上，得到P1（1，1），求得P2的纵坐标=P1的纵坐标=1，得到P2（-2，1），即P2的横坐标为-2=-21，同理，P3的横坐标为-
2=-21，P4的横
解析：【分析】
点P （1，0），P 1在直线y =x 上，得到P 1（1，1），求得P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1，得到P 2（-2，1），即P 2的横坐标为-2=-21，同理，P 3的横坐标为-2=-21，P 4的横坐标为
4=22，P 5=22，P 6=-23，P 7=-23，P 8=24…，求得242n n P =，于是得到结论．
【详解】
解：∵点P （1，0），P 1在直线y =x 上，
∴P 1（1，1），
∵P 1P 2∥x 轴，
∴P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1，
∵P 2在直线12
y x =-上， ∴112
x =- ∴x =-2，
∴P 2（-2，1），即P 2的横坐标为-2=-21，
同理，P 3的横坐标为-2=-21，P 4的横坐标为4=22，P 5=22，P 6=-23，P 7=-23，P 8=24…，
∴242n n P =，
∴P 2020的横坐标为1
202022⨯=21010，
∴P 2021的横坐标为21010，
故答案为：21010．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键． 16．或
【分析】
分两种情形，当或时，分别画出图形来解答．
【详解】
解：当时，
将沿折叠到△，
，
，
点、、三点共线，
，，
由勾股定理得，
设，则，，
在△中，由勾股定理得：
，
解得，
，
当
解析：3或32 【分析】
分两种情形，当90AC E '∠=︒或90AEC '∠=︒时，分别画出图形来解答．
【详解】
解：当90AC E '∠=︒时，
将CDE ∆沿DE 折叠到△C DE '，
90EC D C '∴∠=∠=︒，
180AC E EC D ''∴∠+∠=︒，
∴点A 、C '、D 三点共线，
4AC =，3CD =，
由勾股定理得5AD =，
设CE C E x '==，则4AE x =-，2AC '=，
在Rt △AC E '中，由勾股定理得：
222(4)2x x -=+，
解得32x =
， 32
CE ∴=， 当90AEC '∠=︒时，
90CEC '∴∠=︒，
45CED ∴∠=︒，
3CE CD ∴==，
EAC '∠不可能为90︒，
综上，3CE =或32
． 故答案为：3或32
． 【点睛】
本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题
17．（1）6；（2）-1
【分析】
（1）将二次根式的系数相乘，将二次根式相乘，再化简即可得到答案；
（2）根据除法法则和乘法法则计算二次根式的乘除法，再将结果相加减即可．
【详解】
（1）
（2）．
解析：（1）6；（2）-1
【分析】
（1）将二次根式的系数相乘，将二次根式相乘，再化简即可得到答案；
（2）根据除法法则和乘法法则计算二次根式的乘除法，再将结果相加减即可．
【详解】
（1263=⨯
（22121=--=-． 【点睛】
此题考查二次根式的计算，正确掌握二次根式的乘除法法则，二次根式混合运算法则，以及二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
18．B 、C 两点之间的距离为海里
【分析】
根据题意可知，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：根据题意可知，
1小时后，海里，海里，
在中，
海里，
∴B 、C 两点之间的距离为海里．
【点睛】
本题考
解析：B 、C 两点之间的距离为39海里
【分析】
根据题意可知90BAC ∠=︒，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：根据题意可知90BAC ∠=︒，
1小时后，15AB =海里，36AC =海里，
在Rt ABC 中，
39BC 海里，
∴B 、C 两点之间的距离为39海里．
【点睛】
本题考查了方向角以及勾股定理，读懂题意，得出90BAC ∠=︒是关键．
19．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解．
【解析】
【分析】
（1）先根据以AB 为边△ABC 是轴对称图形，得出△ABC 为等腰三角形，AB 长为3，画以AB 为腰的等腰直角三角形即可；
（2）先根据勾股
解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解．
【解析】
【分析】
（1）先根据以AB 为边△ABC 是轴对称图形，得出△ABC 为等腰三角形，AB 长为3，画以AB 为腰的等腰直角三角形即可；
（2）先根据勾股定理求出AB 的长，利用平移画出点C 即可；
（3）先求出以AB 为底等腰直角三角形腰长AC C 即可．
【详解】
解：（1）∵以AB 为边△ABC 是轴对称图形，
∴△ABC 为等腰三角形，AB 长为3，
画以AB 为直角边，点B 为直角顶点△ABC 如图
也可画以AB 为直角边，点A 为直角顶点△ABC 如图；
（2）根据勾股定理AB=22
+=，
1310
AB为一腰画等腰三角形，另一腰为10，以点A为顶角顶点根据勾股定理构建横1竖3，或横3竖1；点A向左1格再向下平移3格得C1，连结AC1，C1B，得等腰△ABC1，点A 向右3格再向上平移1格得C2，连结AC2，BC2，得等腰△ABC2，点A向右3格再向下平移1格得C3，连结AC3，BC3，得等腰△ABC3，
