成都外国语学校高高三第一次月考理科数学试题 (2)

成都外国语学校高2013级高三第一次月考试题
数 学 (理科) 试 题
试题分第I 卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120 分钟。

注意事项： 1.答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3.答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；
5.考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第I 卷
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1.若集合 A = {－1,1}，B = {0,2}，则集合 {z | z = x + y ，x ∈A ，y ∈B } 的子集的个数为 (A) 8 (B) 7 (C) 3 (D) 2
2.下列命题正确的是 (A) 若 a ·b = a ·c ，则 b = c (B) a ⊥b 的充要条件是 a ·b = 0 (C) 若 a 与 b 的夹角是锐角的必要不充分条件是 a ·b > 0 (D) a //b 的充要条件是 a = λb
3. 已知三条不重合的直线 m 、n 、l ，两个不重合的平面 α、β，有下列命题： ① 若 m ∥n ，n ⊂ α，则 m ∥α ② 若 l ⊥α，m ⊥β，且 l ∥m ，则 α∥β
③ 若 m ⊂ α，n ⊂ α，m //β，n ∥β，则 α∥β ④ 若 α⊥β，α∩β = m ，n ⊂ β，n ⊥m ，则 n ⊥α 其中正确命题的个数为 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
4、如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 2
5、如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 (A) 16 (B) 24 (C) 34 (D) 48
6如果数列 a 1，a 2a 1 ，a 3a 2 ，…，a n
a n －1
，…是首项为1，公比 － 2
的等比数列，则 a 5等于 (A) 32 (B) 64 (C) －32 (D) －64
7、某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S 的值是 (A)－3 (B) －12
(C) 13
(D)2
8. 曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2－2x = 0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为
(A) ρ = 2sin θ (B) ρ = cos θ (C) ρ 2 = 2cos θ (D) ρ = 2cos θ
9. 已知 f (x ) = a x －
2，g (x ) = log a | x |(a > 0，a ≠1)，若 f (4)·g (－4) < 0，则y = f (x )，y = g (x )在同一坐标系内的大致图象是
10. 在三棱锥 P －ABC 中，若 O 是底面ABC 内部一点，满足 OA → + 2OB → + 4OC →
= 0，则
V P －AOB
V P －AOC
= (A) 32
(B) 5
(C) 2
(D) 53
11. .设函数 f (x ) 是定义在 (0,+∞) 的非负可导的函数，且满足 x f ’(x ) + f (x )≤0，对任意的正数 a 、b ，若 a < b ，则必有 (A) af (b )≤bf (a ) (B) bf (a )≤af (b ) (C) af (a )≤f (b ) (D) bf (b )≤f (a )
12. 已知函数 f (x ) = e x + x ，对于曲线 y = f (x ) 上横坐标成等差数列的三个点 A 、B 、C ，给出以下判断：
① △ABC 一定是钝角三角形 ② △ABC 可能是直角三角形 ③ △ABC 可能是等腰三角形 ④ △ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 (A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④
-1o x y
112-1o x y 11
2-1o x y 112
C -1o x y 112
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4题，每小题4，共16分) 13.设 a 、b ∈R ，a + b i =
11－7i
1－2i
(i 为虚数单位)，则 a + b = = _______. 14.已知 cos (α + β ) = 13 ，cos (α－β ) = 1
2
，则 log
5
(tan α·tan β) = _________.
15.若实数x 、y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0
y ≥x y ≥－x + b
，且 z = 2x + y 的最小值为4，则实数 b 的值为______
16. 已知定义在 [1,+∞) 上的函数 f (x ) = ⎩
⎨
⎧
4－8 | x －3
2
|，1≤x ≤2
12 f ( x
2
)，x > 2 ，给出下列结论：
① 函数 f (x ) 的值域为 [0,4]；
② 关于 x 的方程 f (x ) = ( 1
2
) n (n ∈N *)有 2n + 4个不相等的实根；
③ 当 [2 n －
1,2 n ]，n ∈N * 时，函数 f (x ) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 S ，则 S = 2； ④ 存在 x 0∈[1,8]，使得不等式 x 0 f (x 0) > 6成立。

其中你认为正确的所有结论的序号为____.
三.解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17、(本题满分12分)已知函数 f (x ) = 2cos 2
ωx
2 + cos (ωx + π
3
)，(其中 ω > 0)的最小正周期为 π
(Ⅰ) 求 ω 的值，并求函数 f (x ) 的单调递减区间； (Ⅱ) 在锐角 △ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，若 f (A ) = －1
2 ，c = 3，△ABC 的面积为 6
3 ，
求 △ABC 的外接圆面积。

