2025新高考数学一轮复习极点与极线教案课件

知识拓展
定理 2：若点 P(x0，y0)是曲线外的一点，过 P(x0，y0)作曲线的两条切线， 切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程分别是 y0y＝p(x＋x0)，xa02x＋yb02y＝1， xa02x－yb02y＝1.
知识拓展
4.极点和极线的作图(几何意义) 如图所示(以椭圆图形为例)，若点P是不在圆 锥曲线上的点，且不为原点O，过点P作割线 PAB、PCD依次交圆锥曲线于A，B，C，D 四点，连接直线AD，BC交于点M，连接直 线AC，BD交于点N，则直线lMN为极点P对应 的极线.
板块五 平面解析几何
知识拓展
1.极点和极线的代数定义 已知圆锥曲线 Γ：Ax2＋2Bxy＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0，P(x0，y0)(非中心)和直 线 l：Ax0x＋B(x0y＋y0x)＋Cy0y＋D(x0＋x)＋E(y0＋y)＋F＝0，则称点 P(x0，y0) 是直线 l 关于圆锥曲线 Γ 的极点，直线 l 称为 P 点关于曲线 Γ 的极线. 以上代数定义表明，在圆锥曲线方程中，以x0y＋2 y0x替换 xy，以 x0x 替换 x2， 以x0＋2 x替换 x(另一变量 y 也是如此)，即可得到点 P(x0，y0)关于曲线 Γ 的极线 方程.
易错提醒
解题的关键是发现点A(a，b)与直线l：ax＋by－r2＝0互为关于圆C的 极点、极线.
训练2
已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，点 P(x0，y0)，x0＝acos α，y0＝bsin α，则直线
l：xa02x＋yb02y＝1 与椭圆的位置关系是
A.相交
√B.相切
C.相离
D.以上皆有可能
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3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的 方程为
√A.2x＋y－3＝0 B.2x－y－3＝0 C.4x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0
切点弦AB就是点(3，1)关于圆的极线，其方程为(3－1)(x－1)＋1×y＝1展
3.极点和极线的几何定义对应以下两个定理 已知 P(x0，y0)和抛物线 y2＝2px(p>0)、椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)和双曲线 xa22－by22＝1(a>0，b>0)的方程， 定理 1：若点 P(x0，y0)在曲线上，则曲线在点 P 处的切线方程分别是 y0y＝p(x＋x0)，xa02x＋yb02y＝1，xa02x－yb02y＝1.
规律方法
由极点与极线的定义知直线 AB 就是极点 Da，－21关于抛物线 x2＝2y 的 极线，所以极线 AB 的方程是 ax＝y－12，因此直线 AB 过定点 F0，12.
训练4
设直线 l：y＝x＋t(t 为常数)与椭圆 C：2x52＋y92＝1 不相交，过直线 l 上的动 点 P 作椭圆 C 的切线 PM，PN，切点分别为 M，N，连接 MN.证明：直线 MN 恒过定点 Q.
又因为 D 在直线 y＝－12上，所以x12x2＝－12， 即 x1x2＝－2m＝－1，故得 m＝21. 因此直线 AB 过定点0，21.
法二 设 A(x1，y1)，B(x2y2)，Da，－12， 由 y＝x22，求导得 y′＝x， 故点A(x1，y1)处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，
又 x21＝2y1，化简得 y1＋y＝x1x，
知识拓展
类似的，也可得到极点N对应的极线为直线lPM，极点M对应的极线 为直线lPN，因此，我们把△PMN称为自极三角形.(即△PMN的任 一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线) 如图所示，如果我们连接直线NM交圆锥曲线于点E，F，则直线 PE，PF恰好为圆锥曲线的两条切线.
类型突破
类型一 求切线和切点弦方程 类型二 判断直线与圆锥曲线的位置关系 类型三 探究最值问题 类型四 证明直线过定点
精准强化练
类型一 求切线和切点弦方程
例1
过椭圆 C：2x52＋y92＝1 内一点 M(3，2)，作直线 AB 与椭圆交于 A，B，作直 线 CD 与椭圆交于点 C，D，过 A，B 分别作椭圆的切线交于点 P，过 C，D 分别作椭圆的切线交于点 Q，求 PQ 所在的直线方程.
由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2). 则 AB 为点 P 关于椭圆 C 的极线，其方程为x215x＋y91y＝1. 又 M(3，2)在直线 AB 上，所以32x51＋29y1＝1，① 同理32x52＋29y2＝1，② 由①②可得直线 PQ 的方程是32x5＋29y＝1.
类型二 判断直线与圆锥曲线的位置关系
例2
(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列 说法正确的是
√A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 √B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
√D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
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4.在直线 x＝3 上任取一点 P，过点 P 向圆 x2＋(y－2)2＝4 作两条切线，切
点分别为 A，B，则直线 AB 经过一个定点，该定点的坐标为
√A.43，2
B.2，34
C.(－1，2) D.(2，－1)
则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|， 直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD.
法二 显然对于圆C，以A(a，b)作为极点，那么极线就是l：ax＋by－r2＝0， 若极点A在圆C上，则极线l为圆C的切线，故A正确； 若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B正确； 若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，与圆C相交，故C错误； 若极点A在直线l，这时极线恰好为切线，极点为切点，故D正确.
抛物线 C
A.恰有一个公共点 C.有一个或两个公共点
B.恰有两个公共点
√D.没有公共点
点(x0，y0)关于抛物线C的极线是直线l：y0y＝2(x＋x0)， 又因点(x0，y0)在抛物线内，故极线与抛物线相离，因此选D.
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2.已知点 A(－2，3)在抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点 A 的直线与抛
由a2cao2s2α＋b2sbin2 2α＝cos2α＋sin2α＝1， 知点P在椭圆上， 所以点P与直线l是关于椭圆的一对极点、极线，所以直线l与椭圆相切.
