2019届浙江省温州市高三下学期5月普通高中高考适应性测试数学试题(解析版)

2019届浙江省温州市高三下学期5月普通高中高考适应性测试数学试题
一、单选题
1．已知集合U =R ，{}
0A y y =≥，{
}
1B y y x ==+，则U A B =I ð( )
A ．[)0,1
B ．()0,∞+
C ．()1,+∞
D ．[
)1,+∞
【答案】A
【解析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】 由11y x =
+≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )
A ．28cm
B ．212cm
C ．()
2
452cm
D ．()
2
454cm
【答案】D
【解析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.22215+=所以侧面积为1
425452
⨯⨯=所以该几何体的表面积是()
2454cm . 故选：D 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值. 【详解】
由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ++=，
2233,1a a ==.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
4．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β D ．n ⊂α，m n ⊥
【答案】B
【解析】根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】
对于A 选项，当αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥时，由于m 不在平面β内，故无法得出
m α⊥.
对于B 选项，由于//αβ，m β⊥，所以m α⊥.故B 选项正确.
对于C 选项，当αβ⊥，//m β时，m 可能含于平面α，故无法得出m α⊥. 对于D 选项，当n ⊂α，m n ⊥时，无法得出m α⊥. 综上所述，m α⊥的一个充分条件是“//αβ，m β⊥” 故选：B 【点睛】
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.
5．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则22
z x y =+的最大值等于( )
A ．2
B ．22
C ．4
D ．8
【答案】D
【解析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值. 【详解】
画出可行域如下图所示，其中()51,,2,22A C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由于2
252912OA ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
,22OC =，所以OC OA >， 所以原点到可行域上的点的最大距离为22. 所以z 的最大值为()
2
228=.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
6．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线2
22:14
y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的
离心率的取值范围是( ) A ．(
3
B ．)
3,⎡+∞⎣
C ．(
5
D ．)
5,⎡+∞⎣
【解析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】
双曲线22
2:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲
线2
22:14y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1
C
的离心率(
e =.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题. 7．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数(
)2
f x bx =的函数图像上的任意两点，
且()y f x =在点12
12,
22x x x x f ⎛++⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数 D ．不存在满足条件的实数a ，b
【答案】A
【解析】求得()f x 的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得0a =，b 为任意非零实数. 【详解】 依题意(
)'
2f
x bx =
，()y f x =在点1212,2
2x x
x x f ⎛++⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线与直线AB
(
)1221b x x ++=
()1
2
21
a
b x x x x =
++-
=
，由于对任意12,x x 上
式都成立，可得0a =，b 为非零实数. 故选：A
本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．
8．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( ) A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX > B ．()()1233P X P X =<=，
12EX EX >
C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <
D ．
()()1233P X P X =<=，12EX EX < 【答案】C
【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【详解】
13X =表示取出的为一个白球，所以()1
41162
33C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，
()12116123C P X C ===，所以()1218
32333
E X =⨯+⨯=.
23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11
422268
315C C P X C ===，22X =表示取出
两个球为黑球，()2
22261
15C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，
()242266415C P X C ===，所以()281610
3241515153
E X =⨯+⨯+⨯=.所以
()()1233P X P X =>=，12EX EX <.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.
9．已知平面向量a r ，b r ，c r
满足：0,1a b c ⋅==r r r ，5a c b c -=-=r r r r ，则a b -r r 的最
小值为( ) A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B
【解析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -r r
的
最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=r ，,OA a OB b ==u u u r r u u u r r
，且
()(),0,0,A m B n ，由于5a c b c -=-=r r r r
，所以[],4,6m n ∈.
