高等数学 上、下册6_2 可分离变量的微分方程
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第二节 可分离变量的微分方程
本 节 和 下 节 ，我 们 讨 论 两 类 一 阶 微 分 方 程 y f (x, y)
的解法.
形如
f1( y)dy f2 ( x)dx
的一阶微分方程称为已分离变量方程.
（ 1）
方程（1）的特点是左端只含 y 的函数乘微分 dy，右
端 只 含 x 的 函 数 乘 微 分 dx.设 函 数 f1( y) 和 f2 ( x) 是 连 续 的 ， 将 （ 1） 式 两 边 同 时 积 分 ， 便 得
取指数函数得 y ex2C1 e e C1 x2 ，即y eC1ex2 .
若令C eC1 ，它仍是任意常数，便得所给微分方程的通
解y Cex2 .
注为了书写方便，可以不必先取绝对值 lny ，再去掉
绝对值令CeC1 ,而在积分时写成lny， 常数C1写成lnC， 这样可由lny=x2+lnC，即得到到yCex2 ，但要记住，最后
dx
，
ydy
1
ex ex
dx
所 以 通 解 为 y 2 ln (1 e x ) ln C 即 y 2 ln C (1 e x )
2
2
再 由 y x0 0 ， 得
0=ln2+lnC ， 即 C 1 . 2
故所求特解为
y 2 ln 1 e x .
2
2
例 3 求 (ex y-ex)d x (ex y+ ey)d y 0满 足 yx 0 1 的 特 解 .
即
du dx 0
2(u u ) x
这是已分离变量的方程，两端积分，得
2
1
du ln x ln C .
u ( u 1)
d(
u 1) u 1
ln
x
ln C
ln( u 1) ln x lnC
即
x( u 1) C
将 u y 回代，得原方程的通解为 x
特点是微分的系数可分解为只依赖于 x 和只依赖于 y 的因
子的乘积 .当 N1(x)M 2( y) 0 时，用它 除方程（ 2）两端，
得
N2( y) dy M1(x) dx 。
M 2(y)
N1(x)
同 样 ，（ 3） 可 化 为
dy f2 ( y)
f1( x)dx
这 就 是 前 面 讨 论 过 的 已 分 离 变 量 的 方 程 .将 方 程 转 化
得到的常数C是(可正可负的)任意常数，以后遇到类似的 情况均可这样表示.
若一阶微分方程可变形为形如
M 1(x)M 2 ( y)dx N1(x)N2( y)dy 0
（ 2）
或
y f1( x) f2 ( y)
（3）
的 微 分 方 程，则 方 程 称为 可 分 离 变量 的 方 程 .方 程（ 2）的
化为可分离变量的方程.
* 例 5求 微 分 方 程 x d y y 2 x y 的 通 解 . d x
解 原方程变形为 dy 2 y y .
(4)
dx x x
令 u y ， 则 y xu, dy u x du .
x
dx
dx
把 它 们 代 入 （ 4） 式 ， 得
u x du 2 u u dx
xy x C
例 5 是所谓的齐次方程（详见主教材），一般解法
不再详细研究.
内容小结
可分离变量方程的求解方法
分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
*齐次方程
作业
P222 2(1), (3), (5), 3(1), (3)
再 由 y x0 1， 得 (e0 + 1)(e1 1) 2(e 1) C
故所求的特解为
(e x + 1)(e y 1) 2(e 1) .
例4 放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒 子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫 做衰变.由原子物理学知道，铀的衰变速率与当时未衰变
分离变量后两端积分
dM M
()dt
ln M t ln C， M
即
M Cet
M0
由初始条件
M t0 M 0
得
M 0 Ce0 C.
所以
M M 0et
这就是所求铀的衰变规律.
O 图6-3
t
由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减
（图 6-3）
有的微分方程通过适当的变量代换后，也可以
解 方 程 属 于 可 分 离 变 量 的 方 程 .分 离 变 量 且 积
分，依次得到
e x (e y 1)dx e y (e x +1)dy 0
e
ex x+
d 1
x
e
ey y
dy 1
0
ln (e x + 1) ln (e y 1) ln C
所以通解为
(e x +1)(e y 1) C ，
的原子的含量M成正比.已知t 0时铀的含量为M0，
求在衰变过程中铀的含量Mt随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速率就是M t 对时间 t 的导数dM ，
dt 由于铀的衰变速率与其含量成正比，所以得微分方程
dM M
dt
其中( 0)是常数， 叫做衰变系数， 的前置负
号是由于当 t 增加时 M 单调减少，即dM 0的缘故. dt
为 已 分 离 变 量 的 方 程 的 方 法 称 为 分 离 变 量 法 .
例 2 这 求 ( 1 e x ) y y e x 满 足 y x 0 0 的 特 解 .
解 方 程 属 于 可 分 离 变 量 的 方 程 .分 离 变 量 并 积
分，依次得到
ydy
1
ex ex
f1( y)dy f2 (x)dx
这个方程确定了 y 是 x 的隐函数，它就是微分方程（1）
的通解. 例 1 求 微 分 方 程 d y 2 x d x ( y 0 ) 的 通 解 . y
解 所给方程是已分离变量的方程，将方程两边同时
积分得
dy y
2xdx
ln y x2 C1
本 节 和 下 节 ，我 们 讨 论 两 类 一 阶 微 分 方 程 y f (x, y)
的解法.
