南京学苑学校06-07上学学期期中高一数学试题及答案

高一数学试题 2006年11月10用 命题人：彭加明，审校：尤美中
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1、设a,b,c ∈R ，且abc ≠0，由代数式
|
|||||||abc abc c c b b a a +++的值组成的集合为 A ．{4} B ．{0} C ．{-4} D ．{-4，0，4}
2、对于任意的两个实数对(a,b )和(c,d )，规定(a,b )=(c,d )当且仅当a=c ，b=d ；运算“⊗”为：
),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p ，则
A ．（4，0）
B ．（2，0）
C ．（0，2）
D ．（0，-4） 3、函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
4、设f (x )= 12
32,2,
log (1),2,
x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 A ．(1,2)⋃(3,+∞) B ．(10,+∞) C ．(1,2)⋃(10,+∞) D ．(1,2) 5、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f(x+2)=-f(x)，则f (6)的值为
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
6、设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a+b=
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
7、设f(x)=1-2x 2，g(x)=x 2-2x ，若2
|
)()(|2)()()(x g x f x g x f x F --
+=
，则F(x)的最大值为 A ．97 B ．94 C ．3
1
D ．3
8、函数x
a x x f 1
)(-+=(a>0)在区间(0, 3)上单调递减，则a 的取值范围是
A ．a ≥10
B ．1<a ≤10
C ．a ≥4
D ．1<a<4 9、定义两种运算：222)(,b a b a b a b a -=*-=⊕，则函数2
)2(2)(-*⊕=
x x
x f 的奇偶性为
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既非奇函数又非偶函数
10、定义在R 上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2006x x
2006log +，则在R 上方程f(x)=0
的实根个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．
2006
11、若函数f(x)同时满足：①有反函数，②是奇函数，③是减函数，④定义域与值域相同。

则f(x)的解析式可能是
A ．f(x)=-x 3
B ．f(x)=x 3+1
C ．f(x)=0.5(e x -e -x )
D ．f(x)=lg(1-x)-lg(1+x) 12、由函数y=2x 与函数y=2x -2图象以及直线x=-2与x=3所围成的封闭图形的面积是
A ．5
B ．6
C ．10
D ．15
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）
13、函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x+2)·f(x)=1，若f(1)=-5则f(f(5))= ▲ 。

14、已知f(x)=x 2+ax+b(a ∈R ，b ∈R)，A={x|x=f(x)}，B={x|x=f[f(x)]}，若A={-1，3}，则用
列举法表示B= ▲ 。

15、不等式3)61
(log 2≤++
x
x 的解集为 ▲ 。

16、对于定义在R 上的函数f(x)，有下述命题：①若f(x)是奇函数，则f(x-1)的图象关于点
A(1,0)对称；②若对x ∈R ，有f(x+1)=f(x-1)，则f(x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f(x-1)图象关于直线x=1对称，则f(x)为偶函数；④函数f(1+x)与函数f(1-x)的图象关于直线x=1对称，⑤函数f(x-1)与函数f(1-x)的图象关于直线x=1对称，⑥函数y=f(21+x )与y=f(21-x )关于y 轴对称。

其中正确命题的序号是 ▲ 。

三、解答题：本大题共6题，共10分+10分+12分+14分+14分=70分 17、设集合A={x|x 2+px+q ≤0}，集合B={x|
01
3
>+-x x }，且A ∪B=R ，A ∩B={x|3<x ≤4}，求p 、q 的值
18、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x
表示P 点的行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数式。

19、已知函数y=f(x),x ∈R ，若存在一个点A ，对于y=f(x)图象上任意点P 关于A 的对称点
也在图象上，则y=f(x)关于点A 对称，A 是对称中心，可以证明A(a,b)是对称中心的充要条件是对任意x ∈R 恒有f(2a-x)+f(x)=2b 。

设已知函数)1,0()(≠>+-
=a a a
a a x f x。

（1）证明函数y=f(x)的图象关于点(0.5,-0.5)对称； （2）求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值。

20、定义在R 上的奇函数f(x)满足：f(x+2)=f(x)，且当)1,0(∈x 时，1
42)(+=x x
x f 。

（1）求函数f(x)在[-1,1]上的解析式； （2）证明f(x)在(0,1)上是减函数；
（3）当m 取何值时，方程f(x)=m 在[-1,1]上有实数解？ 21、已知a>0且a ≠1，)1
(1
)(log 2x x a a x f a --=。

（1）求f(x)；（2）判断f(x)的奇偶性；
（3）判断f(x)的单调性；
（4）若当x ∈(-1,1)时，有f(1-m)+f(1-m 2)<0，求m 的集合M 。

22、函数f(x)的定义域D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1,x 2∈D ，有f(x 1•x 2)=f(x 1)+f(x 2)。

