微积分1-2

三、曲线的极坐标方程
1. 常见曲线的极坐标方程 （1）经过极点倾斜角为 的直线
和 .
（2）圆心在极点，半径为a 的圆 r a .
例：将下列曲线的直角 坐标方程化为极坐标方 程
(1) ( 2) x 2 y 2 ax (a 0) x 2 y 2 ay (a 0)
O


( , )
x

例：将下列点的直角坐 标化为极坐标 A( x , y ) ( 3,2), B( x , y ) ( 2,3), C ( x , y ) ( , ).
2 A( r , ) ( 13 , arctan ); 3 2 B( r , ) ( 13 , arctan ); 3 C ( r , ) ( 2 , ). 4
第三节 极坐标
一、极坐标系 二、极坐标与直角坐标的互化 三、曲线的极坐标方程
引入
在军事上, “东偏北45°、距离100公里”
一个“距离”和一个“角度”就可以确定
一个点P在平面上的位置?
(1)基点：O； (2)方向：东； (3)长度单位； (4)角的始边和方向(东偏北)单位(度)．
一、极坐标系
1. 定义
极坐标有无穷多个
有序数对 ( r , ) 平面上的一点P
( r , 2k )( k Z ) 3 注 规定 r 0,0 2 r 0, 2 2 平面上的点（除极点外）与有序数对一一对应。
二、极坐标与直角坐标的互化
1. 互化条件 （1）原点与极点重合； （2）极轴与x轴正向重合；
y
y
a
r

r
x a

x
r a cos
r a sin
2. 极坐标方程绘图
例：作简图r a (a 0,0 ).
例：作简图 r 2 a 2 cos 2 (a 0).
阿基米德螺线
y xBiblioteka y x双纽线 r a cos 2 (a 0)
练习：作图r a(1 sin ). 心形线
在平面内取一个定点O叫极点， 引一条射线 Or 叫极轴，规定长度单位、 固定的角度转向(取逆时针方向)为正向, 就构成一个极坐标系.
2 . 点的极坐标
设P为平面上任意一点，
极径 r | OP | 极角 : 由极轴到OP的转角 (有方向有正负)
点P的极坐标
有序数对( r , )
3. 极坐标系和直角坐标系的区别 平面上的点与有序数对之间的关系 直角坐标系 一一对应 极坐标系 不一一对应 确定平面上的一点P
( 2) 当( x , y )在左半平面时, arctan( y / x ) . ( x, y) ( 3) 当x 0, y 0时, r y , / 2; y
当x 0, y 0时, r y , / 2; 当x 0, y 0时, r 0, 任意.
y
( x, y) ( , )
（3）两坐标系长度单位相同。
2. 互化公式
O


x

r x 2 y 2 , x r cos , y y r sin . tan x . ( x 0)
(1) 当( x , y )在右半平面时, arctan( y / x ).
( x, y)
x r cos , y r sin .
y


O
( , )
x

例：将下列点的极坐标 化为直角坐标 A( r , ) ( 3,2), B( r , ) ( , ). A( x , y ) ( 3 cos 2,3 sin 2), B( x , y ) ( ,0),
问题：r a(1 cos )是一条什么样的曲线?
作业
习题1-3 (24页)
1.(A)(B) ; 2. (C)(D); 3.(1)(2); 5.