18、(本小题满分12分)
空气质量指数PM 2.5(单位：μg /m 3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
某市2012年8月8日——9月6日(30天)对空气质量指数 PM 2.5 进行监测，获得数据后得到如下条形图：
(I) 估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；
(II) 在上述 30 个监测数据中任取 2 个，设 X 为空气质量类别为优的天数，求 X 的分布列和数学期望。

1
19.(本小题满分12分) 如图，已知正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1各棱长都为 a ，P 为线段 A 1B 上的动点.
(Ⅰ) 试确定 A 1P : PB 的值，使得 PC ⊥AB
(Ⅱ) 若 A 1P : PB = 2 : 3，求二面角 P －AC －B 的大小.
20.(本小题满分12分)函数 f (x ) = (x + 1) 2－ln (x + 1) 2 (1) 求函数 f (x ) 的单调区间；
(2) 当 x ∈ [ 1
e
－1,e －1] 时，不等式 f (x ) < m 恒成立，求实数 m 的取
值范围；
(3) 若关于 x 的方程 f (x ) = x 2 + x + a 在 [0,2] 上恰有两个零点，求实数 a 的取值范围。

21、(本小题满分12分)
已知椭圆C ：x 2a 2 + y 2b 2 = 1(a > b > 0)的右焦点为F (1,0)，且点 (－1,2
2 ) 在椭圆上.
(I) 求椭圆 C 的标准方程；
(II) 已知动直线 l 过点 F ，且与椭圆 C 交于 A 、B 两点，试问 x 轴上是否存在定点 Q ，使得 QA → ·QB →
= －716 恒成立?若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。

22.己知函数 f (x ) = log 3
3 x 1－x
，M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2) 是 f (x ) 图像点的两点，横坐标为 12 的
点 P 是 M 、N 的中点。

