河北省沧州市七县2025届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

河北省沧州市七县2025届高三第二次诊断性检测数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
3
π D ．
2
π 2．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）
A ．
32
3
B ．
643
C ．16
D ．32
3．已知函数()sin()(0,0)3
f x x π
ωφωφ=+><<
满足()(),()12
f x f x f π
π+==1，则()12
f π
-
等于（ ）
A ．-
22
B ．
22
C ．-
12
D ．
12
4．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪
=⎨≥⎪+⎩
，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB 的中点在y
轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞
B ．10,e
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
D ．[e,)+∞
5．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）
A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省
B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长
C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元
6．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足
11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．2y x =±
B ．3y x =
C ．2y x =
D ．y x =±
7．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．45︒
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
8．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12
π
个单位长度
B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移
512π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度 9．已知
5
2i 12i
a =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） A 3B ．3
C ．1
D ．5
10．曲线(2)x
y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4-
B ．8-
C ．4
D ．8
11．已知幂函数()f x x α
=的图象过点(3,5)，且1a e α
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
12．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．
π
3
B ．
π6
C ．
π2
D ．
π4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________. 14．已知实数
满足
则
的最大值为________.
15．函数()cos sin f x x x x =+在x π=处的切线方程是____________.
16．已知函数()2241020
ax x x f x x bx c x ⎧--≥=⎨++<⎩，，
，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同
点A ，B ，C ，D ．若AB ＝BC ，则实数t 的值为_________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的方程为2
2
20x x y -+=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈.
（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点M ，N 的极坐标；
（2）设P 是椭圆2214
x y +=上的动点，求PMN 面积的最大值.
18．（12分）设函数()()ln ,x
f x x x ae p x kx =-=，其中,a R e ∈是自然对数的底数.
（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()ln 1'(),(1)x x f x e ϕ=+-ϕ=，函数()x ϕ与函数()p x 的图象交于()()1122,,,A x y B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：00()(1)x p y ϕ<<.
19．（12分）（1）已知数列{}n a 满足：121,a a λ==，且1121n n n n n a a a a a λ+--=-（λ为非零常数，*2,n n N ≥∈），
求数列()*
12,n n a n n N a -⎧⎫≥∈⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和； （2）已知数列{}n b 满足：
（ⅰ）对任意的*
1,0n n n N b b +∈<≤；
（ⅱ）对任意的*
2,n n N ≥∈，()()*111*
2,21,,2,
n n n n q n k k N b b q n k k N μμ-+⎧=+∈⎪⋅=⎨=∈⎪⎩()120,0,0q q μ>>>，且2121b q q b =. ①若121,q q μ==，求数列{}n b 是等比数列的充要条件.
②求证：数列12569104342,,,,,,,,,m m b b b b b b b b --⋯⋯是等比数列，其中*m N ∈. 20．（12分）已知1
()252
f x x x =+--
. （1）求不等式()1f x 的解集；
（2）记()f x 的最小值为m ，且正实数,a b 满足
44
a b a mb b ma
+=+--.证明：2a b +.
21．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c 已知2222a c ac b ++=，5sin cos 0A B +=. （1）求cos C ； （2）若ABC ∆的面积5
2
S =
，求b . 22．（10分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .
（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若60BAD ∠=︒，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -86
，求菱形ABCD 的边长. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值. 【详解】
由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期
32T =，所以263
T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫
-⨯+=
⎪⎝⎭
，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x π
ππ
πππ⎛⎫⎛⎫=+
=++=+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】
该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目. 2、A 【解析】
几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323
⨯⨯⨯=，选A. 3、C 【解析】
设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*
2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
得*2,,2
6
k n k Z n N π
π
φπ=
+-⋅
∈∈，又03
π
φ<<
，则可求出122n k -=，进而可得()12
f π
-
.
