嘉兴一中高考数学模拟试题(文)

嘉兴一中2015届高考数学模拟试题（文）
2015．5
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：球的表面积公式：24R S π=，其中R 表示球的半径．
球的体积公式：3
3
4R V π=
，其中R 表示球的半径． 柱体的体积公式：Sh V =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 锥体的体积公式：Sh V 3
1
=
，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 台体的体积公式：)(3
1
2211S S S S h V ++=，其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．
选择题部分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合{2}x
A x y ==，{
B y y ==
，则A B =I (▲)
A ．{}
0x x >B ．{}0x x ≥C ．{}31x x x ≥≤或D ．{}
31x x x ≥≤≤或0
2.已知点(1,1)A =-、(1,2)B =、(3,2)C =-,则向量AB u u u r 在AC u u u
r 方向上的投影为（▲）
A ．35
-
B C ．
D ．
3
5
3.已知a ，b 都是实数，那么“a b >”是“a >b ”的(▲)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是(▲) A.若l ∥α，l ∥β，则α∥βB.若α⊥β,l ∥α，则l ⊥β C.若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD.若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β
5.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递减函数是(▲)
A.()12
f x x = B.()3
f x x = C.()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D.()3x
f x =
6.函数cos(2)6
y x π
=+
的图象可由函数sin 2y x =的图象(▲)
A.向左平移
3π个单位而得到B.向右平移3π
个单位而得到 C.向左平移6π个单位而得到D.向右平移6
π
个单位而得到 7.设1sin 20
n n a n π=
，n n a a a S +++=Λ21，在1280,,,S S S L 中，正数的个数是(▲) A ．20B ．40C ．60D ．80
8.设1F ，2F 是双曲线122
22=-b
y a x 0(>a ，)0>b 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存
在一点P ，使0)(22=⋅+F OF （O 为坐标原点），且||3||21PF PF =，则双曲
线的离心率为（▲）
A ．
212+B ．12+C ．2
13+D ．13+
非选择题部分
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共
36分．）
9.函数1
2cos(
)3
2
y x π
=-
，则该函数的最小正周期为 ▲ ，对称轴方程为 ▲ ，单调递增区间是 ▲ .
10.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆2
2
:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为 ▲ ;圆C 与圆'C 的公共弦的长度为 ▲ . 11.已知某几何体的三视图如下图所示,其正视图 为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形.则该几何体的表面积是 ▲ ；体积是 ▲ .
12.设函数(2),0
()(2),0x x x f x ax x x -≤⎧=⎨-+>⎩
是一个奇函数，
满足(23)(4)f t f t +<-，则a = ▲ ，t 的取值范围是 ▲
13.已知不等式组2,1,0y x y kx x ≤-+⎧⎪
≥+⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域为面
积等于1的三角形，则实数k 的值为 ▲ ．
14.设,x y 是正实数，且3x y +=，则22
11
y x x y +++的最小值是 ▲． 15.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在该正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ▲ .
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分15分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且2c =
，
sin (cos )sin C B B A -=．
（1）求角C 的大小； （2
）若cos A =
b 的长．
17.（本题满分15分）
如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F
满足FB FD ==
，FE =
.
正视图
侧视图
俯视图
8
A （Ⅰ）证明：E
B FD ⊥；
（Ⅱ）已知点,Q R 分别为线段,FE FB 上的点，
使得,,FQ FE FR FB λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r
求当RD 最短时，
平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值.
18．（本题满分15
分）已知等差数列｛n a ｝的各项均为正数，1a =1等比数列．
（I ）求n a 的通项公式， （II ，求数列｛n b ｝的前n 项和T n .
19．（本题满分15分）已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形.
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．
20．（本小题满分14分）已知函数29
()(1),()24
f x x k x
g x x k =-++
=-，其中k R ∈ （1）若()f x 在区间()1,4上有零点，求实数k 的取值范围；
（2）设函数(),0
()(),0f x x p x g x x <⎧=⎨≥⎩
，是否存在实数k ，对任意给定的非零实数1x ，存在
唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()p x p x =？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．
嘉兴一中2015届高考数学模拟试题（文）
2015．5
答题卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项
36分
9______ _____ _____.___ _____.10___ _____.___ _____.11_____ ______ _____.12_____ ___.___ _____. 13______ __.14___ _____.15___ _____.
三、解答题:本大题共5小题,共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分15分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且2c =，
sin (cos )sin C B B A -=．
姓名 考号
A F
（1）求角C 的大小； （2）若cos 3
A =
，求边b 的长．
17.（本题满分15分）
如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点
B 和点
C 为线段A
D 的三等分点，平面AEC 外一点F
满足FB FD ==，FE =.
（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；
（Ⅱ）已知点,Q R 分别为线段,FE FB 上的点，
使得,,FQ FE FR FB λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r
求当RD 最短时，
平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值.
18．（本题满分15分）已知等差数列｛n a ｝的各项均为正数，1a =1
等比数列．
（I ）求n a 的通项公式， （II ，求数列｛n b ｝的前n 项和T n .
19．（本题满分15分）已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形.
