2022年浙江省绍兴市诸暨市中考数学适应性试题及答案解析

2022年浙江省绍兴市诸暨市中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−2,0,1,√3中，最小的数是( )
A. −2
B. 0
C. 1
D. √3
2. 第七次全国人口普查数据显示，诸暨市常住人口约为1220000人，这个数字1220000用科学记数法可表示为( )
A. 0.122×107
B. 1.22×106
C. 12.2×105
D. 1.22×107
3. 如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
4. 已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是( )
A. 1
10B. 9
10
C. 1
5
D. 4
5
5. 下面是一位同学做的四道题，其中正确的一题是( )
A. (−2a2)3=−8a6
B. a6÷a3=a2
C. (a−b)2=a2−b2
D. a3⋅a4=a12
6. 已知P(−2,3)，Q(−3,2)，R(4,−6)，S(−6,9)中有三个点在同一直线y=kx上，不在此直线上的点是( )
A. 点P
B. 点Q
C. 点R
D. 点S
7. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=15°，则∠A的度数是( )
A. 35°
B. 40°
C. 50°
D. 55°
8. 如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为( )
A. 12
B. 18
C. 24
D. 30
9. 如图，周长为定值的平行四边形ABCD中，∠B=65°，设AB的长为x，AD的长为y，平行四边形ABCD的面积为S.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( )
A. 反比例函数关系，一次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系
D. 一次函数关系，二次函数关系
10. 现有一个3×4方格的小型跳棋盘，将8枚棋子摆成如图的“中”字形状，并规定每一步可移动一枚棋子进入相邻空格中，或可将某枚棋子跳过邻格中的一枚棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的这枚棋子从棋盘上移走，若最终棋盘上只剩下一枚棋子并停在标有“国”字的空格中，则最少需要移动的步数是( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 分解因式：x2+2x=______ ．
12. 有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB=18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD=______cm．
13. 我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，根据如图的幻方，则代数式x−3y=______．x2y
−2y
14. 已知△ABC中，AB=AC=2，∠A=120°，在同一平面内，若△ABP≌△BAC，则PC的长为______．
15. 如图，已知直线y=2x+m交x轴于点A，交双曲线y=k
(k>0,x>0)于点B，作直线
x
y=3交直线y=2x+m于点C，交双曲线y=k
(k>0,x>0)于点D，若DC=4，且BC=2AB，
x
则k=______．
16. 正方形ABCD的边长为4，点E是射线AD上的一个动点，连结CE，以CE为边往右侧作正方形CEFG，连结DF、DG．
(1)当点E在AD延长线上，且DE=AD时，DG=______．
(2)当点E在线段AD上，且△DGF为等腰三角形时，DG=______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. (1)计算：3tan60°+(π−1)0−(1
)−1−√27；
2
(2)解不等式：5(x+1)≥2x−1．
四、解答题（本大题共7小题，共72.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
在A、B两地之间有汽车站C，甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，甲、乙两车离C站的距离y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示．(1)根据图形填空：甲车速度为______千米/小时，乙车速度为______千米/小时，AC=______千米，AB=______千米．
(2)甲、乙两车出发多少小时后相遇？
19. (本小题8.0分)
健康的体魄是青少年为祖国和人民服务的基本前提，是中华民族旺盛生命力的体现．某初中学校为了提高学生体质健康，制定合理的校园阳光体育锻炼方案，随机抽查了部分学生最近两周参加体育锻炼活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)抽查的学生中锻炼8天的有______人．
(2)本次抽样调查的众数为______，中位数为______．
(3)如果该校约有2000名学生，请你估计全校约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天？
20. (本小题8.0分)
