2019届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学(理)试卷(解析版)

陕西省汉中市2019届高三第一次检测考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先写出A的补集，再根据交集运算求解即可.
【详解】因为，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于容易题.
2.在区间内随机取一个实数，则满足的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数不等式可解得，由几何概型的概率公式即可求解.
【详解】因为，所以，根据几何概型的概率公式知：，故选B.
【点睛】本题主要考查了指数不等式，几何概型的概率，属于中档题.
3.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，故，即，故渐近线方程为.
【考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.
4.命题：复数对应的点在第二象限；命题：，使得，则下列命题中为真命题
的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断p,q的真假，根据含逻辑联结词且或非命题的真假判定即可.
【详解】因为对应的点在第一象限，所以命题p是假命题，作出与的图象可知，存在唯一交点，所以命题q是真命题.
所以是真命题，是真命题，
故选C.
【点睛】本题主要考查了命题，复合命题真假的判定，属于中档题.
5.函数的部分图象如图所示，则向量与的数量积为（）
A. B. 5 C. 2 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据解析式可求出点A,B的坐标，写出向量与，计算即可.
【详解】根据图象，由可得，由，可得，
所以,=,=,
所以=6
故选D.
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质，数量积的坐标运算，属于中档题.
6.若满足约束条件，则的最大值为（）
A. 4
B. 8
C. 2
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
为可行域内的点到原点距离的平方，作出可行域，数形结合即可求解.
【详解】作出可行域如图：
由解得，显然最大，故选B.
【点睛】本题主要考查了线性规划有关的问题，涉及数形结合的思想，属于中档题.
7.已知，（其中为自然对数的底数），函数，则等于（）
A. 4
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据定积分计算，再利用分段函数计算即可求解.
【详解】因为, 所以，
又，所以，
所以,故选A.
【点睛】本题主要考查了定积分的计算，分段函数求值，属于中档题.
8.我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】程序执行第一次后，，执行第二次后，，，执行第3次后，，，执行第4次后，，跳出循环，输出，程序结束，故选B.
【点睛】本题主要考查了循环结构的框图，属于中档题.
9.已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：①若，则
；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确的命题是（）
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面、面面位置关系逐项分析即可.
【详解】①因为，，所以，由可知，故正确，②，，可能在内或与平行，推不出，故错误，③，可推出,又，所以，故正确, ④若相交交线为m,则，
推不出，故错误.
综上可知选A.
【点睛】本题主要考查了线线、线面、面面平行垂直的判定与性质，属于中档题.
10.已知函数，则下列结论不正确的是（）
A. 最大值为2
B. 把函数的图象向右平移个单位长度就得到的图像
C. 最小正周期为
D. 单调递增区间是，
【答案】B
【解析】
【分析】
化简函数解析式得，根据正弦型函数性质即可求解.
【详解】因为，根据正弦型函数性质可知，最大值为2，最小正周期为，
把的图象向右平移个单位长度可得，错误，令解得，故单调递增区间是，正确，综上选B.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.
11.在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆
的周长，则面积的最大值为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角成等差数列可知,利用直线平分圆的周长可知直线过圆心，可知，利用三角形面积公式及均值不等式即可求出最值.
【详解】因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，
三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D.
【点睛】本题主要考查了等差数列，三角形面积公式，均值不等式，属于中档题.
12.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间
上所有零点之和为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数满足，可知其周期为，一条对称轴为，可作出函数在上的图象，再作出在上的图象，根据图象知两函数关于成中心对称，所以四个零点关于成中心对称，所以零点之和为.
【详解】根据奇函数满足，可知其周期为，一条对称轴为,可由向右平
移个单位得到，在同一坐标系作出与的图象如图：
由图象可知与都关于成中心对称，所以四个零点也关于成中心对称，设从小到大四个零点为，则，所以四个零点之和为，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图像，函数的周期性和对称性，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，若，则实数________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据垂直向量的充要条件得，根据数量积坐标运算求得m即可.
【详解】因为，所以，解得，故填.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，属于中档题.
14.在中，若，，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据半角公式可得，再利用余弦定理即可求出.
【详解】因为，所以，
由余弦定理知，
所以，故填.
【点睛】本题主要考查了余弦的半角公式，余弦定理，属于中档题.
15.展开式中的常数项为________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，只需求的常数项和含的项即可得出的常数项.
【详解】因为的通项公式，令，，
令，所以的常数项为，
故填.
【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，求二项展开式的特定项，属于中档题. 16.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由于圆C的方程为（x-4）2+y2=1，由题意可知，只需（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可。

解：∵圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：
（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx-2的距离为d，
即3k2≤4k，∴0≤k≤，故可知参数k的最大值为
考点：直线与圆的位置关系
点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
17.在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）已知公差为的等差数列中，，且成等比数列，记，求数列
的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得，再根据三角函数恒等变换即可求出，
又为三角形的内角，可得（2）先求出等差数列，再根据裂项相消法求的前n项和.