点B向右3格再向上平移1格得C4，连结AC4，BC4，得等腰△ABC4，点B向右3格再向下平移1格得C5，连结AC5，BC5，得等腰△ABC5，点B向右1格再向上平移3格得C6，连结AC6，BC6，得等腰△ABC6；
（3）AB为底边画等腰三角形，等腰直角三角形腰长为m，根据勾股定理222
=+，
AB AC BC
即222
m=，根据勾股定理AC=5，横1竖2，或横2竖1得图形，=，解得5
m m
10+
点A向右平移2格，再向下平移1格得点C1，连结AC1，BC1，得等腰三角形ABC1，点A 向左平移1格，再向下平移2格得点C2，连结AC2，BC2，得等腰三角形ABC2．
【点睛】
本题考查网格作图，图形平移性质，勾股定理应用，等腰直角三角形性质，轴对称性质，掌握网格作图，图形平移性质，勾股定理应用，等腰直角三角形性质，轴对称性质是解题关键．
20．（1）见解析；（2）时，四边形MNDO 是菱形；当时，四边形MNDO 是矩形；当且时，四边形MNDO 是正方形
【分析】
（1）利用平行四边形的性质及三角形中位线的性质，可得，再加已知条件，利用平行四边形
解析：（1）见解析；（2）AB BD =时，四边形MNDO 是菱形；当AB BD ⊥时，四边形MNDO 是矩形；当AB BD =且AB BD ⊥时，四边形MNDO 是正方形
【分析】
（1）利用平行四边形的性质及三角形中位线的性质，可得//OM CD ，再加已知条件//MN BD ，利用平行四边形的判定定理（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）即可证明；
（2）①根据（1）中平行四边形的性质及三角形中位线的性质可得：12OM AB =，12
MN BD =，当AB BD =时，OM MN =，利用菱形的判定定理（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
②根据（1）中平行四边形的性质可得：//OM AB ，//MN BD ，当AB BD ⊥时，OM MN ⊥，根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）即可证明； ③根据（1）中平行四边形的性质及三角形中位线的性质可得：：12OM AB =，12
MN BD =，且//OM AB ，//MN BD ，当AB BD =且AB BD ⊥时，OM MN =且OM MN ⊥，根据正方形的判定定理（一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形）即可证明．
【详解】
解：（1）证明：∵ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，
∴OA OC =，
又∵M 为AD 中点，
∴//OM CD ，
又∵//MN BD ，
∴四边形MNDO 是平行四边形；
（2）①当AB BD =时，四边形MNDO 是菱形，
证明：根据（1）可得，四边形MNDO 是平行四边形，且12OM AB =，12MN BD =， 又∵AB BD =，
∴OM MN =，
∴四边形MNDO 是菱形；
②当AB BD ⊥时，四边形MNDO 是矩形，
证明：根据（1）可得，四边形MNDO 是平行四边形，且//OM AB ，//MN BD ， 又∵AB BD ⊥，
∴OM MN ⊥，
∴四边形MNDO 是矩形；
③当AB BD =且AB BD ⊥时，四边形MNDO 是正方形，
证明：根据（1）可得，四边形MNDO 是平行四边形及三角形中位线的性质可得：12OM AB =，12
MN BD =，且//OM AB ，//MN BD ， 又∵AB BD =且AB BD ⊥，
∴OM MN =且OM MN ⊥，
∴四边形MNDO 是正方形．
【点睛】
题目主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟练运用特殊四边形的判定定理是解题关键．
21．（1）﹣i ，1，；（2）﹣i ﹣6；（3）的最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件可得i3=i2•i ，i4=i2•i2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所
解析：（1）﹣i ，1，2022
1i i i
--；（2）﹣i ﹣6；（325．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给条件可得i 3=i 2•i ，i 4=i 2•i 2计算即可得出答案；
（2）根据多项式乘法法则进行计算，及题目所给已知条件即可得出答案；
（3）根据题目已知条件，a +bi ＝4+3i ，求出a 、b ，即可得出答案．
【详解】
（1）i 3＝i 2•i ＝﹣1×i ＝﹣i ，
i 4＝i 2•i 2＝﹣1×（﹣1）＝1，
设S ＝i +i 2+i 3+…+i 2021，
iS ＝i 2+i 3+…+i 2021+i 2022，
∴（1﹣i ）S ＝i ﹣i 2022，
∴S ＝2022
1i i i
--， 故答案为﹣i ，1，2022
1i i i
--； （2）（1+i ）×（3﹣4i ）﹣（﹣2+3i ）（﹣2﹣3i ）
＝3﹣4i +3i ﹣4i 2﹣（4﹣9i 2）
＝3﹣i +4﹣4﹣9
＝﹣i ﹣6；
（3）a +bi ＝2543i -＝25(43)(43)(43)i i i +-+＝10075169
i ++＝4+3i ， ∴a ＝4，b ＝3，
x ，0）到点A （0，4），B （24，3）的最小距离，
∵点A （0，4）关于x 轴对称的点为A '（0，﹣4），连接A 'B 即为最短距离，