图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB=BE=ED=CD=20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时(如图3所示)放置最平稳．
(1)求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
(2)当A点到水平桌面(CD所在直线)的距离为42cm−43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.73)
21. (本小题10.0分)
如图，AC为⊙O的直径，点B是AC上方半圆上的一点，作BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D 作DE//AC交BC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB=2，BE=3，求BD的长．
22. (本小题12.0分)
如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．
(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．
(2)记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1−y2的最大值．
(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
23. (本小题12.0分)
如图，D在BC延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线BE、CE交于点E．
(1)若∠A=50°，求∠E的度数．
(2)若CE//AB且CE
AB =3
4
，求cos∠ABC的值．
(3)若∠ABC为锐角，作BF⊥EC交EC延长线于点F，当△ABC与△BEF相似时，请求出CE
BF
的值．
24. (本小题14.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，BC=10，D、E分别为边BC、AB上的动点，满足DB=DE；以DE为边作矩形DEFG，使点F始终落在直线BC上．
(1)当E点与A点重合时，求DE的长．
(2)连结AF，若△AEF为直角三角形，求DE的长．
(3)若以点F为旋转中心，将矩形DEFG顺时针旋转90°，当旋转后的矩形与边AC有两个交点时，请直接写出DE的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：实数−2,0,1,√3中，最小的数是：−2，
故选：A．
根据正数大于0，0大于负数，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握正数大于0，0大于负数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：1220000=1.22×106．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：所给图形的俯视图是两排正方形，第一排3个，第二排2个．
故选A．
俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了简单组合体的三视图，注意掌握：俯视图是从物体上面看所得到的图形．
4.【答案】C
【解析】解：从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率=2
10=1
5
．
故选：C．
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
【解析】解：A、(−2a2)3=−8a，原计算正确，故此选项符合题意；
B、原式=a3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式=a2−2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原式=a7，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式、同底数幂的乘法法则逐项分析可得答案．
本题考查整式的运算，熟练掌握积的乘方的运算法则、同底数幂的乘除法法则、完全平方公式是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：当点P(−2,3)在直线y=kx上时，−2k=3，
解得：k=−3
2
，
∴此时正比例函数的解析式为y=−3
2
x.
当x=−3时，y=−3
2×(−3)=9
2
≠2，
∴点Q不在直线y=−3
2
x上；
当x=4时，y=−3
2
×4=−6，
∴点R在直线y=−3
2
x上；
当x=−6时，y=−3
2
×(−6)=9，
∴点S在直线y=−3
2
x上．
故选：B．
当点P(−2,3)在直线y=kx上时，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出正比例函数的解析式，再分别代入其余各点的横坐标求出y值，对边各点的纵坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx 是解题的关键．
【解析】解：∵DM 是AB 的垂直平分线， ∴AD =BD ， ∴∠ABD =∠A ，
∵等腰△ABC 中，AB =AC ， ∴∠ABC =∠C =
180°−∠A
2
， ∴∠DBC =∠ABC −∠ABD =180°−∠A
2
−∠A =15°，
解得：∠A =50°． 故选：C ．