()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--r r r r
.所以
222222
2cos cos sin 25
2sin sin cos 25m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++. ()()()()()()
222a b a c b c a c a c b c b c
-=---=---⋅-+-r r r r r r r r r r r r r r 482cos 2sin m n θθ=++222m n mn =+≥.当且仅当m n =时取得最小值，此
时由22482cos 2sin m n m n θθ+=++得
()22482sin cos 4822sin 4m m m πθθθ⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭，当54πθ=时，22m 有最小
值为4822m -，即224822m m =-，22240m m +-=，解得32m =.所以当
且仅当532,4
m n π
θ===时a b -r r 有最小值为()
2
232
6⨯=.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
10．如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =
E 是AD 的中点，将ABE △沿BE
折起至A BE 'V ，记二面角A BE D '--的平面角为α，直线A E '与平面BCDE 所成的角为β，A E '与BC 所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A '的位置，
αβπ+≤；②对满足题意的任意的A '的位置，αγπ+≤，则( )
A ．命题①和命题②都成立
B ．命题①和命题②都不成立
C ．命题①成立，命题②不成立
D ．命题①不成立，命题②成立
【答案】A
【解析】作出二面角α的补角、线面角β、线线角γ的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【详解】
①如图所示，过'A 作'AO ⊥平面BCDE ，垂足为O ，连接OE ，作OM BE ⊥，连接
'A M .
由图可知'A MO πα∠=-，''
A EO A MO βπα∠=≤∠=-，所以αβπ+≤，所以
①正确.
②由于//BC DE ，所以'A E 与BC 所成角''A ED A MO γππα=-∠≤∠=-，所以
αγπ+≤，所以②正确.
综上所述，①②都正确. 故选：A
【点睛】
本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
11．若复数z 满足23z z i +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，
则z =________.
【答案】1i +
【解析】设z a bi =+，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得,a b 的值. 【详解】
设z a bi =+，由23z z i +=+，得2233a bi a bi a bi i ++-=+=+，所以1,1a b ==，所以1z i =+. 故答案为：1i + 【点睛】
本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题. 12．已知正数a ，b 满足a +b =1，则1
b a b
+的最小值等于__________ ，此时a =____________. 【答案】3
1
2
【解析】根据题意，分析可得
11b b a b b a a b a b a b
++=+=++，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a 的值，即可得答案． 【详解】
根据题意，正数a 、b 满足1a b +=，
则
1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=， 当且仅当1
2
a b ==
时，等号成立， 故
1
b a b
+的最小值为3，此时12a =.
故答案为：3；1
2
. 【点睛】
本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.
13．如图ABC V 是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边
三角形，设2DF AF =， AB =EDF V 的面积为________.
【答案】3
【解析】根据3个全等的三角形，得到AF DB =，设AF x DB ==，求得3AD x =，利用余弦定理求得x ，再利用三角形的面积公式，求得三角形EDF 的面积. 【详解】
由于三角形ABC 是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以AF DB =.在三角形ABD 中，18060120ADB ∠=-=o o o .设
AF x DB ==，则3AD x =.由余弦定理得2221396cos120x x x =+-o ，解得1x =.
所以三角形EDF 边长为2，面积为1
22sin 6032
⨯⨯⨯=o . 故答案为：3 【点睛】
本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种（比如：B 与D 、B 与C 是相邻的，A 与D 、C 与D 是不相邻的）.
【答案】192
【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①，在三对父子中任选1对，有3种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有3412⨯=种安排方法；
②，将剩下的4人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有
222216⨯⨯⨯=种安排方法，
则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法1612192⨯=种； 故答案为：192 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
15．如图所示，点()1,2A ，B 均在抛物线24y x =上，等腰直角ABC V 的斜边为BC ，点C 在x 轴的正半轴上，则点B 的坐标是________.
【答案】(3,23
【解析】设出,B C 两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得B 的坐标. 【详解】
设()()(),,,0,,,0B a b C c a b c >，由于B 在抛物线上，所以24b a =.由于三角形ABC 是等腰直角三角形，AC BA ⊥，所以22111AC BA b k k c a
-⋅=
⋅=---.由AB AC =得()()
()
22
2
1241a b c -+-=+-()()2
2226412442b b b ⎛⎫-+-=+ ⎪+⎝⎭
，可得
()
()()2
22
2416264162b b b ⎡⎤⎡⎤-⨯++=⨯++⎣⎦⎣⎦
，所以248b -=，解得23b =3a =.所以(3,23B .