∴A 'B
25，
25．
【点睛】
此题考查了实数的运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．（1）（2）380天，55元
【分析】
（1）根据函数图像，待定系数法求解析式即可；
（2）设需要天，该店能还清所有债务，根据题意，列一元一次不等式，根据二次函数的性质求得最值
【详解】
（1）当时
解析：（1）2140(4058)82(5871)x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+<≤⎩
（2）380天，55元 【分析】
（1）根据函数图像，待定系数法求解析式即可；
（2）设需要b 天，该店能还清所有债务，根据题意，列一元一次不等式，根据二次函数的性质求得最值
【详解】
（1）当4058x ≤≤时，设y 与x 的函数关系是为11y k x b =+，有函数图像可知，函数图像经过点(40,60),(58,24)
1111
40605824k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得11
2140k b =-⎧⎨=⎩ 2140y x ∴=-+
当5871x <≤时，设y 与x 的函数关系是为22y k x b =+，有函数图像可知，函数图像经过点(58,24),(71,11)
2222
58247111k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得22
182k b =-⎧⎨=⎩ 82y x ∴=-+
综上所述，2140(4058)82(5871)x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+<≤⎩
（2）设设需要b 天，该店能还清所有债务，根据题意，
[(40)822106]68400b x y -⨯-⨯-≥ ∴68400(40)822106
b x y ≥-⋅-⨯- ∴当4058x ≤≤时，26840068400(40)(2140)27022205870
b x x x x ≥=--+--+- 当220552(2)x =-
=⨯-时，222205870x x -+-的最大值为180 ∴68400180
b ≥ 即380b ≥，
∴当5871x <≤时，26840068400(40)(82)2701223550
b x x x x ≥=--+--+- 当122612(1)x =-
=⨯-时，222205870x x -+-的最大值为171 ∴68400171
b ≥ 即400b ≥，
综上所述，380b ≥时，即最早需要380天还清所有债务，此时服装定价为55元
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=BE=BO=EO ，得∠ABO=∠BAO ，
∠OBM=∠OMB ，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2
解析：（1）见解析；（2）
，理由见解析；（3
）【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=12BE=BO=EO ，得∠ABO=∠BAO ，∠OBM=∠OMB ，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；
（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得
BN=DF，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM≌△FAM（SAS），得MN=MF，在Rt△FDM中，由勾股定理得FM2=DM2+FD2，进而得出结论；
（3）作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，则△PCQ≌△ECQ，
∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP，△PCE是等腰直角三角形，得CE=CP=PE，证△BCE≌△DCP（SAS），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则
∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=，PE=6，即可得出PC的长．
【详解】
解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
是BE的中点，
，
，，
；
（2），理由如下：
在AD上方作，使，连接DF、，如图2所示：
则，
四边形ABCD是正方形，
∴=，，
AB AD
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
在中，，
即；
（3）作P关于直线的对称点E，连接、BE、CE、，如图3所示：则，，，
，
，是等腰直角三角形，
，
在和中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
故答案为：32．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）A（-8，0）、B（0，6）；（2）5；（3）①3个；②（-5，6）或（-11，-6）或（5，6）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）由翻折不变性可知，OC=CD