(1) 求证：y 1 + y 2 的定值；
(2)
若 S n
= f (1n ) + f (2
n ) + … + f (n －1n
)(n ∈N *
，n ≥2)，a n
= ⎩⎨⎧ 1
6，n = 1 14 (S n
+ 1) (S
n +1 + 1)
，n ≥2
(n ∈N *)，T n 为数列 {a n } 前 n 项和，若 T n < m (S n +1 + 1) 对一切 n ∈N * 都成立，试求实数
m 的取值范围
(3) 在 (2) 的条件下，设 b n = 1
4 (S n +1 + 1) (S n +2 + 1) + 1
，B n 为数列 {b n } 前 n 项和，证明：
B n < 17
52
数学试题(理科)参考答案： 一、选择题：
二、填空题：
13. 8 14. －2 15. 3 16. ① ③ 三、解答题：
17. 解：(I) f (x ) = 1 + cos ω x + 12 cos ω x －32 sin ω x = 1 + 32 cos ω x －3
2 sin ω x
= 1－ 3 sin (ω x －π
3 )
∴ T =
2π
ω
= π ⇒ ω = 2
由 2k π－π2 ≤2x －π3 ≤2k π + π2 ⇒ k π－π
12 ≤x ≤k π + 5π12
∴ f (x ) 的单调递减区间为 [k π－
π
12
,k π +
5π
12
]（k ∈ Z ） (II) f (A ) = 1－ 3 sin (2A －π3 ) = －12 ⇒ sin (2A －π
3 ) = 32
在锐角△ABC 中，0 < A < π2 ⇒ －π3 < 2A －π3 < 2π
3
∴ A = π
3
又 S = 12 bc sin A = 32 b sin π3 = 33
4 b = 6 3 ⇒ b = 8
∴ a 2 = b 2 + c 2－2bc cos A = 64 + 9－2×8×3 cos π
3 = 49 ⇒ a = 7
由
a sin A = 2R ⇒ △ABC 的外接圆半径 R = a 2sin A = 73
= 733
则 △ABC 的外接圆面积等于
49π
3
18.【解析】(Ⅰ)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 16 天, 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 1630 = 8
15
(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,则
P (X = 0) = C 222C 302 = 231435 ，P (X = 1) = C 81C 221C 302 = 176435 ，P (X = 2) = C 82C 302 = 28
435
∴ X
∴ E (X ) = 0×231435 + 1×176435 + 2×28435 = 232
435
19.【法一】(Ⅰ)当 PC ⊥AB 时，作 P 在 AB 上的射影 D . 连结 CD .则 AB ⊥平面 PCD ， ∴ AB ⊥CD ，∴ D 是 AB 的中点，
又 PD //AA 1，∴ P 也是 A 1B 的中点，即 A 1P :PB = 1
反之当 A 1P :PB = 1时，取 AB 的中点 D ’，连接 CD ’、 PD ’. ∵ △ABC 为正三角形，∴ CD ’⊥AB 由于 P 为 A 1B 的中点时，PD ’//A 1A ∵ A 1A ⊥平面 ABC ，
∴ PD ’⊥平面 ABC ，∴ PC ⊥AB
(Ⅱ)当 A 1P :PB = 2:3时，作 P 在 AB 上的射影 D . 则 PD ⊥底面 ABC . 作 D 在 AC 上的射影 E ，连结 PE ，则 PE ⊥AC ∴ ∠DEP 为二面角 P －AC －B 的平面角. 又∵ PD //AA 1，∴ BD DA = BP P A 1 = 32 ，∴ AD = 25 a .∴ DE = AD ·sin 60︒ = 35
a ， 又∵
PD AA 1 = 35 ，∴ PD = 35 a .∴ tan ∠PED = PD
DE
= 3 ， ∴ P －AC －B 的大小为 ∠PED = 60︒
【法二】以 A 为原点， AB 为 x 轴，过 A 点与 AB 垂直的直线为 y 轴， AA 1为 z 轴，建立空间直角坐标系 A －xyz ，如图所示，设 P (x ,0,z )，则 B (a ,0,0)、 A 1(0,0,a )、 C (a 2 ,3a
2 ,0).
(Ⅰ)由 CP → ·AB →
= 0得 (x －a 2 ,－3a 2 ,z )·(a ,0,0) = 0，即 (x －a 2 )·a = 0，
∴ x = 1
2
a ，即 P 为 A 1B 的中点，也即 A 1P :PB = 1时，PC ⊥AB
(Ⅱ)当 A 1P :PB = 2:3时， P 点的坐标是 (2a 5 ,0,3a
5 ). 取 m = (3,－ 3 ,－2).
则 m ·AP → = (3,－ 3 ,－2)·(2a 5 ,0,3a 5 ) = 0，m ·AC →
= (3,－ 3 ,－2)·(a 2 ,3a 2 ,0) = 0.
∴ m 是平面 P AC 的一个法向量.
又平面 ABC 的一个法向量为 n = (0,0,1). cos <m ,n > = m ·n | m |·| n |
= 1
2
∴ 二面角 P －AC －B 的大小是 60︒
20. 解析：函数的定义域为 (－∞,－1)∪(1,+∞) f ’(x ) = 2(1 + x )－21 + x = 2x (x + 1)
1 + x
(I)令 f ’(x ) > 0 ⇒ －2 < x < －1 或 x > 0
令 f ’(x ) > 0 ⇒ －1 < x < 0或x < －2
∴ f (x ) 的单调增区间为 (－2,－1) 和 (0,+∞)；单调减区间 (－1,0) 和 (－∞,－2) (II) 由 (I) 知，f (x ) 在 [1
e －1,0] 上单调递减，在 [0,e －1]上单调递增
又 f (1e －1) = 1e 2 + 2，f (e －1) = e 2－2，且 e 2－2 > 1
e
2 + 2
∴ 当 x ∈[1
e
－1,e －1] 时，f (x ) 的最大值为 e 2－2
因此可得：f (x ) < m 恒成立时，m > f (x )max = e 2－2
(III) 原题可转化为：方程 a = (1 + x )－ln (1 + x ) 2 在区间 [0,2] 上恰好有两个相异的实根。