【详解】
解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，
所以,nT n N π*
=∈，所以*2,T n n
π
π
ω
=
=
∈N ，
所以*
2,n n ω=∈N ，
又112f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,2
6
k n k Z n N π
π
φπ∴=+-⋅∈∈，因为03
π
φ<<
022
6
3
k n π
π
π
π∴<
+-⋅
<
，
整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，
122n k ∴-=，
()22122
6
6
k k π
π
π
φπ∴=+-+⋅
=
，则26
6
2
n k π
π
π
π⋅
+
=
+
263
n k ππ
π∴
=+ 所以()sin 212126sin 66f n n ππ
πππ⎛⎫-
-- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫
=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎭ 1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫
=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 4、D 【解析】
根据AB 中点在y 轴上，设出,A B 两点的坐标(
)3
2
,A t t t
-+，(,())B t f t ，
（0t >）.对t 分成1,1,1t t t =三类，利用OA OB ⊥则0OA OB ⋅=，列方程，化简后求得ln t a t =
，利用导数求得ln t
t
的值域，由此求得a 的取值范围. 【详解】
根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数，不妨设(
)32
,A t t t -+，(,())B t f t ，
（0t >），若1t <，则3
2()f t t t =-+，
由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即(
)()
2
32
3
20t t t
t t -++-+=，方程无解；若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，
则ln ()(1)a t f t t t =+，由0OA OB ⋅=，即(
)
232
ln 0(1)a t t t t t t -++=+，即ln t a t =，因为()
'
2
ln 1ln ln t t t t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数ln t t 在()0,e 上递减，在
()e,+∞上递增，故在e t =处取得极小值也即是最小值e ln e e =，所以函数ln t
y t
=在(1)+∞上的值域为[),e +∞，故[e,)a ∈+∞.故选D. 【点睛】
本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最
小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目. 5、D 【解析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】
由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题. 6、B 【解析】
先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得1
60AFO ∠=，即260MOF ∠=，从而解得渐近线方程. 【详解】 如图所示：
由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，
因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，
故而由几何性质可得1
60AFO ∠=，即260MOF ∠=， 故渐近线方程为3y x =， 故选B.
本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=是解题的关键，属于中档题. 7、C 【解析】
求出()2,3BC AC AB =-=-，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=,即能求出向量夹角. 【详解】
解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-= 所以AB BC ⊥，则向量AB 与BC 的夹角为90︒. 故选:C. 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b
⋅= 进行计算.
8、A 【解析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】 因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫+
=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12
π
个单位长度.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题. 9、C 【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由
5
2i 12i
a =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题. 10、B 【解析】
求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】
因为(2)x
y ax e =+， 所以(2)x
y e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，
所以220b =-⨯+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 11、A 【解析】
根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】
依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，
故3log 5
101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭
，1b =>，3log 5
1
log 04
c =<， 则c a b <<. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 12、A
由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1
cos 2
B =，即可得解B 的值． 【详解】
解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2
B =， ∴3
B π
=
．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
25
【解析】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有14C 种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有2
5C 种方法,根据公式即可求得概率. 【详解】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有1
4C 种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有2
5C 种方
法,1
42
5125
C P C ⨯==. 故答案为:25
. 【点睛】
本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易. 14、
【解析】
直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】 根据柯西不等式：，故
，
当，即，
时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案. 15、20x y π+-= 【解析】 求出()f
π和()f π'的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
()cos sin f x x x x =+，则()2cos sin f x x x x '=-，()f ππ∴=-，()2f π'=-.
因此，函数()cos sin f x x x x =+在x π=处的切线方程是()2y x ππ+=--， 即20x y π+-=. 故答案为：20x y π+-=. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 16、52
-
【解析】
由()f x 是偶函数可得0x >时恒有()()f x f x -=，根据该恒等式即可求得a ，b ，
c 的值，从而得到()f x ，令()t f x =，可解得A ，B ，C 三点的横坐标，根据AB BC =可列关于t 的方程，解出即可． 【详解】
解：因为()f x 是偶函数，所以0x >时恒有()()f x f x -=，即22241x bx c ax x -+=--， 所以2(2)(4)10a x b x c -+---=，
所以204010a b c -=⎧⎪
-=⎨⎪+=⎩
，解得2a =，4b =，1c =-；
所以22241,0
()241,0
x x x f x x x x ⎧--=⎨+-<⎩；
由2241t x x =+-，即22410x x t +--=
，解得1x =-；
故1A x =-
，1B x =- 由2241t x x =--，即22410x x t ---=
，解得1x =．
故1C x =
1D x =． 因为AB BC =，所以B A C B x x x x -=-
25
2
t =-， 故答案为：52
-． 【点睛】
本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2cos ρθ=，()0,0M ，1,3N π⎛⎫ ⎪⎝⎭；
（2
. 【解析】
（1）利用公式即可求得曲线C 的极坐标方程；联立直线和曲线C 的极坐标方程，即可求得交点坐标； （2）设出点P 坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得. 【详解】
（1）曲线C 的极坐标方程：2cos ρθ=
联立2cos 3ρθ
π
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，得1,3N π⎛⎫
⎪⎝⎭，又因为()0,0M 都满足两方程， 故两曲线的交点为()0,0M ，1,3N π⎛⎫
⎪⎝⎭. （2）易知1MN =
，直线:l y =
.
