高考数学总复习课后限时练习47 圆的方程

高考数学总复习课后限时练习47 圆的方程
1.圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( )
A ．(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=1
B ．(x+1)2+(y+1)2=1
C ．(x+1)2+(y+1)2=2
D ．(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=2
答案：D 解析：由题意可得圆的半径r=√(1﹣0)2+(1﹣0)2=√2，则圆的标准方程为(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=2.
2.已知实数x ，y 满足(x+5)2+(y ﹣12)2=122，则x 2+y 2的最小值为( )
A ．2
B ．1
C ．√3
D ．√2
答案：B
解析：设P (x ，y )，则点P 在圆(x+5)2+(y ﹣12)2=122上，则圆心C (﹣5，12)，半径r=12，
x 2+y 2=[√(x ﹣0)2+(y ﹣0)2]2=|OP|2，又|OP|的最小值是|OC|﹣r=13﹣12=1，所以x 2+y 2的最小值为1.
3.若点A ，B 在圆O ：x 2+y 2=4上，弦AB 的中点为D (1，1)，则直线AB 的方程是( )
A ．x ﹣y=0
B ．x+y=0
C ．x ﹣y ﹣2=0
D ．x+y ﹣2=0
答案：D
解析：因为直线OD 的斜率为k OD =1，所以由垂径定理得直线AB 的斜率为k AB =﹣1，所以直线AB 的方程是y ﹣1=﹣(x ﹣1)，即x+y ﹣2=0，故选D ．
4.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x ﹣3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=1
B ．(x ﹣2)2+(y+1)2=1
C ．(x+2)2+(y ﹣1)2=1
D ．(x ﹣3)2+(y ﹣1)2=1
答案：A
解析：由于圆心在第一象限且与x 轴相切，因此设圆心为(a ，1)(a>0).
又由圆与直线4x ﹣3y=0相切可得|4a ﹣3|5=1，解得a=2，
故圆的标准方程为(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=1.
5.已知圆C 的圆心在曲线y=2x 上，圆C 过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则△OAB 的面积等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 答案：C 解析：设圆心的坐标是(t ，2t
). ∵圆C 过坐标原点，∴|OC|2=t 2+4
t 2， ∴圆C 的方程为(x ﹣t )2+(y ﹣2t )2=t 2+4
t 2.
令x=0，得y 1=0，y 2=4t ，
∴点B 的坐标为(0，4t )；
令y=0，得x 1=0，x 2=2t ，
∴点A 的坐标为(2t ，0)，
∴S △OAB =12|OA|·|OB|=12×|4t |×|2t|=4，即△OAB 的面积为4.
6.如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB|=2.
(1)圆C 的标准方程为________________________；
(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为__________.
答案：(1)(x ﹣1)2+(y ﹣√2)2=2 (2)﹣1﹣√2
解析：(1)由题意可设圆心C 坐标为(1，b )，取AB 中点为P ，连接CP ，CB ，则△BPC 为直角三角形，得|BC|=r=√2=b ，故圆C 的标准方程为(x ﹣1)2+(y ﹣√2)2=2.
(2)由(1)得，C (1，√2)，B (0，√2+1)，则k BC =﹣1.
圆C 在点B 处的切线方程为y=x+√2+1，令y=0，得x=﹣√2﹣1，即切线在x 轴上的截距为﹣1﹣√2.
7.已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，√5)在圆C 上，且圆心到直线2x ﹣y=0的距离为4√55，则圆C 的方程为____________________.
答案：(x ﹣2)2+y 2=9
解析：设圆心C 的坐标为(a ，0)(a>0)， 则√5=4√5
5⇒a=2.
又点M (0，√5)在圆C 上，
则圆C 的半径r=√22+5=3.
故圆C 的方程为(x ﹣2)2+y 2=9. 8.直线l ：x 4+y
3=1与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的内切圆的方程为____________________.
答案：(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=1
解析：由直线方程x 4+y 3=1与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，
如图.
设△OAB 的内切圆的圆心为M (m ，m ).
直线方程x 4+y 3=1可化简为3x+4y ﹣12=0，
由点M 到直线l 的距离等于m 得√32+42=m ，解得m=1.