故答案为：(3,23 【点睛】
本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三、双空题
16．若5
2ax
⎛ ⎝
展开式中常数项为5，则a =________，含5
x 的项的系数等于
________.
【答案】1 10
【解析】根据二项式展开式的通项公式以及展开式的常数项，求得a 的值，进而求得5x 项的系数. 【详解】
二项式52ax
⎛ ⎝
展开式的通项公式是()5
10525255r
r r r r r C ax a C x
---⋅⋅=⋅⋅，令51002
r -=，解得4r =，即455a C ⋅=，解得1a =.令5
1052r -=，解得2r =，所
以5x 的项的系数等于2
510C =.
故答案为：1；10. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题. 17．已知函数()2
2,,x x a
f x x x a +<⎧=⎨
≥⎩
，若函数()f x 在R 上是单调的，则实数a 的取值范围是________；若对任意的实数1x a <，总存在实数2x a ≥，使得
()()120f x f x +=，则实数a 的取值范围是________.
【答案】[)2,+∞ (],2-∞-
【解析】由函数()f x 在R 上是单调的，以及一次函数的单调性可得()f x 在R 上递增，可得0a ≥，且22a a +≤，可得a 的范围；由对任意的实数1x a <，总存在实数2x a ≥，
使得()()120f x f x +=，可得21220x x ++=，即2
2120x x -=+≤，可得a 的范围．
【详解】
依题意函数()22,,x x a f x x x a
+<⎧=⎨≥⎩在R 上是单调的，当x a <时，()2f x x =+递增，
所以()f x 在R 上递增，所以0a ≥，且22a a +≤，解得2a ≥.
对任意的实数1x a <，总存在实数2x a ≥，使得()()120f x f x +=，可得
21220x x ++=，即2
2120x x -=+≤，即有20a +≤，解得2a ≤-.
故答案为：(1). [)2,+∞ (2). (],2-∞- 【点睛】
本题考查分段函数的单调性和函数的值域求法，考查单调性的定义和转化思想，以及推理能力，属于中档题．
四、解答题
18．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪
⎝
⎭
的图象向左平移2
π
后与函数
()()cos 22g x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭图象重合.
（1）求ω和ϕ的值； （2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫
⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，求()h x 的单调递增区间及图象的对称轴方程.
【答案】（1）2ω=，3
π
ϕ=
；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦，212
k x ππ=+，k Z ∈. 【解析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．
（2）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】
（1）由题意得2ω=，
5sin 2cos 2263f x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+=+
=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2
π
ϕ<
Q ，3
π
ϕ∴=
（2）()sin 2cos 2881212h x f x g x x x ππππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
由23
2
x k π
π
π+
=+
，解得212
k x ππ
=
+，
所以对称轴为212
k x ππ
=
+，k Z ∈. 由222232k x k πππ
ππ-≤+≤+，
解得51212
k x k ππππ-≤≤+， 所以单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
., 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=︒，
24AB CD ==，PA CD ⊥，在锐角PAD △中，E 是边PD 上一点，且
332AD PD ED ===.
（1）求证：//PB 平面ACE ；
（2）当PA 的长为何值时，AC 与平面PCD 所成的角为30°？
【答案】（1）证明见解析；（2）当6PA =AC 与平面PCD 所成的角为30°. 【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，由相似三角形可得
12OD OB =，结合1
2
DE EP =得出//OE PB ，故而//PB 平面ACE ；
（2）过A 作AF PD ⊥，可证AF ⊥平面PCD ，根据30ACF ∠=o 计算AF ，得出
ADF ∠的大小，再计算PA 的长．
【详解】
（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，
//CD AB Q ，12DO CD DE
OB AB EP
∴===， //OE PB ∴
又OE ⊂Q 平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，
//PB ∴平面ACE .
（2）CD AD ⊥Q ，CD PA ⊥，AD PA A ⋂=
CD \^平面P AD
作AF PD ⊥，F 为垂足，连接CF
CD ⊥Q 平面P AD ，AF ⊂平面P AD .