设点()2cos ,sin P αα，则点P 到直线l
的距离d =
∴
1
2
PMN S
MN d '
=⋅⋅=
（其中tan ϕ=.
PMN ∴△
面积的最大值为
4
. 【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题. 18、（Ⅰ）1
0a e
<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
（Ⅰ）依题意()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，由ln 1e 0x x a +-=参变分类可得ln 1
e x x a +=
，令ln 1()x
x g x e
+=，利用导数研究()g x 的单调性、极值，从而得到参数的取值范围； （Ⅱ）由题解得1a =，()x
x e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立，只需证：122112
2
212
x x x x x x e e e e e
k x x +-+<=<-，即：
12
21122
212x x x x x e e e e e e
x x +-+<<-，只需证：212121221112x x x x x x e e x x e ----+<<-，设210t x x =->，即证：2112
t t t
e e e t -+<<，再分别证明2
1t
t e e t -<，11
2
t t e e t -+<
即可； 【详解】
解：（Ⅰ）由题意可知，0,'()ln 1x
x f x x ae >=+-，
()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，
由ln 1e 0x x a +-=可得，ln 1
e x x a +=
，令ln 1()x
x g x e +=，
则()1
ln 1'()x
x x g x e -+=，令1()ln 1h x x x
=--， 可得2
11
'()h x x x
=-
-，当0x >时，'()0h x <， 所以()h x 在()0,∞+上单调递减，且(1)0h = 当()0,1x ∈时，()0,'()0,()h x g x g x >>单调递增；
当()1,x ∈+∞时，()0,'()0,()h x g x g x <<单调递减；
所以1x =是()g x 的极大值也是最大值，max 11
()(1)g x g a e e
∴==∴<又当0,()x g x →→-∞，当,()x g x →+∞大于0趋向与0，
要使'()0f x =在()0,∞+有两个根，则10a e
<<， 所以a 的取值范围为10a e
<<
； （Ⅱ）由题解得1a =，()x
x e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立， 只需证：122112
2
212
x x x x x x e e e e e
k x x +-+<=<-
即：122112
2
212
x x x x x e e e e e e
x x +-+<<-， 只需证：2121212
21112
x x x x x x e e x x e
----+<<- 设210t x x =->，即证：2
11
2
t
t t e e e t -+<<
要证2
1
t t e e t
-<，只需证：22t t e e t -->
令()112
2
F t e e
t -
=--，则()2
2
1'102t t
F t e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
()F t ∴在()0,∞+上为增函数
()()00F t F ∴>=，即2
1
t
t e e t -<成立；
要证112t t e e t -+<，只需证明：112
t t e t e -<+
令()112t
t e t
G t e -=
-+，则()()
()()
()()
2
2
22
2
41121'0212121t t t t
t t
t
e e e e G t e e e -+--=-==
<+++
()G t ∴在()0,∞+上为减函数，()()00G t G ∴<=，即11
2
t t e e t -+<
成立
2
11,02
t
t t e e e t t -+∴<<>成立，所以()()001x p y ϕ<<成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题; 19、（1）(1)
2
n n λ+；（2）①1121b q q q ====；②证明见解析. 【解析】
（1）由条件可得11
n n
n n a a a a λ+--=，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求； （2）①若1μ=，可令12q q q ==，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当2k m =，441412m m m b b q μ-+=，42
41432m m m b b q μ---=，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求
结论． 【详解】
解：（1）11a =，2a λ=，且2
111(n
n n n n a a a a a λλ+--=-为非零常数，2n ，*)n N ∈， 可得
11
n n
n n a a a a λ+--=， 可得数列1
{}n
n a a -的首项为λ，公差为λ的等差数列， 可得
1(1)n
n a n a λ-=-，前n 项和为(1)2
n n λ+； （2）①若1μ=，可令12q q q ==，11n n n b b q -+=，
且21b q b =，即21b b q =，231q b b =，32
421
q q b b b ==，251b b q =，
对任意的*n N ∈，10n n b b +<，可得123450b b b b b <， 可得1q ，11b ，
数列{}n b 是等比数列，则2
213b b b =，2
4
35b b b =， 可得11b q ==，111n n b b -+=，即23411b b b b ====， 又131n n b b ++=，即有13n n b b -+=，即1n b =，
数列{}n b 是等比数列的充要条件为1121b q q q ====；
②证明：对任意的2n ，*n N ∈，*111*
2,21()·(0,2()
n n n n q n k k N b b q n k k N μμμ-+⎧=+∈=>⎨=∈⎩，10q >，20)q >，