类型三 探究最值问题
例3
(2023·武汉调研)已知椭圆 Γ：xa22＋by22＝1(a>b>0)过点 A1， 22，其焦距为 2. (1)求椭圆 Γ 的方程；
设动点 P(x0，y0)，由题意知，点 P 在椭圆 C 外，则点 P 关于椭圆 C 的极 线为直线 MN，其方程为x205x＋y90y＝1.① 当点P在直线l上运动时，可理解为x0取遍一切实数，相应的y0为y0＝x0＋t. 代入①式消去 y0 得，x205x＋（x0＋9 t）y－1＝0.②
②式对一切x0∈R恒成立，
设B(x1，y1)，则椭圆Γ在点B处的切线即为点B关于曲线Γ的极线， 其方程为x21x＋y1y＝1， 令 x＝0，yD＝y11；令 y＝0，xC＝x21，所以 S△OCD＝x11y1， 又点 B 在椭圆的第一象限上，所以 x1>0，y1>0，且x221＋y21＝1，
所以 1＝x221＋y21≥2 x221y12＝ 2x1y1， 即x11y1≥ 2，所以 S△OCD＝x11y1≥ 2， 当且仅当x221＝y21且x221＋y21＝1，即 x1＝ 2y1＝1 时取等号， 所以当 B1， 22时，△OCD 的面积取最小值 2.
物线 C 在第一象限相切于点 B，记抛物线 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜
率为
1 A.2
2 B.3
3 C.4
√4
D.3
因为点A(－2，3)在准线上，所以p＝4，F(2，0)， 又直线AB与抛物线相切，故直线BF即为点A关于C的极线， 其方程为3y＝4(x－2)， 因此 kBF＝34.故选 D.
法一
圆心 C(0，0)到直线 l 的距离 d＝
r2 a2＋b2.
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2>|r|，
则直线l与圆C相离，故B正确； 若点 A(a，b)在圆 C 外，则 a2＋b2>r2，所以 d＝ a2r＋2 b2<|r|， 则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，
规律方法
设椭圆上的 B 点坐标为(x1，y1)，可得出在点 B 处的切线方程为x21x＋y1y ＝1，从而确定 C，D 两点的坐标，写出△OCD 面积的表达式.
训练3
(2023·金华质检)已知椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1，过直线 l：x＝4 上任意一 点 Q，作椭圆 C 的两条切线，切点分别为 A，B，则原点到直线 AB 距离 的最大值为____1____.
由题设，切点弦AB是点Q关于C的极线，设点Q的坐标为(4，y0)， 则可知直线AB的方程为 44x＋y30y＝1，即 x＋y30y＝1， 显然直线AB过焦点(1，0)， 所以原点到直线AB的距离的最大值为1.
类型四 证明直线过定点
例4
(2023·广州质检改编)已知曲线 C：y＝12x2，D 为直线 y＝－12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B，证明直线 AB 过定点.
知识拓展
2.极点和极线的几何定义(以椭圆为例说明) 如图(1)所示，点P在椭圆上，极线l是以点P为切点的切线； 如图(2)所示，点P在椭圆外，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引 切线的切点弦所在直线. 如图(3)所示，点P在椭圆内，极线l与 椭圆相离，极线l为经过点P的弦在两 端处切线交点的轨迹，且极线l与以P 为中点的弦所在直线平行.
规律方法
本例利用点P关于椭圆C的极线为AB，点Q的极线为CD，求直线PQ的 方程，熟练掌握并应用极点、极线的定理是解题的关键.
训练1
过点P(－2，3)作圆C：x2＋(y－2)2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线 AB的方程为____2_x_－__y_＋__6_＝__0______.
切点弦AB所在的直线就是点(－2，3)关于圆C的极线，其方程为－2x＋(3 －2)(y－2)＝4，即2x－y＋6＝0.
同理可得点B(x2，y2)处的切线方程为y2＋y＝x2x.
由于点A，B处的切线都过点D， 因此 y1－12＝ax1，y2－21＝ax2， 以上两个式子说明，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线 y－12＝ax 上， 所以直线 AB 的方程为 y－12＝ax，
即 y＝ax＋12.因此直线 AB 过定点0，21.
依题意得：椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)， 由椭圆定义知：2a＝|AF1|＋|AF2|， 所以 a＝ 2，c＝1，∴b＝1， 所以椭圆 Γ 的方程为x22＋y2＝1.
(2)如图，点B为Γ在第一象限中的任意一点，过B作Γ的 切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求 △OCD面积的最小值.
变形可得 x02x5＋9y＋9t y－1＝0，对一切 x0∈R 恒成立.
∴2x5＋9y＝0，解得x＝－2t5，
9t y－1＝0，
y＝9t .
所以直线 MN 恒过定点 Q－2t5，9t .
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【精准强化练】
一、基本技能练
1.对于抛物线 C：y2＝4x，若点(x0，y0)满足 y20<4x0，则直线 l：y0y＝2(x＋x0)与
法一 由题意知直线AB的斜率存在，设其为k，则直线AB的方程为y＝kx＋ m，A(x1，y1), B(x2，y2)， 代入曲线 C：y＝x22，化简得 x2－2kx－2m＝0， 则x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m.
由 y＝x22，求导得 y′＝x，
故点 A(x1，y1)处的切线方程为 y－y1＝x1(x－x1)， 又 y1＝x221，化简得 y＝x1x－x221， 同理可得点 B(x2，y2)处的切线方程为 y＝x2x－x222. 由yy＝ ＝xx12xx－ －xx222212， ，解得xy＝＝xx112x＋22，x2， 即点 D 的坐标为x1＋2 x2，x12x2.