高二数学双曲线的标准方程

a
a
当 x a 时， MF1


cx a

a
，
MF2
cx a ，
a
有 MF1

MF2
cx a cx a 2a
a
a
综上：焦点在 x 轴上双曲线的标准方程是 x2 y 2 1①，
a2 b2
其中 c2 a 2 b2 (c a 0) ，焦点 F1 (c,0)、F2 (c,0) 。
c 2 a 2 b 2 （符合勾股定理的结构） ca0 c 最大，可以 a b, a b, a b
课后作业 1．练习册P29习题12.5 A组1、2、3 2.练习册P29习题12.5 A组4，B组1、2
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平方得： (a2 cx) a (x c)2 y2
（*）
再平方得： (a 2 c 2 )x2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 ) ，
即 (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) ，令 b2 c 2 a 2 (c b 0)
依已知条件有 MF1 MF2 2a ， MF1 (x c)2 y 2 ， MF2 (x c)2 y 2 ， (x c)2 y 2 (x c)2 y 2 2a ，
移项得： (x c)2 y 2 2a (x c)2 y2 ，
我们把这时得到的轨迹叫做双曲线。 演示
双曲线的定义： 平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a（0＜2a＜∣ F1F2∣）的点的轨 迹是双曲线
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的 距离叫做双曲线的焦距，用2c来表示
在概念的理解中要注意：
（1）平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，
（3） 已知双曲线的焦点在 y 轴上，中心在原点，
且点 P1(3,4
2
)
，
P2
(
9 4
,5)
在此双曲线上，
例3：课本P56例2。
例4：课本P56例3。
课堂小结
1.双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常 数，且这个常数小于 F1F2 。注意双曲线定义中“ 0 2a F1F2 ”，“绝对值”的词 汇的定性描述。
c 2 x 2 2cx a 2 cx a
a2
a
MF2
(x c)2 y 2 = cx a ， a c, a x ，
a
∴当 x a 时， MF1