当2k m =，441412m m m b b q μ-+=，42
41432m m m b b q μ---=，
可得241243
m m b q b +-=，即43{}m b -以1b 为首项、22q 为公比的等比数列；
同理可得42{}m b -以2b 为首项、21q 为公比的等比数列； 对任意的*n N ∈，10n n b b +<，可得434241m m m b b b --+，
即有22222122112m m m
b q b q b q --，
所以对*m N ∀∈，221221()1m b q b q -，22212122
1
()1m b q b q q -， 可得21122(1)0q b m lg
lg q b -+，12221
2(1)20q b
m lg lg lgq q b -+-， 即12q q 且21q q ，则12q q =，可令120q q q ==，
故数列1b ，2b ，5b ，6b ，9b ，10b ，⋯，43m b -，42m b -，⋯ 是以1b 为首项，0q 为公比的等比数列，其中*m N ∈． 【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题． 20、（1）13|2x x ⎧-⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
；（2）见解析 【解析】
（1）根据1
()252
f x x x =+--
，利用零点分段法解不等式，或作出函数()f x 的图像，利用函数的图像解不等式； （2）由（1）作出的函数图像求出()f x 的最小值为3-，可知3m =-，代入
44
a b a mb b ma
+=+--中，然后给等式
两边同乘以+a b ，再将44a b +写成(3)(3)a b a b +++后，化简变形，再用均值不等式可证明. 【详解】
（1）解法一：1°5
2x -
时，()1f x ，即1112x --
，解得132
x -； 2°5122x -<<时，()1f x ，即9312x +，解得7162x -<； 3°12x 时，()1f x ，即1112x +
，解得1
2
x . 综上可得，不等式()1f x 的解集为13|2x x ⎧
-
⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
.
解法二：由115,,221951
()253,,2222
11
1,,22x x f x x x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=+--=+-<<⎨⎪⎪+⎪⎩
作出()f x 图象如下：
由图象可得不等式()1f x 的解集为13|2x x ⎧-
⎨⎩或76x ⎫-⎬⎭
. （2）由115,,221951
()253,,2222
11
1,,22x x f x x x x x x x ⎧
---⎪⎪⎪=+--=+-<<⎨⎪⎪+⎪⎩
所以()f x 在5,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
上单调递减，在)
5
,2⎡-+∞⎢⎣上单调递增，
所以min 5()32f x m f ⎛⎫
==-
=- ⎪⎝⎭
， 正实数,a b 满足
4433a b a b b a +=+++，则2
44()()33a b a b a b b a ⎛⎫++=+ ⎪++⎝⎭
，
即113333[(3)(3)]2224333333a b b a a b b a a b b a a b b a b a a b b a a b ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++=
⎪ ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， （当且仅当
3333a b b a
b a a b
++=++即a b =时取等号）
故2a b +≥，得证. 【点睛】
此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.
21、（1
）cos A C ==
；（2）5b = 【解析】
试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出sin A ，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得ac ，利用正弦定理即可求出. 试题解析：（1
）由222a c b ++=
，得222a c b +-=，
∴222cos 222
a c
b B a
c ac +-===-
. ∵0B π<<，∴34
B π
=
.
cos 0A B +=
，得sin cos 55210A B ⎛=-
=--= ⎝⎭
，
∴cosA ===.
∴cos cos cos 42
2C A A A π⎛⎫
=-=+
⎪⎝⎭
22=+=
. （2）由（1）
，得sin 5C ===. 由1sin 2S ac B =及题设条件，得135
sin
242
ac π=
，∴ac =由sin sin sin a b c
A B C
==
==，
∴22522
b =
=⨯=， ∴5b =.
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小. 22、（1）证明见解析；（2）1 【解析】
（1）由菱形的性质和线面垂直的性质，可得AC ⊥平面BDE ，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设AB x =，
分别求得AC ，DG 和EB 的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值． 【详解】 （1）
四边形ABCD 为菱形，
AC BD ∴⊥，
BE ⊥平面ABCD ， AC BE ∴⊥，
又BD BE B ⋂=，
AC ∴⊥平面BDE ，
又AC ⊂平面AEC ，
∴平面AEC ⊥平面BED ；
（2）设AB x =，在菱形ABCD 中，由60BAD ∠=︒， 可得3
2
AG GC x ==
，2x GB GD ==，3AC x =，
AE EC ⊥，
∴在Rt AEC ∆中，可得32
EG x =，
由BE ⊥面ABCD ，知⊥BE BG ，BEG ∆为直角三角形，可得222
2
BE EG BG x =-=， 三棱锥E ACD -的体积311686
··32243
E ACD V AC GD BE x -=
⨯==
， 4x ∴=，∴菱形的边长为1．
【点睛】
本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．。