点拨：由AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，可得AD =BD ，即可证得∠ABD =∠A ，又由等腰△ABC 中，AB =AC ，可得∠ABC =
180°−∠A 2，继而可得：180°−∠A
2
−∠A =15°，解此方程即可求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，注意方程思想的应用．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点M ，
∵△ABC 的面积为50， ∴1
2×10×AH =50， ∴AH =10，
∵四边形DFGE 是矩形， ∴DF =MH =EG ，DE//BC ， ∴∠ADE =∠ABC ，∠AED =∠ACB ， ∴△ADE∽△ABC ，
∴AM AH =DE
BC
，即10−MH
10
=6
10
，
∴MH=4，
∴DF=4，
∴S
矩形DFGE
=DE⋅DF=6×4=24，
故选：C．
过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点M，由△ABC的面积为50，求出AH=10，由矩形的性质得出
DF=MH=EG，DE//BC，证明△ADE∽△ABC，得出AM
AH =DE
BC
，求出MH=4，即可求出矩形的
面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握三角形面积公式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设平行四边形ABCD的周长为a，根据题意得：
2(x+y)=a，
∴y=−x+a
2
；
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
∵S=AB⋅sin65°⋅BC
=xysin65°
=x(−x+a
2
)sin65°
=−sin65°⋅x2+sin65°⋅a
2
，
∴S与x满足的函数关系是二次函数．
故选：D．
先设平行四边形ABCD的周长为a，根据2(x+y)=a得出y=−x+a
2
；再根据矩形的面积公式列
出S关于x的函数关系式，从而得出结论．
本题考查的是二次函数和一次函数的应用，关键是找等量关系列出函数解析式．10.【答案】C
【解析】解：本着走一步拿掉一个棋子的原则，尽可能的向标有“国“字靠拢，经过几次实践，得到结果是9次．
故选：C．
根据棋子移动原则，尽可能的拿掉一个为好的对策，进行移动．
本题没有固定的方法，但是下棋有原理，本着解决问题的原则试试，有必要也可以动手操作，也可以得到答案．
11.【答案】x(x+2)
【解析】解：x2+2x=x(x+2)．
故答案为：x(x+2)．
首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】3
【解析】解：在Rt△ADO中，DO=√AO2+AD2=√152−92=12(cm)，
则CD=CO−DO=15−12=3(cm)，
故答案为：3．
在Rt△ADO中，AO=15cm，AD=9cm，利用勾股定理得出DO的长，进而得出答案．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确运用勾股定理是解题关键．
13.【答案】2
【解析】解：∵三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，
∴x−2+0=0+y+2y，
∴x−3y=2．
故答案为：2．
根据三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出x−3y的值．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14.【答案】4或2√7
【解析】解：根据题意，分两种情况：
①如图所示：
∵AB=AC=2，∠A=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∵△ABP≌△BAC，
∴BP=AC=2，∠PBA=∠CAB=120°，
∴∠PBC=120°−30°=90°，
过点A作AM⊥BC于点M，
AB=1，
则AM=1
2
根据勾股定理，得BM=√3，
∴BC=2BM=2√3，
在Rt△PBC中，根据勾股定理，得PC=√22+(2√3)2=4；
②如图所示：
∵△ABP≌△BAC，
∴BP=AC=2，∠PBA=∠CAB=120°，
过点P作PH⊥BC，交CB的延长线于点H，
则∠PBH=30°，
∴PH=1
PB=1，
2
根据勾股定理，得BH=√3，
∵BC =2√3， ∴CH =3√3， 在Rt △PHC 中，根据勾股定理，得PC =√12+(3√3)2=2√7，
综上，PC 的长为4或2√7，
故答案为：4或2√7．
根据题意，分两种情况：①根据全等三角形的性质可得PB =2，∠PBC =90°，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得BC 的长，再在Rt △PBC 中根据勾股定理即可求出PC 的长；②根据全等三角形的性质可得BP =AC =2，∠PBA =∠CAB =120°，过点P 作PH ⊥BC ，交CB 的延长线于点H ，可得∠PBH =30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PH ，进一步求出CH ，再在Rt △PCH 中根据勾股定理即可求出PC 的长．
本题考查了全等三角形的性质，涉及等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意分情况讨论．
15.【答案】4.5
【解析】解：作BM ⊥x 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，
