高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课堂达标新人教A版

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.已知非零向量a，b满足a=-2b，则①a+2b=0；②|a|=2|b|；③向量a，b的方向相同；④a∥b.其中正确的有( )
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①②③④
【解析】选C.因为a=-2b，所以a，b共线且反向，且a+2b=0，|a|=2|b|，所以①②④正确，③错误. 2.在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若=a，=b，则等于( )
A.(a+b)
B.(a-b)
C.(b-a)
D.-(a+b)
【解析】选C.==(-)=(b-a).
3.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a= b.
【解析】因为|a|=5，|b|=7，所以||
||
a
b
=.
又因为b与a的方向相反，所以a=-b.
答案：-
4.已知e1，e2是两个不共线的向量，而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量，则实数k= .
【解析】由题意得a=k2e1+e2=λ(2e1+3e2)，所以解得k=-2或k=.
答案：-2或
5.设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，=a，=b，=c，试用a，b，c表示向量. 【解析】如图，连接AM并延长交BC于D点.
因为△ABC的重心为M，
所以D是BC的中点，且AM=AD.
所以==(+)
=(+)=(-)+(-)
=(b-a)+(c-b)=-a+b+c，
所以=+=a-a+b+c
=a+b+c.
6.设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线.已知(a+b)∥c，(b+c)∥a，试判断b与a+c是否共线？证明你的结论.
【解题指南】首先引入实数λ，μ把共线向量用等式表示，然后用待定系数法确定λ，μ，确定a+c与b 是否共线.
【解析】b与a+c共线.证明如下：
因为(a+b)∥c，所以存在实数λ，使a+b=λc(c≠0). ①
因为(b+c)∥a，所以存在实数μ，使b+c=μa(a≠0). ②
①-②得a-c=λc-μa，
所以(1+μ)a=(1+λ)c.
又因为a与c不共线，
所以1+λ=1+μ=0，
所以λ=μ=-1，
所以a+b=-c，即a+c=-b，
所以b与a+c共线.。