2019版53B高中数学一轮复习精品课件新课标III§10.3抛物线及其性质
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xM x p
∴kOM= 2 px =
x p
2p x p
≤ 2p = 2 ,
2p 2
x
当且仅当x=p时取等号.
栏目索引
2.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的 点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. 3
B. 2
C. 2
D.1
3
3
2
答案 C 设P(x,y),M(xM,yM),
∴
PM
=(xM-x,yM-y),MF
=
p 2
xM
,
yM
.∵|PM
|=2|MF
|,
即
PM
=2
MF
,∴(xM-x,yM-y)=2
p 2
xM
,
yM
,
∴
xM
x 2 1 2
p 2
x p, 3
yM
y 1 2
y, 3
∴kOM= yM = y ,由题易知kOM最大时y>0,
栏目索引
高考理数 (课标Ⅲ专用)
§10.3 抛物线及其性质
栏目索引
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 抛物线的定义与标准方程
(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点
N.若M为FN的中点,则|FN|=
.
答案 6
解析 如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交 点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1| =3,从而|FN|=2|FM|=6.
A. 3 3
B. 9 3
C. 63
D. 9
4
8
32
4
答案
D
易知直线AB的方程为y=
3 3
x
3 4
,与y2=3x联立并消去x得4y2-12
3 y-9=0.设A(x1,y1),
B(x2,y2),则y1+y2=3
3
9
,y1y2=- 4
1
.S△OAB= 2
1
|OF|·|y1-y2|=2
×3
4
( y1 y2 )2 4 y1 y2
A.2 B.4 C.6 D.8
答案
B
不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2
2
),则x1=
(2 2
2 p
)2
=
4 p
,由题意可知|OA|=|OD|,得
4 p
2
+8=
p 2
2
+5,解得p=4.故选B.
栏目索引
2.(2014课标Ⅱ,10,5分,0.262)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B 两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 ( )
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y12 y22
4x1, ① 4x2 , ②
②-①得
y22
-
y12 =4(x2-x1),从而k=
y2 x2
y1 x1
=
y1
4
y2
.
设AB的中点为M',连接MM'.∵直线AB过抛物线y2=4x的焦点,
∴以线段AB为直径的☉M'与准线l:x=-1相切.
思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解. 方法总结 当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义 在解题中的重要作用.
栏目索引
考点二 抛物线的性质及应用
1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两 点.已知|AB|=4 2 ,|DE|=2 5 ,则C的焦点到准线的距离为 ( )
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
y0
x0
5,
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则(x0
1)2
( y0
x0 2
1)2
16.
解得
x0 y0
3, 2
或
x0 y0
11, 6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
k
y1 k
1,
y1
,B
y2 k
1,
y2
,将直线方程与抛物线方程联立得
x y
y 1, k
2 4x,
整理得y2-4
k
y-4=0,从而得y1+y
2= 4 ,y1·y2=-4.
k
∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴
MA
·MB
=0,即
y1 k
2
· yk2
2
+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.
由
y y
k(x 2 4x
1),
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=
2k 2 k
2
4
.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=
4k 2 k
2
4
.
由题设知
4k 2 k
2
4
=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴点M在准线l:x=-1上,同时在☉M'上,
∴准线l是☉M'的切线,切点为M,且M'M⊥l,
即MM'与x轴平行,
∴点M'的纵坐标为1,即
y1
Hale Waihona Puke 2y2=1⇒y1+y2=2,
故k= 4 = 4 =2.
y1 y2 2
栏目索引
疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”“点差法”的方法来解决直线与抛物线的相交 问题.
栏目索引
4.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交 于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),
设A(x1,y1),B(x2,y2).
方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重 利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.
栏目索引
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段 PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为 ( )
=3
8
27 9 =9 .故选D.
4
栏目索引
3.(2018课标全国Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交
于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=
.
答案 2
解析 本题考查抛物线的几何性质及应用.
解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x= y +1,设A
∴kOM= 2 px =
x p
2p x p
≤ 2p = 2 ,
2p 2
x
当且仅当x=p时取等号.