CD AF ∴⊥，有AF PD ⊥，CD PD D =I ，CF ∴⊥平面PCD ACF ∴∠就是AC 与平面PCD 所成的角，30ACF =∴∠︒，
2222AC AD CD =+=
，22AF =
， 11sin 6
AF ADF AD ∴∠=
=
，2
5cos 1sin 6ADF ADF ∠=-∠= 2222cos 6PA AD DP AD DP ADP ∴=+-⋅∠=，6PA ∴=
6PA ∴=时，AC 与平面PCD 所成的角为30°.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题． 20．数列{}n a 满足1a =，120n n a a ++=，其前n 项和为n S ，数列21n b n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项积为
1
21
n +. （1）求n S 和数列{}n b 的通项公式； （2）设(
)1
1
n n n n n c b b b b ++=
+{}n
c 的前n 项和n
T ，并证明：对任意的正
整数m 、k ，均有m k S T >.
【答案】（1）21132n
n S ⎡⎤⎛⎫
=--⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
，21n b n =-；（2）11221n T n ⎛= +⎝，证明见解析
【解析】（1）利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结论． 【详解】
（1）11a =Q ，120n n a a ++=，得{}n a 是公比为12-的等比数列，1
12n n a -⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
， 11212113212n
n
n S ⎛⎫
-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭∴==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭
，
当2n ≥时，数列21n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项积为
121n +，则12
1121352121
1352121n n b b b n n b b b n n -⎧⋅⋅⋅=⎪⎪++⎨⎪⋅⋅⋅=
⎪-+⎩
L L ，两式相除得1
21
211212121
n b n n n n n -+==++-，得21n b n =-，
又11
33
b =得11b =，21n b n ∴=-； （2）221211
1132322
m
m S ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=--≥--=⎢⎥⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1122n c =
==Q
1211
122k k T c c c ⎛∴=+++=< ⎝L ，
故m k S T >. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n 项和的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
21．如图，过点()2,2M 且平行与x 轴的直线交椭圆()2
202
x y m m +=>于A 、B 两
点，且3AM MB =u u u u r u u u r
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M 且斜率为正的直线交椭圆于段C 、D ，直线AC 、BD 分别交直线2x =于
点E 、F ，求证：11ME MF
-是定值. 【答案】（1）22
12412
x y +=；
（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意求得,A B 的坐标，代入椭圆方程求得m ，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线CD 的方程，联立直线CD 的方程和椭圆方程，可得关于x 的一元二次方程，设出,C D 的坐标，分别求出直线AC 与直线BD 的方程，从而求得,E F 两点的
纵坐标，利用根与系数关系可化简证得11
ME MF
-为定值. 【详解】
（1）由已知可得：()4,2A -，()4,2B 代入椭圆方程得：12m =
∴椭圆方程为2212412
x y +=； （2）设直线CD 的方程为()22y k x =-+，代入22
224x y +=，得：
()2
2
2128(1)816160k x
k k x k k ++-+--=
设()11,C x y ，()22,D x y ，则有()1228112k k x x k -+=+，2122
81616
12k k x x k
--=+ 则AC 的方程为()()112424k x y x x -=
+++，令2x =，得()
116224
E
k x y x -=++ BD 的方程为()()222424k x y x x -=
-+-，令2x =，得()
222224
F k x y x --=
+-
()()
1212441111
226222E F x x ME MF y y k x k x +-∴
-=-=----- ()()()()()()()()122112121212124234221032
622624x x x x x x x x k x x k x x x x +-----++-=
=---++⎡⎤⎣⎦
()()222
2
22
8181616
2103212128181616
6241212k k k k k k k k k k k k k ----+-++=-⎡⎤---+⎢⎥++⎣⎦
222222
16323280803264482
723
681616161648k k k k k k k k k k k k k -+++----===-⎡⎤---+++⎣⎦，证毕. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题． 22．设函数()2
ln 1f x x ax a =+-+，()x
ex
g x e =
. （1）若()()12g x g x t ==（其中12x x ≠） （ⅰ）求实数t 的取值范围； （ⅱ）证明：12122x x x x <+；
（2）是否存在实数a ，使得()()f x g x ≤在区间()0,∞+内恒成立，且关于x 的方程
()()f x g x =在()0,∞+内有唯一解？请说明理由.