解析：（1）A（-8，0）、B（0，6）；（2）5；（3）①3个；②（-5，6）或（-11，-6）或（5，6）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）由翻折不变性可知，OC=CD，OB=BD=6，∠ODB=∠BOC=90°，推出AD=AB-BD=4，设CD=OC=x，在Rt△ADC中，根据AD2+CD2=AC2，构建方程即可解决问题．
（3）①根据平行四边形的定义画出图形即可判断．
②利用平行四边形的性质求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）对于直线
3
6
4
y x
=+，令x=0，得到y=6，
∴B（0，6），
令y=0，得到x=8
-，
∴A（8-，0）；
（2）∵A（8
-，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∵∠AOB=90°，
∴
10
AB=，
由翻折不变性可知，OC=CD，OB=BD=6，∠ODB=∠BOC=90°，∴AD=AB-BD=4，设CD=OC=x，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，
∴AD2+CD2=AC2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴OC=3，AC=OA-OC=8-3=5．
（3）①符合条件的点P有3个，如图所示：
②∵A （-8，0），C （-3，0），B （0，6），
当AB 为对角线时，1//BP AC ，
由平行四边形的性质，得15BP AC ==，
∴P 1（-5，6）；
当AB 为边时，//AB CP ，点P 在第三象限时，有
点B 向下平移6个单位，向左平移3个单位得到点C ，
∴点A 向下平移6个单位，向左平移3个单位得到点P 2，
∴P 2（-11，-6）；
点P 在第二象限时，有
35BP AC ==，
∴P 3（5，6）；
∴点P 的坐标为：（-5，6）或（-11，-6）或（5，6）．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）过点D 作DF ⊥AB 于F ，有等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的性质，利用勾股定理求出AF 和BF 的长即可求解.
（2）过点E 作EF ⊥AB 于F ，过点
解析：（1622）证明见解析；（3）43
【分析】
（1）过点D 作DF ⊥AB 于F ，有等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的性质，利用勾股定理求出AF 和BF 的长即可求解.
（2）过点E 作EF ⊥AB 于F ，过点A 作AG ⊥BD 交BD 延长线于G ，先证明
△GAD ≌△FAE ，再证明三角形ADE 时等边三角形，即可得到答案；
（3）过点A 作AP ⊥DE 于P ，过点D 作DN ⊥BF 于点N ，可证明∠BDN =∠DBN =45°，
∠FDN =30°，以及EF =BF ，设FN =m ，根据勾股定理，用含m 的式子分别表示出2AF 和2BF ，即可得出结果.
【详解】
解：（1）如图，过点D 作DF ⊥AB 于F ，
∴∠AFD =∠BFD =90°
∵四边形ABCD 是平行四边形，∠C =45°，BC =2
∴∠A =∠C =45°，AD =BC =2
∴AF =DF ，
∵∠DBA =30°，
∴BD =2DF ，
在直角三角形AFD 中，222AF DF AD +=，
∴224AF =， ∴2AF DF ==，
∴222BD DF ==，
在直角三角形DFB 中，226BF BD DF =-=，
∴62AB AF BF =+=+；
（2）过点E 作EF ⊥AB 于F ，过点A 作AG ⊥BD 交BD 延长线于G ，
∵AE =BE ，
∴12
A F
B A BF ==， ∵∠G =90°，∠DBA =30°，
∴12
AG AB =，∠DAB =60° ∴AG AF =，
∵∠DAE =60°，
∴∠GAD =∠FAE =60°-∠DAF ，
∵∠G =∠AFE =90°，
∴△GAD ≌△FAE （ASA ），
∴AD =AE ，
∴三角形ADE 时等边三角形，
∴AD =DE ，
∴DE =BC ；
（3）如图，过点A 作AP ⊥DE 于P ，过点D 作DN ⊥BF 于点N ，则
∠APE =∠APF =∠DNF =∠DNB =90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴∠ABF =∠C =15°，∠DFB =∠ADF =60°，
∴∠DBN =∠ABF +∠ABD =45°，∠FDN =30°，
∴∠BDN =∠DBN =45°，
∴∠EBD =∠EDB =∠FDN +∠BDN =75°，
∴∠FEB =180°-75°-75°=30°，
∴∠FBE =∠DFB -∠FEB =60°-30°=30°=∠FEB ，
∴EF =BF ，
设FN =m ，DF =2m ， ∴223BN DN DF FN m ==-=， ∴3EF BF m m ==+，33AE DE m m ==+，
∴13322m m PE PD DE +==
=， ∴333222
m m m m PF m +-=-=， ∵2AE DE PE ==，
∴22223AP AE PE PE =-=，
∴()
22222231043AF AP PF PE PF m =+=+=+， ∵(
)()2223423BF m m m =+=+， ∴()()22222104343423m AF AF BF BF m +⎛⎫===- ⎪⎝⎭+.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。