令g (x ) = (1 + x )－ln (1 + x ) 2，则 g ’(x ) = 1－2
1 + x
令g ’(x ) = 0，解得 x = 1
当 x ∈(0,1) 时，g ’(x ) < 0，∴ g (x ) 在 (0,1) 单调递减 当 x ∈(1,2) 时，g ’(x ) > 0，∴ g (x ) 在 (1,2) 单调递增. ∵ g (x ) 在 x = 0 和 x = 2 点处连续
又∵g (0) = 1，g (1) = 2－ln 4，g (2) = 3－ln 9 且 2－ln 4 < 3－ln 9 < 1，
∴ g (x ) 的最大值是 1，g (x ) 的最小值是 2－ln 4
所以在区间 [0,2] 上原方程恰有两个相异的实根时实数a 的取值范围是：(2－ln 4,3－ln 9]
21. 解：(Ⅰ)由题意知：c = 1 根据椭圆的定义得：2a = (－1－1) 2 + (
22) 2 + 2
2
，即 a = 2 ∴ b 2 = 2－1 = 1
∴ 椭圆 C 的标准方程为 x 2
2
+ y 2 = 1
(Ⅱ)假设在 x 轴上存在点 Q (m ,0)，使得 QA → ·QB →
= －716 恒成立.
当直线 l 的斜率为0时， A ( 2 ,0),B (－ 2 ,0). 则 ( 2 －m ,0)·(－ 2 －m ,0) = －
7
16 . 解得 m = ±5
4 . ①
当直线 l 的斜率不存在时，A (1,22 ),B (1,－22
). 则 (1－m ,
22 )·(1－m ,－22 ) = －716 ⇒ (1－m ) 2 = 116 ⇒ m = 54 或 m = 3
4
② 由 ①、② 得 m = 5
4
下面证明 m = 54 时，QA → ·QB →
= －716 恒成立.
显然 直线 l 的斜率为0时，QA → ·QB →
= －716
当直线 l 的斜率不为0时，设直线 l 的方程为：x = ty + 1，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
由 ⎩⎨⎧ x 2
2 + y 2 = 1 x = ty + 1
可得：(t 2 + 2) y 2 + 2ty －1 = 0. 显然 △ > 0.
⎩
⎨⎧ y 1 + y 2 = －2t
t 2
+ 2
y 1y 2 = －1
t 2
+ 2
∵ x 1 = ty 1 + 1， x 2 = ty 2 + 1，
∴ (x 1－54 ,y 1)·(x 2－54 ,y 2) = (ty 1－14 )(ty 2－14 ) + y 1y 2 = (t 2 + 1)y 1y 2－14 t (y 1 + y 2) + 1
16
=
－(t 2 + 1)
1t 2 + 2 + 14 t ·2t t 2 + 2 + 116 = －2t 2－2 + t 22(t 2 + 2) + 116 = －7
16
综上所述：在 x 轴上存在点 Q (54 ,0)，使得 QA → ·QB →
= －716 恒成立.
22. (1)证：由P 是 MN 的中点，有x 1 + x 2 = 1
∴ y 1 + y 2 = f (x 1) + f (x 2) = log 3 (3x 11－x 1 ) + log 3 (3x 21－x 2 ) = log 3 (3x 11－x 1 ·3x 2
1－x 2 )
= log 3
3x 1x 2(1－x 1)(1－x 2) = log 3 3x 1x 21－(x 1 + x 2) + x 1x 2 = log 3 3x 1x 2
1－1 + x 1x 2
= 1
(2) 由 (1) 知当 x 1 + x 2 = 1时，y 1 + y 2 = f (x 1) + f (x 2) = 1 S n = f ( 1n ) + f ( 2
n ) + … + f (n －1n )
① S n = f (
n －1n ) + … + f ( 2n ) + f ( 1
n
)
②
① + ② 得2S n = [f ( 1n ) + f ( n －1n )] + [f ( 2n ) + f (n －2n ) + … + [f (n －1n ) + f ( 1
n )]
= 1 + 1 + … + 1
n －1个
= n －1
∴ S n =
n －1
2
当 n ≥2时，a n =
1
4 (S n + 1) (S n +1 + 1)
=
14·n + 12·
n + 22
= 1n + 1 －1
n + 2
又当n = 1 时，a 1 = 16 = 12 －1
3
∴ a n =
1n + 1 －1n + 2
∴ T n = (12 －13 ) + (13 －14 ) + … + (1n + 1 －1n + 2 ) = n
2(n + 2)
∵ T n < m (S n +1 + 1)对一切n ∈N *都成立 ∴ m > T n S n +1 + 1 = n
(n + 2) 2
恒成立 又
n
(n + 2) 2
=
1n + 4n
+ 4
≤14 + 4 = 1
8 ，当且仅当n = 2时取" = "
∴ m > 1
8
∴ m 的取值范围是(1
8 ,+ )
(3) 因为 S n +1 = n 2 ，S n +2 = n + 1
2
∴ b n =
14(S n +1 + 1)(S n +2 + 1) + 1 = 1(n + 2)(n + 3) + 1 < 1n + 2 －1
n + 3
B n = a 1 + (14 －15 ) + (15 －16 ) + … + (1n + 2 －1n + 3 ) = 113 + 14 －1n + 3 < 17
52。