【答案】（1）（ⅰ）01t <<；（ⅱ）证明见解析；（2）存在，理由见解析.
【解析】（1）（ⅰ）求得()g x 的导函数()'
g x ，判断出()g x 的单调性，根据函数()
y g x =与y t =在R 的图象有两个不同的交点可得t 的范围； （ⅱ）将证明12122x x x x <+成立，转化为证：1
12121
x x x <
<-，结合()g x 在(),1-∞上
的单调性，转化为证
()()()2211
212212210x x e
x ⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭
-->，结合换元法以及导数的工具作用
证得上述不等式成立，由此证得12122x x x x <+成立.
（2）构造函数()()()h x g x f x =-，首先判断出()10h =，利用()'
10h =求得a 的
可能取值为12a =-
.利用导数证明当1
2
a =-时，()0h x ≥在区间()0,∞+内恒成立，
且关于x 的方程()0h x =在()0,∞+内有唯一解1x =. 【详解】
（1）（ⅰ）解：()()1x
e x g x e
-'=
Q ()g x ∴在(),1-∞递增，()1,+∞递减，且()()max 11g x g ==
又Q 当0x ≤时，()0g x ≤；当0x >时，()0g x >
01t ∴<<
（ⅱ）由（ⅰ）知：1201x x <<<，2
2121
x x ∴
<-
要证：()12122x x x x <+成立，只需证：2
12121
x x x <
<-
()g x Q 在(),1-∞递增，故只需证：()()221221x g x g x g x ⎛⎫
=< ⎪-⎝⎭
即证：
()()()2211
212212210x x e
x ⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎝⎭
-->
令2211u x =->，只需证：()11201u u e
u u ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
->>，即证：()11ln 012u u u u ⎛⎫
-
-<> ⎪⎝⎭
令()11ln 2u u u u ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()2
2
102u u u ϕ--'=
<Q ，()()10u ϕϕ∴<=.证毕
（2）令()()()()2
ln 10x ex h x g x f x x ax a x e
=-=
--+-> ()10h =Q ，且需()0h x ≥在区间()0,∞+内恒成立
()10h '∴=，可得12
a =-
事实上，当12
a =-
时，()213
ln 22x ex h x x x e =-+-，下证：
()213
ln 022
x ex h x x x e =
-+-≥ 法一：()()()()11x x
x ex x e h x x e --+'=
⋅，
令()()1x
A x ex x e =-+，则()()2x
A e e x x '=-+在()0,∞+单调递减，
由于()020A e '=->
，102A e ⎛⎫'=-< ⎪
⎝⎭
， ∴存在010,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
使()A x 在()00,x 单调递增，()0,x +∞单调递减，且
()0020x e x e -+=.
()()()()
020*********
x e x x A x A x ex x e x +-∴≤=-+=
<+，
()h x ∴在()0,1递减，()1,+∞递增，()()min 10h x h ==， ()0h x ∴≥在区间()0,∞+内恒成立，
∴当1
2
a =-时，()()f x g x ≤在区间()0,∞+内恒成立，且()()f x g x =在()0,∞+内
有唯一解1x =，证毕. 法二：()()()11x x ex h x x x
e
-⎛⎫'=
-
+ ⎪⎝⎭
令()x
B x e ex =-，则()x
B x e e '=-，所以()B x 在()0,1递减，()1,+∞递增
()()10B x B ∴≥=，即x e ex ≥，()()110x
ex
x x e ∴
≤<+> ()h x ∴在()0,1递减，()1,+∞递增，()()min 10h x h == ()0h x ∴≥在区间()0,∞+内恒成立
∴当1
2
a =-时，()()f x g x ≤在区间()0,∞+内恒成立，且()()f x g x =在()0,∞+内
有唯一解1x =，证毕. 【点睛】
本题主要考查数形结合，函数与不等式，以及函数恒成立问题，综合性较强，属于难题．。