∴BM//CN ，
∴BM CN =AB AC ，
∵BC =2AB ，作直线y =3交直线y =2x +m 于点C ，
∴BM CN =13，CN =3，
∴BM =13CN =1，
把y =1代入y =2x +m 得，1=2x +m ，
∴x =1−m 2，
∴B(1−m 2
,1)， ∵双曲线y =k
x (k >0,x >0)过点B ，
∴k =1−m 2×1=1−m
2，
把y =3代入y =k x 得，x =k 3=1−m 6，
把y =3代入y =2x +m 得，x =3−m 2， ∴点D 的横坐标为1−m 6，点C 的横坐标为3−m 2， ∵DC =4， ∴3−m 2−1−m 6=4，
解得m =−8，
∴k =1−m 2=4.5，
故答案为：4.5． 作BM ⊥x 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，则BM//CN ，即可得到
BM CN =AB AC =13，求得BM =1，把y =1代入一次函数解析式求得B(
1−m 2,1)，即可得到k =1−m 2×1=1−m 2，进而表示出D 的横坐标为1−m 6，点C 的横坐标为3−m 2，由DC =4得出关于m 的方程，解方程求得m 的值，进一步求得k =4.5． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，表示出点D 、C 的横坐标是解题的关键．
16.【答案】4√5 4或4√2或2√5
【解析】解：(1)如图1，连接EG ，
∵正方形ABCD 的边长为4，DE =AD ，
∴AD =DE =CD =4，∠ADC =90°，
∴∠CDE =180°−90°=90°，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴CE =√2DE =4√2，∠DCE =∠DEC =45°，
∵四边形CEFG 是正方形，
∴CE =CG =4√2，∠ECG =90°，
∴△CEG 是等腰直角三角形，
∴∠CEG =45°，EG =√2CE =√2×4√2=8，
∴∠DEG =∠DEC +∠CEG =45°+45°=90°，
在Rt △DEG 中，DG =√DE 2+EG 2=√42+82=4√5，
故答案为：4√5；
(2)如图2，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，过点G作GK⊥CD于点K，则∠H=∠CKG=∠DKG=90°，
∵四边形ABCD，四边形CEFG均为正方形，
∴AD=CD=4，EF=CE=CG=FG，∠CDE=∠CEF=∠ECG=90°，
∵∠FEH+∠CED=90°，∠CED+∠ECD=90°，∠ECD+∠GCK=90°，
∴∠FEH=∠ECD，∠GCK=∠CED，
在△CED和△EFH中，
{∠CDE=∠H
∠ECD=∠FEH CE=EF
，
∴△CED≌△EFH(AAS)，
∴DE=FH，CD=EH=4，
同理，△CED≌△GCK(AAS)，
∴DE=CK，CD=GK=4，
设DE=m(0≤m≤4)，则FH=CK=m，
∴DH=4−m，DK=4−m，
在Rt△DFH中，DF2=DH2+FH2=(4−m)2+m2=2m2−8m+16，在Rt△DGK中，DG2=DK2+GK2=(4−m)2+42=m2−8m+32，在Rt△CED中，CE2=DE2+CD2=m2+16，
∴FG2=m2+16，
当DF=DG时，2m2−8m+16=m2−8m+32，
解得：m=−4(舍去)或m=4，
∴DG=√m2−8m+32=√42−8×4+32=4；
当DF=FG时，2m2−8m+16=m2+16，
解得：m=0或m=8(舍去)，
∴DG=√m2−8m+32=√32=4√2；
当DG=FG时，m2−8m+32=m2+16，
解得：m=2，
∴DG=√m2−8m+32=√22−8×2+32=2√5；
综上所述，DG=4或4√2或2√5．
故答案为：4或4√2或2√5．
(1)如图1，连接EG，可证：△CDE是等腰直角三角形，△CEG是等腰直角三角形，得出∠DEG=90°，再运用勾股定理即可求得答案；
(2)如图2，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，过点G作GK⊥CD于点K，可证：△CED≌△EFH(AAS)，△CED≌△GCK(AAS)，设DE=m(0≤m≤4)，求出DF、FG、DG，再根据等腰三角形性质分类讨论即可．
本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形，第(2)问要注意运用分类讨论思想，防止漏解．
17.【答案】解：(1)3tan60°+(π−1)0−(1
)−1−√27
2
=3√3+1−2−3√3
=−1；
(2)5(x+1)≥2x−1．
去括号，得5x+5≥2x−1，
移项、合并同类项，得3x≥−6，
系数化为1，得x≥−2．
【解析】(1)根据二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义和零指数幂的意义进行计算；
(2)根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题考查的是实数的运算，解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18.【答案】8060240300
【解析】解：(1)由图象可得，
甲车的速度为：240÷3=80(千米/小时)，
乙车的速度为：240÷(5−1)=60(千米/小时)，
AC=240，AB=240+60×1=300，
故答案为：80，60，240，300；