（1）求f(1)与f(-1)的值； （2）判断的奇偶性证明；
（3）若x>1时，f(x)>0，求证f(x)在区间(0,+∞)上是增函数；
（4）在（3）的条件下，若f(4)=1，求不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3的解集。

参 考 答 案
一、选择题：共12题，每小题5分，共60分。

不填在表格内不得分。

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

不填在横线上不得分。

13、1
5
- 14、{-1，3，3，3-} 15、(33{1}---+⋃ 16、①③⑤⑥
三、解答题：每题如结果算错，该问所得分不得超过该问总分值的一半。

17、【解析】由已知可得：B={x|x<-1或x>3}，由A ∪B=R ，A ∩B={x|3<x ≤4}可得，A={x|-1
≤x ≤4}，则-1，4是方程的两根x 2
+px+q=0，从而⎩
⎨
⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯--=+-43
4141q p q p 。

18、【解析】由选定的自变量x ，根据实际问题，当P 在AB 上运动时，PA=x ；
当P 在BC 上运动时，2
)1(1-+=x PA ；当P 在CD 上运动时，2
)3(1x PA -+=；
当P 在AB 上运动时，PA=4-x ；所以⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
≤<-≤<+-≤<+-≤≤=4
3,
432,10621,221
0,
2
2x x x x x x x x x x y 。

19、【解析】（1）∵a
a a a
a a a a a
a a a
a
a x f x f x
x
x x
x
+-
⋅+⋅-
=+-
+-
=+--1
1)()1(
1-=++-
-=+-
+-
=a
a a a a
a a a
a a x
x x
x
x 。

∴y=f(x)的图象关于点(0.5,-0.5)对称。

（2）f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]=-1+(-1)+(-1)=-3。

20、【解析】（1）当)0,1(-∈x 时，)1,0(∈-x ，又f(x)是R 上的奇函数
∴1
42142)()(+-=+-=--=--x x
x x x f x f 。

0)0(),0()0()0(=∴-=-=f f f f
)1()1(f f -=-又)1()21()1(f f f =+-=-，∴0)1()1(==-f f
∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧-∈<<-+-<<+=})1,0,1{(0
)01(142)10(142)(x x x x f x x
x
x。

（2）设x 1,x 2∈(0,1)且x 1<x 2，则012,022
2112
>->-+x x x x ，
∴0)
14)(14()12)(22(142142)()(212112221121>++--=+-+=-+x x x x x x x x x x x f x f ，∴f(x 1)>f(x 2)。

∴f(x)在(0,1)上是减函数。

（3）由上可知在(0,1)上函数f(x)的值域为)2
1
,52(，又f(x)是奇函数从而在(-1,0)上的值
域为)52,21(--
，在[-1,1]上函数的值域为}0{)2
1
,52()52,21( --。

由题意可知m 的取值范围即函数f(x) 在[-1,1]上函数的值域，因此m 的取值范围是}0{)2
1
,52()52,21( --。

21、【解析】（1）令t=log a x ，则x=a t ，代入)1
(1
)(log 2
x x a a x f a --=
可得， )(1
)(2
t t a a a a t f ---=
，函数解析式)(1)(2x
x a a a a x f ---=。

（2）)()(1
)(1)(22x f a a a a
a a a a x f x x x x -=---=--=---，∴f(x)是奇函数。

（3）设x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2，)]()[(1
)()(2211221x x x x a a a a a a
x f x f ------=-，
)11)((121212x x x x a a a a a a +--=。

当a>1时，0,0121
2
<->-x x a a
a ，∴)()(21x f x f <；
当0<a<1时，0,0121
2>-<-x x a a
a ，∴)()(21x f x f <
∴当a>0且a ≠1时，f(x)总是增函数。

（4）当x ∈(-1,1)时，有f(1-m)+f(1-m 2)<0，又f(x)是奇函数，
∴f(1-m)<f(m 2-1)，又是增函数偶有
}21|{211111111122
<<=∴<<∴⎪⎩
⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-m m M m m m m m 。

22、【解析】（1）令x 1=x 2=1，有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0。

令x 1=x 2=-1，有f[(-1)×(-1) ]=f(-1)+f(-1)=f(1)=0，解得f(-1)=0。

（2）令x 1=-1，x 2=x ，有f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，∴f(x)是偶函数。

（3）设x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2，则
11
2
>x x ，0)(12>x x f ，
则)()()()(
)(111
21122x f x f x x
f x x x f x f >+=⋅=，∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数。

（4）f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f(64)=f(16×4)=f(16)+f(4)=2+1=3。

由f(3x+1)+f(2x-6)≤3变形为f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)。

∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)=f(|x|)，在（3）的条件下有f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)
∴|(3x+1)(2x-6)|≤64且|(3x+1)(2x-6)|≠0，解得3
1
37-<≤-x 或331<<-x 或53≤<x 。

∴不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3的解集为]5,3()3,3
1
()31,37[ ---。