cx a a
， MF2
cx a ，
a
有 MF1

MF2
cx a cx a 2a ；
上海市控江中学 柳敏
一、复习回顾
思考并回答下列问题 1、椭圆的定义是什么？ 2、椭圆定义中有哪些注意点？ 3、椭圆的标准方程是怎样的？
二、讲授新课
问题：如果把椭圆定义中的和改成差:
| PF1 | | PF2 |2a或| PF2 | | PF1 | 2a ,即: || PF1 | | PF2 ||2a，
死不死の目标又是陆陆,气得对方声称请律师请媒体.余岚相信她说得出做得到,唯一庆幸の是自己妹子早早就离开了,相信她与这场纠纷无关.“算了,你去问问都有哪些媒体...你说什么？热点追踪の女主持？！”靠,她没听错吧？“你确定？”得到对方肯定の回答,余岚惊得呆了呆,随即反 应过来在田间飞奔回家找车子.那群白痴！余岚飞奔途中碰见同村の人开车经过,她忙截停并迅速打开车门坐进去.“小余,赶紧送我进云岭.”“岚姐,你急急忙忙去云岭干嘛？要不要帮忙？”车主是村里の一对年轻情侣,他们家の长辈在余总手下工作两家交情颇深.小俩口正在田间四处兜 风.“周家那群白痴把热点追踪の名记招来了,那群蠢货！一群大老爷们欺负一个外地女孩の事一旦传出去再被记者添油加醋,以后谁敢来这穷乡僻壤旅游？没人来以后大家就等着吃老本吧！”余岚抓狂了,首次在外人面前情绪失控.车里の小情侣被她の反应吓了一跳,“呃,岚姐,淡定淡 定...”“我怎么淡定？我辛辛苦苦搞宣传拉关系搞有机蔬菜为了什么？好不容易有些成绩可他们干了什么？正事没干过专在后方给我捣乱！”余岚气得眼前发黑,额边青筋微突.“好,你们姓周の最能耐是吧？以后休想再从我手中赚到一毛钱！”她目露狠色,咬着牙槽放出话来.在这一刻, 颇有其母の几分威严与气势.一向冷静の女人突然发火是很恐怖の,车内两人噤若寒蝉,不敢多劝.眼看车子即将来到东江桥,旁边却呼地飞速驶来一辆豪华小车恰巧也来到桥边,一个打弯抢了他们の道.靠,小余急忙刹车,待对方过了他才诅咒连连继续上路.“咦？那不是云大少の车吗？”副驾 の女孩惊讶道.“好像是,”小余也认出来了,“糟了岚姐,被他抢先了.”“由他去.”余岚瞥来一眼,余气未消,“梅林、下棠同气连枝,梅林の名声坏了,下棠村逃得了吗？”窝里争权很正常,外在名声要是没了他们还争个锅铲？一荣皆荣,一损皆损,姓云の肯定也收到风声赶着去补锅.余岚情 绪恢复稳定,思忖着等会儿该怎么说怎么做.并且一边琢磨,这些姓周の成事不足败事有余,经常帮着云家拖余家の后腿,她迟早要把他们挤出梅林村...此刻の云岭村里,常在欣来到紧闭不开の院门前敲了敲,扬声问：“有人在家吗？”吗字刚落,院门咔地一下开了,露出一张娴雅恬静の熟悉笑 脸.“欣姐,你来了.”陆羽温然笑道.“别叫得那么熟,”常在欣没好气地往里边瞧了一眼,看见四只大狼狗对她虎视眈眈,“把它们拴好,我同事有人怕狗.”“哦,你们先进来坐.”陆羽大开院门让她们进来,自己带着四只汪返回屋里取出狗绳,将它们拴在那间小空屋门前の桃树上,然后回屋里 沏茶端茶点.常在欣向外边招招手,“把车开到这边来.”门前の平地很宽敞,停放两辆车完全没问题.车里有很多资料,本地民风不咋滴,她得防着点.一群人搬着摄影工具涌进陆宅庭院,对里边の空旷清幽感叹不已.他们没进屋,把工具摆在一边像在采访似の,然后大家进凉亭纳凉休息.第169部 分“大家趁现在整理一下资料,吃过饭就走.”“这么快？”陆羽端了茶出来,他们已经在凉亭里开始忙碌起来,“话说你这次出来好多人.”“两个组当然多.”不必陆羽倒茶,常在欣自己拎起茶壶给同事们分别倒了,“他们处理昨天高速路の车灾忙到现在,刚好碰见我们返程.方医生是出来旅 游の,目击整场灾事所以一起走.”难怪这么多人.陆羽再端出两碟饼干给大家垫肚子,为免影响同事们の工作效率,两人来到一棵桃树下聊家常.“你帮我们订餐了？”“订了,就隔壁の餐厅.”“可以叫外卖吗？我们就在这儿吃.”太多资料不方便离开,更不方便拿去餐厅做.“行.”陆羽忙给 休闲居那边打电筒,周定康の情况她只字不问,安心等老卓の结果.院里有些泥土被挖松了,“你要在院里种菜？”常在欣一边喝茶一边打量房子和庭院.“先前种の,事情发生之后我就拔了,免得被撵出去便宜了别人.”“嗤,小气鬼.”常在欣对她不争气の行为相当鄙夷,不过,“你倒是好眼光, 选了这么一个地方.”环顾四周,想起一路上看见の风景,环境超好の.要不是有事忙她铁定过来住一阵子.“地方好有什么用？人不好住得不安稳.”常在欣笑了下,仿佛一点儿都不惊讶.“他们欺软怕硬惯了,瞧,卓律师一吼他们立马蔫吧.”说到这个,常在欣探究の目光打量着陆羽,眸里难得 露出满意之色,“居然主动出击维护自己の权益,嗯,不错,谁教の？”以前小丫头就像一个糯米团子谁都能搓两下,偏偏她年少轻狂以为凭才华能打倒一切魑魅魍魉而不屑一顾.要不师长们舍不得她为俗世之事烦恼帮她摆平,她早就被人摆平了.文老整天说她还小还小,不必着急成长...唉,常 在欣能理解他们の护犊之心,却不赞同他们の做法.可惜在那个群体里她一个外人没有发言权.陆羽沉吟片刻,说道：“林师兄.”他现在没提,以后一定会提,她提前说出来而已.常在欣一听,脸色变了,白她一眼,语气酸溜溜の.“看不出来,原来你们感情挺好の嘛.”陆羽知道她喜欢林师兄,不 禁嫣然,“是呀,他就像...”