栏目索引
2.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的 点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是 ( )
A. 3
B. 2
C. 2
D.1
3
3
2
答案 C 设P(x,y),M(xM,yM),
∴
PM
=(xM-x,yM-y),MF
=
p 2
xM
,
yM
.∵|PM
|=2|MF
|,
即
PM
=2
MF
,∴(xM-x,yM-y)=2
p 2
xM
,
yM
,
∴
xM
x 2 1 2
p 2
x p, 3
yM
y 1 2
y, 3
∴kOM= yM = y ,由题易知kOM最大时y>0,
栏目索引
高考理数 (课标Ⅲ专用)
§10.3 抛物线及其性质
栏目索引
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 抛物线的定义与标准方程
(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点
N.若M为FN的中点,则|FN|=
.
答案 6
解析 如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交 点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1| =3,从而|FN|=2|FM|=6.
A. 3 3
B. 9 3
C. 63
D. 9
4
8
32
4
答案
D
易知直线AB的方程为y=
3 3
x
3 4
,与y2=3x联立并消去x得4y2-12
3 y-9=0.设A(x1,y1),
B(x2,y2),则y1+y2=3
3
9
,y1y2=- 4
1
.S△OAB= 2
1
|OF|·|y1-y2|=2
×3
4
( y1 y2 )2 4 y1 y2
A.2 B.4 C.6 D.8
答案
B
不妨设C:y2=2px(p>0),A(x1,2
2
),则x1=
(2 2
2 p
)2
=
4 p
,由题意可知|OA|=|OD|,得
4 p
2
+8=
p 2
2
+5,解得p=4.故选B.
栏目索引
2.(2014课标Ⅱ,10,5分,0.262)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B 两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 ( )
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y12 y22
4x1, ① 4x2 , ②
②-①得
y22
-
y12 =4(x2-x1),从而k=
y2 x2
y1 x1
=
y1
4
y2
.
设AB的中点为M',连接MM'.∵直线AB过抛物线y2=4x的焦点,
∴以线段AB为直径的☉M'与准线l:x=-1相切.
思路分析 过M、N作准线的垂线,利用抛物线的定义和梯形的中位线求解. 方法总结 当直线过抛物线的焦点时,应充分利用抛物线的定义,同时也体现了抛物线的定义 在解题中的重要作用.
栏目索引
考点二 抛物线的性质及应用
1.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两 点.已知|AB|=4 2 ,|DE|=2 5 ,则C的焦点到准线的距离为 ( )
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
y0
x0
5,
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则(x0
1)2
( y0
x0 2
1)2
16.
解得
x0 y0
3, 2
或
x0 y0
11, 6.
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
k
y1 k
1,
y1
,B
y2 k
1,
y2
,将直线方程与抛物线方程联立得
x y
y 1, k
2 4x,
整理得y2-4
k
y-4=0,从而得y1+y
2= 4 ,y1·y2=-4.
k
∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴
MA
·MB
=0,即
y1 k
2
· yk2
2
+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.
由
y y
k(x 2 4x
1),
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=
2k 2 k
2
4
.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=
4k 2 k
2
4
.
由题设知
4k 2 k
2
4
=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.
∵M(-1,1),∠AMB=90°,
∴点M在准线l:x=-1上,同时在☉M'上,
∴准线l是☉M'的切线,切点为M,且M'M⊥l,
即MM'与x轴平行,
∴点M'的纵坐标为1,即
y1
Hale Waihona Puke 2y2=1⇒y1+y2=2,
故k= 4 = 4 =2.
y1 y2 2
栏目索引
疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”“点差法”的方法来解决直线与抛物线的相交 问题.
栏目索引
4.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交 于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),
设A(x1,y1),B(x2,y2).
方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重 利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.
栏目索引
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段 PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为 ( )
=3
8
27 9 =9 .故选D.
4
栏目索引
3.(2018课标全国Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交
于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=
.
答案 2
解析 本题考查抛物线的几何性质及应用.
解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x= y +1,设A