高考专题复习攻克圆锥曲线解答题的策略

高考专题 攻克圆锥曲线解答题的策略
第一、知识储备： 1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈
②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121
tan 1k k k k α-=
+
（3）弦长公式
直线
y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：
12
AB x =-
=
或12AB
y =-
（4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥⇔=-1 ②
212121//b b k k l l ≠=⇔且
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式（三种形式）
标准方程：22
1(0,0)x y m n m n m n
+=>>≠且
2a =
参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式（两种形式）
标准方程：22
1(0)x y m n m n
+=⋅<
距离式方程：2a =
(3)、三种圆锥曲线的通径
22
222b b p a a
椭圆：；双曲线：；抛物线：
(4)、圆锥曲线的定义
已知21F F 、是椭圆13
42
2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点
M 满足
221=-MF MF 则动点
M 的轨迹是（ ）
A 、双曲线；
B 、双曲线的一支；
C 、两条射线；
D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1
2
2tan
2
F PF
P b θ
∆=在椭圆上时，S
122cot
2
F PF P b θ
∆=在双曲线上时，S
（其中222
1212121212||||4,cos ,||||cos ||||
PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ
+-∠==∙=⋅）
(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可
简记为“左加右减，上加下减”。

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为
（3）11||,||2
2
p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形
设()
11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13
42
2=+y x 的弦AB 中点则有
1342
12
1=+y x ，1342
22
2=+y x ；两式相减得(
)()03
4
2
2
2
1
2
2
21=-+-y y
x x
⇒
()()
()()
3
4
21212121y y y y x x x x +--
=+-⇒AB k =b
a 43-
2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典
套路是什么？如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个
二次方程，使用判别式0∆≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。

若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。

一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程;
（2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.
例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为
λ，双曲线过
C 、
D 、
E 三点，且以A 、B 为焦点当4
33
2≤≤λ时，求双曲线离
心率e 的取值范围。

例3已知双曲线12
2:2
2
=-x y
C ，直线l 过点(
)0
,2A ，斜率为k ，当10<<k 时，
双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2，试求k 的值及此时
点B 的坐标。

例4已知椭圆C:和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、
B 两点，在线段AB 上取点Q ，使，求动点Q 的轨迹所在曲线的
方程.
例5设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22
94
1+=顺次交于
A 、
B 两点，试
求
的取值范围.
例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。

例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、
、三点．（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）若点D 为椭圆上不同于、的任意一点，，当ΔDFH 内切圆的面积最大时，求ΔDFH 内心的坐标；
例8、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于
A B ，两点.
（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12
-，求直线AB 的方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
B A ,O F 1=⋅1=M l Q P ,l F PQM ∆l E (2,0)A -(2,0)B 31,2
C ⎛⎫
⎪⎝⎭
E E A B (1,0),(1,0)
F H -
例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 例
10、已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点
的距离是
.2
3
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.
例11、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（II ）若直线:l y =k x +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶
点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
例
12、已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点
P 在双
曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P 的坐标为)5
16
,5413
(时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若||3||21PF PF ,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方
程.。