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．
20．（本小题满分14分）已知函数29
()(1),()24
f x x k x
g x x k =-++
=-，其中k R ∈ （1）若()f x 在区间()1,4上有零点，求实数k 的取值范围；
（2）设函数(),0
()(),0
f x x p x
g x x <⎧=⎨≥⎩，是否存在实数k ，对任意给定的非零实数1x ，存在
唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()p x p x =？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．
嘉兴一中2015届高考数学模拟试题（文）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．C 3．D4．D5．C6．A7．D8．D
二、填空题（9~12小题每题6分，其它小题每题4分，共36分）
9．4π，22,3x k k ππ=
+∈Z ，424,4,33k k k ππππ⎡⎤-
++∈Z ⎢⎥⎣⎦
;
10.22
(2)(2)10-+-=x y 160
643
+
12．1,1(,)3+∞;13．1
2
-
;14．95;15．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（15分）(Ⅰ)由题意得
sin (cos 3sin sin C B B A -=Q
∴sin cos 3sin sin sin()c B C B B C -=+…………………2分
3
3sin sin sin cos tan 3
B C B C C ∴-=⇒=-………………4分 Θ0C π<<∴56
C π
=
…………………7分 （Ⅱ）Θ22cos 3A =∴1
sin 3
A =………………8分 sin sin()sin cos cos sin
B A
C A C A C =+=+Q ………………9分
13221223()32-=⋅-+⋅=……………11分 又由正弦定理得：
C
c
B b sin sin =
……………13分 所以4223
b -=
……………15分 17.（1）证明：∵E 为弧AC 的中点，AB BC =，AC 为直径，∴EB AD ⊥.
∵222222
6(5)EF a a a BF BE ==+=+，∴.EB FB ⊥
∵,BF BD B =I ∴EB ⊥平面.BDF ∵FD ⊂平面,BDF ∴.EB FD ⊥
（2）解法一：如图，以B 为原点，BE u u u r
为x 轴正方向，过B 作平面BEC 的垂线，建立空
间直角坐标系，
由此得(0,0,0)B ，(0,,0)C a ，(0,2,0)D a ，(,0,0).E a ∵,,FD FB BC CD ==∴.FC BD ⊥∴2.FC a =
当RD FB ⊥时，RD 最短.此时45
5RD a a
=
=
25BR a ∴=
3
5
λ∴=. z
y
A
C
B
F
G Q
D
E
R
H
∵33,,55FQ FE FR FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ∴24(0,,),55
R a a
33(,0,0).55RQ BE a ==u u u r u u u r ∴84(0,,).55
RD a a =-u u u r
设平面RQD 的法向量为1(,,),n x y z =u r
则10,n RD ⋅=u r u u u r 10,n RQ ⋅=u r u u u r ∴1(0,1,2).n =u
r
∵平面BED 的法向量为2(0,0,1),n =u u r
∴12
cos ,n n =u r u u r ∴12
sin ,n n =u r u u r ∴平面BED 与平面RQD 解法二：（确定二面角的平面角—综合方法一）
过D 作HD ∥QR .
∵,,FQ FE FR FB λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r
∴QR ∥.EB ∴HD ∥.EB ∵D ∈平面BED I 平面RQD ， ∴HD 为平面BED 与平面RQD 的交线. ∵,BD RD ⊂平面,BDF EB ⊥平面BDF ， ∴,.HD BD HD RD ⊥⊥
∴RDB ∠为平面
BED 与平面RQD 所成二面角的平面角.
Q BRD ∆Q 是直角三角形，5sin 2
BR BDR BD a ∴∠===
.
18
、(本题满分15分）【答案】【解析】(Ⅰ解析：(Ⅰ)设等差数列公差为d ，由题意知
0>d ， ，即,04536442=+-d d
4分
8分
………12分
T n 的值．
19．（本题满分15分）解析：（I ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为 因为||||FA FD =，由抛物线的定义知：，解得3t p =+或3t =-（舍去）. ，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，
因为||||FA FD =，则0|1|1D x x -=+，由0D x >得02D x x =+
，故0(2,0)D x +，故直线AB
，因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为
设(,)E E E x y ，则当2
04y ≠时， 可得直线AE ，由2
004y x =，整理可得 ∴直线AE 恒过点(1,0)F .当2
04y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，
所以直线AE 过定点(1,0)F .
20．（14分）法一、由题意知（Ⅰ）2
28(4)(2)k k k k ∆=+-=+-…………2分 ①当(1)(4)0f f <时，
957
416
k <<
.…………3分 ②当(1)(4)0f f =时，957,,416k k =
=或经检验9
4
k =符合.…………4分 ③当0,∆=时，24k k ==-或，经检验2k =符合.…………5分
④当0
1142
(1)0
(4)0
k f f ∆>⎧⎪+⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩时，解得924k <<.…………6分 综上57
216
k ≤<
……8分 法二、函数2
9
()(1)4
f x x k x =-++
在区间(1,4)上有零点，转化成 函数()1h x k =+与29
4()x x x
ϕ+
=
在(1,4)有交点，
而9()4x x x ϕ=+在区间3(1,)2上单调递减，在3
(,4)2
上单调递增， 又13(1)4ϕ=
，73(4)16ϕ=，3()32
ϕ=， 所以733()16x ϕ≤<，则73
3116
k ≤+<， 得57
216
k ≤<
……8分 (Ⅱ)显然()g x 在()0,+∞单调递增，其值域为(),k -+∞……10分
∴()f x 在(),0-∞上单调递减，
1
02
k +≥即1k ≥-. ∴()f x 在(),0-∞上的值域为9,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
……12分
9
4
k ∴=-
而1k ≥-，所以这样的k 不存在。

……14分。