故△OAB 的内切圆的方程为(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=1.
9.已知圆M 与y 轴相切，圆心在直线y=12x 上，并且在x 轴上截得的弦长为2√3，则圆M 的标准方程为____________.
答案：(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4
解析：设圆M 的标准方程为(x ﹣a )2+(y ﹣b )2=r 2，
由题意可得{ 12a ﹣b =0，
|a |=r ，b 2+3=r 2，
解得{a =2，b =1，r =2或{a =﹣2，b =﹣1，r =2， 所以圆M 的标准方程为(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.
10.已知圆C 的圆心在直线y=﹣4x 上，且与直线l ：x+y ﹣1=0相切于点P (3，﹣2)，求圆C 的方程. 解析：(方法一)如图，设圆心C (x 0，﹣4x 0)，依题意得4x 0﹣2
3﹣x 0=1，
则x 0=1，即圆心C 的坐标为(1，﹣4)，半径r=2√2，故圆C 的方程为(x ﹣1)2+(y+4)2=8.
(方法二)设所求圆C 的方程为(x ﹣x 0)2+(y ﹣y 0)2=r 2，
根据已知条件得{ y 0=﹣4x 0，(3﹣x 0)2+(﹣2﹣y 0)2=r 2，00√2
=r ， 解得{x 0=1，
y 0=﹣4，r =2√2.
因此所求圆C 的方程为(x ﹣1)2+(y+4)2=8.
11.已知直线l ：x+my+4=0，若曲线x 2+y 2+2x ﹣6y+1=0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为
( )
A ．2
B ．﹣2
C ．1
D ．﹣1
答案：D
解析：曲线x 2+y 2+2x ﹣6y+1=0是圆(x+1)2+(y ﹣3)2=9，若圆(x+1)2+(y ﹣3)2=9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x+my+4=0过圆心(﹣1，3)，所以﹣1+3m+4=0，解得m=﹣1，故选D ．
12.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k>0，且k ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比为√2，当
P ，A ，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是( )
A ．2√2
B ．√2
C ．2√23
D ．√2
3 答案：A
解析：如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，
则A (﹣1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )，
∵|PA |
|PB |=√2，
∴√(x+1)2+y 2
√(x ﹣1)+y 2=√2，
两边平方并整理得：x 2+y 2﹣6x+1=0⇒(x ﹣3)2+y 2=8，
y max =2√2，△PAB 面积的最大值是12×2×2√2=2√2，故选A ．
13.已知a ∈R ，方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________. 答案：(﹣2，﹣4) 5
解析：由题意，可得a 2=a+2，解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时，方程为x 2+y 2+4x+8y ﹣5=0，即(x+2)2+(y+4)2=25，故圆心为(﹣2，﹣4)，半径为5；当a=2时，方程为4x 2+4y 2+4x+8y+10=0，即(x +12)2+(y+1)2=﹣54不表示圆.
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2√2，在y 轴上截得线段长为2√3.
(1)求圆心P 的轨迹方程；
(2)若点P 到直线y=x 的距离为√22，求圆P 的方程.
解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r.
由题设y 2+2=r 2，x 2+3=r 2，
从而y 2+2=x 2+3.
故P 点的轨迹方程为y 2﹣x 2=1.
(2)设P (x 0，y 0)，由已知得00√2=√22
. 又P 在双曲线y 2﹣x 2=1上，
从而得{|x 0﹣y 0|=1，y 02﹣x 02=1.
由{x 0﹣y 0=1，y 02﹣x 02=1，得{x 0=0，y 0=﹣1.
此时，圆P 的半径r=√3.
由{x 0﹣y 0=﹣1，y 02﹣x 02=1，得{x 0=0，y 0
=1. 此时，圆P 的半径r=√3.
故圆P 的方程为x 2+(y+1)2=3或x 2+(y ﹣1)2=3.
15.已知平面区域{x≥0，
y≥0，
x+2y﹣4≤0
恰好被面积最小的圆C：(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2及其内部所覆盖，则圆C的
方程为______________________________.
答案：(x﹣2)2+(y﹣1)2=5
解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.
因为△OPQ为直角三角形，
所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r=|PQ|
2
=√5，
所以圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.。