(2)设甲、乙两车出发t小时后相遇，
由题意可得：60(t−1)+80t=240，
，
解得t=15
7
小时后相遇．
答：甲、乙两车出发15
7
(1)根据题意和图象中的数据，可以求出甲车的速度、乙车的速度、AC和AB的长度；
(2)根据题意和(1)中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】605天6天
【解析】解：(1)本次调查的人数为：240÷40%=600，
锻炼8天的有：600−240−120−150−30=60(人)，
故答案为：60；
(2)由条形统计图可得，
=6(天)，
众数是5天，中位数是6+6
2
故答案为：5天，6天；
(3)2000×40%=800(名)，
估计全校约有800名学生参加体育锻炼的天数不少于7天．
(1)根据锻炼5天的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出锻炼8天的人数；
(2)根据条形统计图中的数据，可以写出相应的众数和中位数；
(3)根据条形统计图中的数据，可以计算出全校有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7．
本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)延长BE交DC于点F，
由题意得：
EF⊥CD，FD=CD=1
2
CD=10cm，
在Rt△DEF中，DE=20cm，
∴cosD=DF
DE =10
20
=1
2
，
∴∠D=60°，
∴灯座DC与灯杆DE的夹角为60°；
(2)过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，
则GM=BF，∠GBF=90°，
在Rt△DEF中，DE=20cm，DF=10cm，
∴EF=√DE2−DF2=√202−102=10√3(cm)，
则GM=BF=BE+EF=(20+10√3)cm，
∵∠ABE=105°，
∴∠ABG=∠ABF−∠GBF=15°，
在Rt△ABG中，AB=20cm，
∴AG=AB⋅sin15°≈20×0.26=5.2(cm)，
∴AM=AG+GM=20+10√3+5.2≈42.5(cm)，
∴A点到水平桌面(CD所在直线)的距离约为42.5cm，
∴此时光线最佳．
CD=10cm，然后在Rt△【解析】(1)延长BE交DC于点F，根据题意可得EF⊥CD，FD=CD=1
2
DEF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
(2)过点A作AM⊥DC，交DC的延长线于点M，过点B作BG⊥AM，垂足为G，则GM=BF，∠GBF= 90°，先在Rt△DEF中，利用勾股定理求出EF的长，从而求出BF，GM的长，然后根据∠ABE=105°，求出∠ABG的度数，最后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：连结OD，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE=45°．
∴∠AOD=2∠ABD=90°，
∵AC//DE，
∴∠ODE=∠AOD=90°，
即OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
(2)解：∵AC//DE，
∴∠E=∠BCA，
∵∠BCA=∠ADB，
∴∠ADB=∠E．
∵∠ABD=∠DBE=45°，
∴△ABD∽△DBE．
∴AB BD =BD
BE
，
∴2 BD =BD
3
∴BD2=2×3，
∵BD>0，
∴BD=√6．
【解析】(1)连结OD，利用圆周角定理，角平分线的定义，平行线的性质和切线的判定定理解答即可；
(2)证明△ABD∽△DBE，利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，角平分线的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22.【答案】解：(1)由题可知：抛物线的顶点为(10,6)，
设水流形成的抛物线为y=a(x−10)2+6，
将点(0,1)代入可得a=−1
20
，
∴抛物线为y=−1
20
(x−10)2+6，
当x=15时，y=−1
20
×25+6=4.75>4.2，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
(2)由题可知A点坐标为(15,3)，
则直线OA为y=1
5
x，
∴y1−y2=−1
20(x−10)2+6−1
5
x=−1
20
x2+4
5
x+1=−1
20
(x−8)2+21
5
，
答：y1−y2的最大值为21
5
；
(3)设喷射架向后平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为y=−1
20
(x−10+m)2+6，将点B(15,4.2)代入得：m=1或m=−11(舍去)，
答：喷射架应向后移动1米．
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x−10)2+6，用待定系数法求得解析式；
(2)先求出直线OA的解析式，再根据两个纵坐标的差求出最大值即可；
(3)设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为y=−1
20
(x−10+m)2+6，将点B的坐标代入可得答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵∠ABC与∠ACD的平分线BE、CE交于点E，
∴∠CBE=1
2∠ABC，∠DCE=1
2
∠DCA，