【详解】（1）由正弦定理可得，
从而可得，即
又为三角形的内角，所以，于是
又为三角形的内角，所以.
（2）因为，且成等比数列，所以，且
所以，且，解得
所以，所以
所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，裂项相消法求数列的和，属于中档题.
18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级
抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表一：男生
表二：女生
（1）求,的值；
（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望； （3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）没有.
【解析】
【分析】
（1）设从高一年级男生中抽出m人，利用分层抽样的性质列方程就出m,从而能求出x,y.（2）表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，取出3人中有女生的人数可能为0,1,2，利用组合求其概率即可（3）根据列联表直接计算即可根据结果得出结论.
【详解】（1）设从高一年级男生中抽取人，则
解得，则从女生中抽取20人
所以，.
（2）表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则的所有可能的取值为0,1,2.
，，
.则随机变量的概率分布列为：
所以数学期望为.
（3）列联表如下：
，
因为，
所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
【点睛】本题主要考查了分层抽样，古典概型，相关性检验，属于中档题.
19.如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，分别为中点，
且，.
（1）平面；
（2）若为线段上一点，且平面，求的值；
（3）求二面角的大小.
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）连结，利用勾股定理逆定理可证明，又易证，可证明平面（2）连接，根据，平面可得，进而，利用为中点可得结论（3）取的中点连结，由（1）知，且，，建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，计算其夹角即可.
【详解】（1）证明：连结
，为的中点
，且，
又，是中点，，
由已知，
，且是平面内两条相交直线
平面.
（2）连接，由已知底面为直角梯形，，
则四边形为平行四边形
所以
因为平面，平面，平面平面，
所以
所以
因为为中点，所以为中点
所以，又因为点为的中点.
所以.
（3）取的中点连结，由（1）知，且，，如图，建立空间直角坐标系.
因为
所以，，
，
由于平面，所以平面的法向量
设平面的法向量，则有
即
令，则，，即
由题知二面角为锐二面角
所以二面角的大小为.
【点睛】本题主要考查了线面垂直、平行的判定和性质，利用空
间向量计算二面角，属于中档题.
20.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线焦点可得,又根据离心率可求,利用，即可写出椭圆的方程
（2）由题意可设直线的方程为，联立方程组，消元得一元二次方程，写出，利用根与系数的关系可求存在m.
【详解】解：（1）抛物线的焦点是
，，又椭圆的离心率为，即
，，则
故椭圆的方程为.
（2）由题意得直线的方程为
由消去得.
由，解得.
又，.
设，，则，.
.
，，
若存在使以线段为直径的圆经过点，则必有，即，
解得.又，.
即存在使以线段为直径的圆经过点.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，直线和椭圆相交的问题，向量的运算，属于难题.
21.已知函数.
（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；
（2）讨论函数的单调性.
（3）若对于任意的，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据是函数的一个极值点，可得，即可求出（2）根据的导数，讨论当时，
时，时，由导数大于0得增区间，导数小于0得减区间（3）根据的增减性，可知任意的
的最大值为，不等式恒成立可转化为，构造函数，求其最大值即可求出m的取值范围.
【详解】（1）
因为是函数的一个极值点，所以，解得. （2）因为的定义域是，
①当时，列表
在，单调递增；在单调递减.
②当时，，在单调递增.
③当时，列表
在，单调递增；在单调递减. （3）由（2）可知当时，在单调递增，
所以在单调递增.
所以对于任意的的最大值为，
要使不等式在上恒成立，须，
记，因为，
所以在上递增，的最大值为，所以.
故的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了函数的极值点，利用导数求函数的单调区间，最值，构造函数，恒成立问题，属于难题.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设和交点为，求的面积.
【答案】（1）：，：；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程转化为普通方程和直角坐标方程（2）利用方程组求出交点坐标，进一步求出三角形面积.
【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），即
平方相加得的普通方程为：（或）
，
代入直线的极坐标方程
得的直角坐标方程.
（2）由（1）知是以为圆心，为2半径的圆，且直线过圆心
，又由于原点到直线的距离为
则的面积为.
【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标方程和普通直角坐标方程的转化，三角形的面积公式，属于中档题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，.
（1）若，解不等式；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，两边平方即可转化为不含绝对值的不等式求解（2）原不等式可以转化为
对任意恒成立，即,利用
即可求解.
【详解】（1）当时
原不等式可化为
两端平方得化简得
解得
则不等式的解集为.
（2）
对任意恒成立，即
对任意恒成立，即
又因为
则，解得
则实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值，属于中档题.。