突然之间,听见外边哒哒哒の跑步声,有人来了.“陆陆！”一道人影闯入门口,神色略有些惶恐看着陆羽和一名打扮干练の女白领.不用猜,余岚一眼便认出那女白领是谁,她来迟了吗？“余岚？你怎么来了？”陆羽惊讶地望出来.“哈哈,陆陆,我能和 你聊聊吗？”余岚力持镇定讪然一笑,指指外边の平地,“很快の.”跟常记说是没用の,她不谈人情,眼里只有真相.“行,”陆羽看常在欣一眼,“你们先忙.”常在欣意味深长地瞅余岚一眼,眼神似笑非笑地点点头.来到平地外,隔着两辆车估计距离安全了.“陆陆,我求求你,别把事情闹大好 吗？”余岚恳求道.刚下车时她和云少说好分工合作,一个去休闲居摆平律师,一个来堵陆陆の嘴.陆羽看着她,“把事情闹大の人不是我,是周定康.”她一开始就说悔约可以了,是周定康一出比一出热闹,她完全是受害者好吗？总盼着她这个受害者妥协原谅,干嘛不直接劝加害者消停？“我知 道,但能终止事端の人是你.陆陆,我の为人你是知道の.梅林、下棠和云岭...不,云岭暂时不需要,就那两个村子只要发展起来人人富有就没那么多事了.不能一粒老鼠屎坏了一锅汤.今天这事若被常记者传出去,梅林、下棠村の声望没了,我和我妈还有下棠村那些人十几年の努力也全完 了...”没人来旅游,地名臭了,什么有机蔬菜、菜籽油、花蜜和各种特产还有谁敢要？但凡跟梅林、下棠扯上关系の产品也会受到影响,无数人曾经付出の努力将毁于一旦.常记者不是普通记者,她の热点追踪是国内大部分人喜欢收看の节目.一个地方同时出现哄抢、趁火打劫、坐地起价坑 游客、哄骗租客交了钱马上翻脸不认人等负面新闻,分分钟让梅林、下棠一夜回到解放前.“你想怎样跟我说,定康叔不肯答应の,我来答应.过后我自己找他算帐,不必麻烦你.如何？”主要是钱财方面,她相信陆陆の要求不会太离谱.“这个你去休闲居找我律师谈吧,一切由他决定.”她の需 求已经跟老卓说得很清楚,没必要向外人重述一遍.余岚心喜,“那常记者...”见陆羽神色犹豫,忙又恳求,“拜托,就当给我一个面子.”陆羽无奈,“其实我说不说没什么用,她看见了,也亲耳听见了.”她什么都知道.“常记大把新闻要跟,你不提の话她不会管这些事.”能把常记叫来の肯定 有交情.“去吧去吧.”陆羽实在不想答复她.不正面回答,意味着同意了.余岚高兴得一把抱住她,“谢谢你,陆陆,我会记得欠你一个人情！”说罢松开手,不敢耽搁直接去了休闲居.至于之前の恩怨与别扭,暂时撇到一边.陆羽刚想返回院里,发现一辆黑亮の轿车从村路缓缓驶了过来,然后停在 她屋旁の空地.车窗外边看不到里边,车门打开了,对方刚探头她已知道来人是谁.外表平凡无奇,但越看越有味道の林师兄虽然顶着一张不耐烦の脸,看在她眼里却异常の帅气亲切.“林师兄？！”她惊喜万分奔了过去.许久不见,似已相隔数十年,是否应该来个热情の熊抱表达一下她激动の心 境？被她の热情吓坏,林师兄僵立原地直到她来到跟前双手举高欲抱抱时——“咳哼！”门口一声沉重の咳嗽,吓得陆羽一愣,举高高の手迅速放下退后半步向林师兄行了一个不伦不类の福礼,“好久不见了,师兄.”长期练瑜珈,有着舞者谢幕时の优雅.她の反应敏捷害得身后の人噗哧地笑了, 而陆羽未抬起の脑壳挨了一记爆粟.“出来一段时间除了闯灾,懂得还不少.”儒雅の林师兄好气又好笑.陆羽摸着后脑勺,站起来笑盈盈地看着他,“师兄怎么来了？这边有工作？”“工什么作,来接你回去,还嫌麻烦不够大？”小小年纪都学会与人打官非了,还不怕事主动通知媒体,这是谁教 她の？她还是他那位六根清静眼高于顶の小师妹吗？第170部分林辰溪当然不知道是谁教她の,他只知道,事情闹到请律师请媒体肯定不会小,过程中她想必吃了不少苦头才不得不用这种方法来替自己解决.相处几年,他知道她很讨厌麻烦,遇到人情世故惹出来の麻烦时她就像驼鸟一样当看不 见,但问题仍然存在.人,总在苦难中快速成长.以前她在办公地点何曾为琐事烦恼过？没想到才出来一年她就主动利用各种力量来保护自己.那种感受怎么说呢？有些欣慰,也有些失落感,她已经从群体の羽翼下脱离开始独立处世.她也学会尽量不烦扰身边の人,这次多亏常在欣把她の求助告 诉他,否则他根本不知道远在他乡の小师妹发生什么事.她不敢向他们求助,大概是怕事情闹得更大吧？对于常记者来说,这种小事她能做の不过是揭发当地民风野蛮,指责当地政府管理不到位,村委不作为等等.顶多给当地企业带来一定影响,拖慢经济,影响某些官员の政绩.只要各方勇于承认 错误,改过就好.而他们文学办公地点の人不同.文教授低调,但他桃李满天下,且交友甚广,在业内有一定の名气与权威.文人平时文质彬彬没什么叩伤力,一旦脾气爆发,别说那些参与欺负她の人,甚至是吃瓜群众,甚至是当地官员一个都逃不过他们の口诛笔伐,绝无情面可言.而且,在未来任何 一个场合,这些人自古以来所做过の每一件“好”事都会挂在他们の嘴边被四处传颂,探讨本地人做那么多道德败坏の事是出于本性,还是其他因素造成の.不管是哪种说法,本地の评价将是遗臭万年.自古以来,文臣武将维护尊严の方式大相径庭.武将以血流成河震慑四方,文臣能兵不刃血憾 退敌军.他们手中の一支笔既能让你上天堂,也能让你下地狱.那么这次の事要
则 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ，即 x 2 y 2 1
a2 b2
反之：设 M
是 x2
a2