∴∠E=∠DCE−∠CBE=1
2(∠ABC−∠DCA)=1
2
∠A=25°；
(2)过点C作CF⊥AB于点F，如图，
∵∠ABC与∠ACD的平分线BE、CE交于点E，CE//AB，∴∠ABE=∠EBC=∠E，∠EDC=∠ACE=∠A，
∴AC=BC=CE，
∵CE⊥AB，CE
AB =3
4
，
∴BF=1
2AB=1
2
×4
3
CE=2
3
CE，
∴cos∠ABC=BF
BC =
2
3
CE
CE
=2
3
；
(3)∵△ABC与△BEF相似，∠ABC是锐角，∴∠A和∠ACB都可能是直角，
当∠ACB是直角时，如图，
∵△ABC∽△BEF，
∴∠ABC=∠E，
由(1)可知，∠E=1
2
∠A，
∴∠ABC=∠E=1
2
∠A=30°，
∴BF EF =tan30°=√3
3
，
即EF=√3BF，
∵∠ACB是直角，CE平分∠ACD，∴∠BCF=∠ACE=∠FBC=45°，∴CF=BF，
∴CE BF =EF−CF
BF
=√3BF−BF
BF
=√3−1；
当∠A是直角时，过点C作CG⊥AE于点G，如图，
由(1)可知：，∠E=1
2
∠A=45°，
∵△ABC∽△BEF，
∴∠ABC=∠E=∠ACB=∠EBF，
∴△ABC和△BEF都是等腰直角三角形，∠ABE=∠EBC=∠CBF，∴BC平分∠EBF，
∵BF⊥EF，CG⊥BE，
∴CG=CF，
设CF=x，则CG=GE=x，CE=√2x，BF=EF=√2x+x，
∴CE BF =√2x
√2x+x
=2−√2，
∴CE
BF
的值为：√3−1或2−√2．
【解析】(1)由角平分线的定义可得∠CBE=1
2∠ABC，∠DCE=1
2
∠DCA，从而可求∠E的度数；
(2)过点C作CF⊥AB于点F，可求得BF=2
3
CE，从而可求cos∠ABC的值；
(3)根据两个三角形相似，分两种情况进行讨论：∠A为直角时，∠ACB为直角时，再结合图形进行分析，从而可求解．
本题主要考查相似三角形的判定，解直角三角形，解答的关键是结合图形分析清楚角与角，边与边之间的关系．
24.【答案】解：(1)如图1中，当E点与A点重合时，
∵DA=DB，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠C=∠DAC，
∴DA=DC，
∴DB=DC，
∴DE=1
2
BC=5；
(2)①如图2−1中，当∠AFE=90°时，此时点F在BC中点处，过点D作DT⊥BE于点T．
在Rt △ABC 中，AC =√BC 2−AB 2=√102−82=6，
∵∠B =∠FAB ，
∴cosB =cos∠BAF =45，
在Rt △AFE 中，AE =AF cos∠BAF =
545=254， ∴BE =AB −AE =8−325=185，
∵DB =DE ，DT ⊥BE ，
∴BT =ET =95，
∴DE =BD =
BT cosB =9545=9
4．
②当∠EAF =90°时，此时点F 与点C 重合，同法可得DE =3516．
综上所述，满足条件的DE 的值为94或3516
；
(3)如图3−1中，当点E′落在AC 上时，取BC 的中点M ，连接AM ，过点M 作MJ ⊥AC 于点J ，过点C 作CK ⊥DM 于点K ．
∵MJ//AB ，BM =MC ，
∴AJ =CJ ，
∴MJ =12AB =4，
∵12⋅AM ⋅CK =12⋅AC ⋅MJ ，
∴CK =245，
∴MK =√CM 2−CK 2=√52−(245)2=75，
∴tan∠CMK =CK MK =247，
∵ED//AM ，
∴∠EDF =∠KMC ，
∴tan∠EDF =EF DE =247，
∴可以假设DE =7k ，EF =24k ，则DF =25k ，
∴FE′=EF =FC =24k ，
∴7k +25k +24k =10，
∴k =528，
∴DE =7k =54．
如图3−2中，当线段D′E′经过点A 时，设AM 交EF 于点Q ．
则AQ=E′F=24k，
∵ED′=5
4AQ=30k，BE=2⋅BD⋅4
5
=56
5
k，
∴56
5
k+30k=8，
∴k=20
103
，
∴DE=7k=140
103
，
观察图形可知，满足条件的值为5
4<DE≤140
103
．
如图3−3中，当D′G′经过点A时，
∵EG′=EF−FG′=24k−7k=17k，
∴AE=5
3EG′=85
3
k，
∵BE=56
5
k，
∴56
5k+85
3
k=8，
∴k=120
593
，
∴DE=7k=840
593
，
如图3−4中，当点G′落在AC上时，
∵AE=3
5EG′=51
5
k，
∵BE=56
5
k，
∴56
5k+51
5
k=8，
∴k=40
107
，
∴DE=7k=280
107
，
观察图形可知，满足条件的DE的值为：840
593<DE≤280
107
．
综上所述，满足条件的DE的值为：5
4<DE≤140
103
或840
593
<DE≤280
107
．
【解析】(1)当E点与A点重合时，利用等腰三角形的性质可知点D为CB的中点，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案；
(2)分两种情形：如图2−1中，当∠AFE=90°时，此时点F在BC中点处，过点D作DT⊥BE于点T.当∠EAF=90°时，此时点F与点C重合，分别解直角三角形可得结论；
(3)求出四种情形DE的值，①如图3−1中，当点E′落在AC上时，取BC的中点M，连接AM，过点M 作MJ⊥AC于点J，过点C作CK⊥DM于点K.②如图3−2中，当线段D′E′经过点A时，设AM交EF于点Q.③如图3−3中，当D′G′经过点A时，④如图3−4中，当点G′落在AC上时，分别构建方程，
求出DE，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。