形如
f1( y)dy f2 ( x)dx
的一阶微分方程称为已分离变量方程.
（ 1）
方程（1）的特点是左端只含 y 的函数乘微分 dy，右
端 只 含 x 的 函 数 乘 微 分 dx.设 函 数 f1( y) 和 f2 ( x) 是 连 续 的 ， 将 （ 1） 式 两 边 同 时 积 分 ， 便 得
取指数函数得 y ex2C1 e e C1 x2 ，即y eC1ex2 .
若令C eC1 ，它仍是任意常数，便得所给微分方程的通
解y Cex2 .
注为了书写方便，可以不必先取绝对值 lny ，再去掉
绝对值令CeC1 ,而在积分时写成lny， 常数C1写成lnC， 这样可由lny=x2+lnC，即得到到yCex2 ，但要记住，最后
dx
，
ydy
1
ex ex
dx
所 以 通 解 为 y 2 ln (1 e x ) ln C 即 y 2 ln C (1 e x )
2
2
再 由 y x0 0 ， 得
0=ln2+lnC ， 即 C 1 . 2
故所求特解为
y 2 ln 1 e x .
2
2
例 3 求 (ex y-ex)d x (ex y+ ey)d y 0满 足 yx 0 1 的 特 解 .
即
du dx 0
2(u u ) x
这是已分离变量的方程，两端积分，得
2
1
du ln x ln C .
u ( u 1)
d(
u 1) u 1
ln
x
ln C
ln( u 1) ln x lnC
即
x( u 1) C
将 u y 回代，得原方程的通解为 x
特点是微分的系数可分解为只依赖于 x 和只依赖于 y 的因
子的乘积 .当 N1(x)M 2( y) 0 时，用它 除方程（ 2）两端，
得
N2( y) dy M1(x) dx 。
M 2(y)
N1(x)
同 样 ，（ 3） 可 化 为
dy f2 ( y)
f1( x)dx
这 就 是 前 面 讨 论 过 的 已 分 离 变 量 的 方 程 .将 方 程 转 化
得到的常数C是(可正可负的)任意常数，以后遇到类似的 情况均可这样表示.
若一阶微分方程可变形为形如
M 1(x)M 2 ( y)dx N1(x)N2( y)dy 0
（ 2）
或
y f1( x) f2 ( y)
（3）
的 微 分 方 程，则 方 程 称为 可 分 离 变量 的 方 程 .方 程（ 2）的
化为可分离变量的方程.
* 例 5求 微 分 方 程 x d y y 2 x y 的 通 解 . d x
解 原方程变形为 dy 2 y y .
(4)
dx x x
令 u y ， 则 y xu, dy u x du .
x
dx
dx
把 它 们 代 入 （ 4） 式 ， 得
u x du 2 u u dx
xy x C
例 5 是所谓的齐次方程（详见主教材），一般解法
不再详细研究.
内容小结
可分离变量方程的求解方法
分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
*齐次方程
作业
P222 2(1), (3), (5), 3(1), (3)
再 由 y x0 1， 得 (e0 + 1)(e1 1) 2(e 1) C
故所求的特解为
(e x + 1)(e y 1) 2(e 1) .
例4 放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒 子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫 做衰变.由原子物理学知道，铀的衰变速率与当时未衰变
分离变量后两端积分
dM M
()dt
ln M t ln C， M
即
M Cet
M0
由初始条件
M t0 M 0
得
M 0 Ce0 C.
所以
M M 0et
这就是所求铀的衰变规律.
O 图6-3
t
由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减
（图 6-3）
有的微分方程通过适当的变量代换后，也可以
解 方 程 属 于 可 分 离 变 量 的 方 程 .分 离 变 量 且 积
分，依次得到
e x (e y 1)dx e y (e x +1)dy 0
e
ex x+
d 1
x
e
ey y
dy 1
0
ln (e x + 1) ln (e y 1) ln C
所以通解为
(e x +1)(e y 1) C ，
的原子的含量M成正比.已知t 0时铀的含量为M0，
求在衰变过程中铀的含量Mt随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速率就是M t 对时间 t 的导数dM ，
dt 由于铀的衰变速率与其含量成正比，所以得微分方程
dM M
dt
其中( 0)是常数， 叫做衰变系数， 的前置负
号是由于当 t 增加时 M 单调减少，即dM 0的缘故. dt
为 已 分 离 变 量 的 方 程 的 方 法 称 为 分 离 变 量 法 .
例 2 这 求 ( 1 e x ) y y e x 满 足 y x 0 0 的 特 解 .
解 方 程 属 于 可 分 离 变 量 的 方 程 .分 离 变 量 并 积
分，依次得到
ydy
1
ex ex
f1( y)dy f2 (x)dx
这个方程确定了 y 是 x 的隐函数，它就是微分方程（1）
的通解. 例 1 求 微 分 方 程 d y 2 x d x ( y 0 ) 的 通 解 . y
解 所给方程是已分离变量的方程，将方程两边同时
积分得
dy y
2xdx
ln y x2 C1