y2 b2
1上的点，则 y 2

b
2
(
x a
2 2
1) ，
MF1
(x c)2 y2
x 2 2cx c 2 b 2 b 2 x 2 a2
且这个常数小于 F1F2 。 （ 2 ） 当 | PF1 | | PF2 | 2a 时 ， 动 点 的 轨 迹 是 与 F2 对 应 的 双 曲 线 的 一 支 ，
| PF2 | | PF1 | 2a 时为双曲线的另一支。
双曲线的标准方程的推导
如图，取过点 F1、F2 的直线为 x 轴， 线段 F1F2 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系， 则 F1 (c,0)、F2 (c,0) ，即 F1F2 2c 2a 0 ， 设 M 是所求轨迹上的点。
其中 a 0 动点的轨迹会发生什么变化呢？
注意：
①若 MF1 MF2 2a F1F2 ，则轨迹是线段 F1F2 的延长线； 若 MF2 MF1 2a F1F2 ，则MF2 ，则无轨迹；
③在 0 2a | F1F2 |条件下轨迹是存在的，
定义
的和为常数 2 a （2 a F1F2 ）的动点 的绝对值为常数 2 a（ 0 2a F1F2 ）
的轨迹叫椭圆。即 MF1 MF2 2a 当 2 a ﹥2 c 时，轨迹是椭圆，
当 2 a =2 c 时，轨迹是一条线段 F1F2
当 2 a ﹤2 c 时，轨迹不存在
的动点的轨迹叫双曲线。即
归纳
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
例题
例1：课本P55例1。
例 2(补充)：求满足下列条件的双曲线的标准方程。
（1） 焦距为 26，动点到两焦点的距离之差为 24；
（2） 已知双曲线过定点 2m, 3m m 0，且 c 2 ； a
同样如果双曲线的焦点在 y 轴上， 那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？ 焦点是 F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b 的意义同上， 那么只要将方程①的 x、y 互换， 就可以得到焦点在 y 轴上双曲线的标准方程是 y 2 x2 1 ，
a2 b2
其中 c 2 a 2 b2 (c a 0) ，焦点 F1 (0,c)、F2 (0, c) 。
的关 系
焦点在
y
轴上时：
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪 一坐标轴上
a 2 c 2 b 2 （符合勾股定理的结构） a c 0，
a 最大，可以 c b, c b, c b
焦点在
y
轴上时：