2020届二轮(理科数学) 圆锥曲线与方程 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学） 圆锥曲线与方程 专题卷（全国通用）
1．(2018·湖南文，20)已知抛物线C 1：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且A C →与B D →
同向．
(1)求C 2的方程；
(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．
[解析] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1 ①；
又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ，由
此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±6，32
)， ∴94a 2＋6b
2＝1②， 联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为
y 29＋x 28
＝1. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
C (x 3，y 3)，
D (x 4，y 4)，
因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，
所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2，于是
(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0， 由x 1，x 2是这个方程的两根，
∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4 ④ 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，
x 28＋y 29＝1，
得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，
而x 3，x 4是这个方程的两根，
x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2
⑤ 将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2. 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2
， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64
， 即直线l 的斜率为±64
. 2．(2018·安徽文，20)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510
. (1)求E 的离心率e ；
(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .
[解析] (1)∵|BM |＝2|MA |且A (a,0)，B (0，b )，
∴M (23a ，13b )．又∵OM 的斜率为510
， ∴13b 23
a ＝510⇒
b 2a 2＝15⇒a 2－
c 2a 2＝15
⇒c 2a 2＝45⇒e ＝255
. (2)由题意可知N 点的坐标为(a 2，－b 2
)， ∴k MN ＝13b ＋12b 23a －a 2＝5b 6a 6
＝5b a ，k AB ＝b －a ， ∴k MN ·k AB ＝－5b 2a
2＝－1.∴MN ⊥AB .
3．(2018·广东文，20)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .
(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析] (1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1M 垂直于直线l .
设直线l 的方程为y ＝mx (易知直线l 的斜率存在)，所以kC 1M ·m ＝－1，y 0＝mx 0，所以y 0x 0－3·y 0x 0
＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94. 因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m |m 2＋1
＜2，所以m 2＜45， 所以y 20＝m 2x 20＜45x 20，所以3x 0－x 20＜45x 20，解得x 0＞53或x 0＜0，又因为0＜x 0≤3，所以53
＜x 0≤3.
所以M (x 0，y 0)满足⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94⎝⎛⎭
⎫53＜x 0≤3， 即M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53
＜x ≤3. (3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线． 结合图形，⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94⎝⎛⎭⎫53＜x 0≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝⎛⎭⎫53
，－253按逆时针方向运动到⎝⎛⎭
⎫53，253的圆弧．根据对称性，只需讨论在x 轴下方的圆弧．设
P ⎝⎛⎭⎫53，－253，则k PT ＝25
34－53
＝257，而当直线L 与轨迹C 相切时，|3k 2－4k |k 2＋1＝32，解得k ＝±34.在这里暂取k ＝34，因为257＜34
，所以k PT ＜k . 可得对于x 轴下方的圆弧，当0≤k ≤257或k ＝34
时，直线L 与x 轴下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－257≤k ≤257或k ＝±43
. 综上所述：当－257≤k ≤257或k ＝±43
时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一交点． 4．(2018·陕西文，20)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2. [解析] (1)由题意知c a ＝22
，b ＝1，综合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以，椭圆的方程为x 22
＋y 2＝1. (2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22
＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，
由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，
则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2
， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和
k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2
＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2
＝2k ＋(2－k )(1x 1＋1x 2
) ＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2
＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)
＝2k －2(k －1)＝2.
5．(2018·天津文，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55
. (1)求直线BF 的斜率；
(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.
(i)求λ的值；
(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759
，求椭圆的方程． [解析] (1)F (－c,0)，由已知离心率c a ＝55
及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c ，又因为B (0，b )，F (－c,0)
故直线BF 的斜率k ＝b －00－(－c )＝b c
＝2. (2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．
(i)由(1)可得椭圆方程为x 25c 2＋y 2
4c
2＝1， 直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c ，
两方程联立消去y ，得3x 2＋5cx ＝0，
解得x P ＝－5c 3
. 因为BQ ⊥BP ，
所以直线BQ 的方程为y ＝－12
x ＋2c ， 与椭圆方程联立，消去y ，得21x 2－40cx ＝0，
解得x Q ＝40c 21
. 又因为λ＝|PM ||MQ |
，及x M ＝0， 得λ＝|x M －x P |
|x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78
. (ii)由(i)得|PM ||MQ |＝78， 所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715
， 即|PQ |＝157
|PM |， 又因为|PM |sin ∠BQP ＝759
， 所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝
157|PM |sin ∠BQP ＝553
.
又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43
c ， 所以|BP |＝⎝⎛⎭⎫0＋5c 32＋⎝⎛⎭⎫2c ＋4c 32＝553
c ， 因此553c ＝553
，c ＝1， 所以椭圆方程为x 25＋y 24
＝1. 6．(2018·新课标Ⅱ卷文，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22
，点(2，2)在C 上．
(1)求C 的方程；
(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
[解析] (1)由题意有
a 2－
b 2a ＝22，4a 2＋2b
2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24
＝1. (2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，把y ＝kx ＋b 代
入x2
8＋y2
4
＝1，
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故x M＝
x1＋x2
2
＝
－2kb
2k2＋1
，y M＝kx M＋b＝b
2k2＋1
，于是直线OM的斜率k OM＝y M
x M
＝－1
2k
，即
k OM·k＝－1
2
，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．。