2018版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2第1课时指数函数的图象及性质学案新人教

第1课时指数函数的图象及性质
学习目标 1. 了解指数函数的概念（易错点）2 会画出指数函数图象（重点）3 掌握并
能应用指数函数的性质（重、难点）•
|课前預习自4学习.秩淀基咕预习教材P54—P56，完成下面问题：
知识点1指数函数的概念
一般地，函数y= a x（a>0,且1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
R.
【预习评价】（正确的打“V”，错误的打“ X”）
（1）函数y=—2x是指数函数.（）
（2）函数y= 2x+1是指数函数.（）
（3）函数y= （—3）x是指数函数.（）
提示（1）X 因为指数幕2x的系数为一1,所以函数y = —2x不是指数函数；
（2）X 因为指数不是x,所以函数y = 2x+1不是指数函数；
（3）X 因为底数小于0,所以函数y = （—3）x不是指数函数.
知识点2指数函数的图象及性质
（1）函数y= 2—x的图象是（）
X -L 1
⑵函数f (x) = a —2(a>0且1)的图象恒过定点 _______________ .
解析(1) y= 2—x= '2)是(—8,+^ )上的单减函数，故选 B.
⑵令x+ 1 = 0,贝U x = —1, f ( —1) = a0—2=—1，贝U f(x)的图象恒过点(一1, —1). 答案(1)B (2)( — 1 , —1)
裸堂互动
题型一指数函数的概念及应用
【例1】(1)给出下列函数：
①y=2・3X;②y = 3X+1:③=3X;④y= x3:⑤y = ( —2)x.其中，指数函数的个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
⑵已知函数f (x )是指数函数，且
解析(1)①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中， y = 3x +1的指数是x +1,不
是自变量x ，故②不是指数函数；③中，
3x 的系数是1,幕的指数是自变量 x ，且只有3x —
项，故③是指数函数；④中， y = x 3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中， 底数—2V 0,不是指数函数.
⑵设 f (x ) = a x ( a >0 且 a ^ 1)，由
3) 3 §
x
2 = a 2 = 5 2，故 a = 5,故 f (x ) = 5 ,
所以
3
f (3) = 5 = 125.
答案(1)B
(2)125
该函数不是指数函数.
【训练1】 若函数y = a 2(2 — a )是指数函数，贝U ( )
A. a = 1 或—1 C. a = — 1
B. a = 1
D. a >0 且 a *1
解析 a
=1,
由条件知2 — a >0,
2 — a *1,
解得a = — 1.
答案 C
则 f (3)=
题型二指数函数图象的应用
【例2】(1)函数f (x ) = 2a x +1-3(a >0,且a * 1)的图象恒过的定点是 __________________
(2)
已知函数y = 3x 的图象，怎样变换得到 y = 1 x +1 + 2的
图象？并画出相应图象.
2丿
(1) 解析 因为y = a x 的图象过定点(0,1)，所以令x + 1 = 0,即x =- 1,则f (x ) = - 1, 故f (x ) = 2a x +1-3的图象过定点(—1,- 1).
答案(—1,- 1)
⑵解 y = g |x+1+ 2 = 3-(x +1) + 2.
作函数y = 3x 的图象关于y 轴的对称图象得函数 y = 3-x 的图象，再向左平移1个单位长
度就得到函数y = 3-(x +1)的图象，最后再向上平移
2个单位长度就得到函数
y = 3-(x +1) + 2 =
扪+ 2的图象，如图所示.
规律方法处理函数图象问题的策略
(1) 抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时， 只要
令指数为0,求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点.
(2) 巧用图象变换：函数图象的平移变换
(左右平移、上下平移).
(3) 利用函数的性质：奇偶性与单调性.
2x , x >0,
⑵ 函数f (x ) = a x -b 的图象如图所示，其中
a ,
b 为常数，则下列结论正确的是
A. a >1, b <0
B. a >1, b >0
C. 0<a <1, b >0
D. 0<a <1, b <0
【训练2】
解析(1) y= 2|x|= 1 x故选B.
酝丿,x<0,
(2) 从曲线的变化趋势，可以得到函数
f (x )为减函数，从而有 0<a <1 ；从曲线位置看,
是由函数y = a x (0< a <1)的图象向左平移| — b |个单位长度得到，所以一 b >0,即b <0.
答案(1)B
(2)D
题型三 指数型函数的定义域、值域问题
____ x 1
【例3】(1)函数f (x ) = 1 — 2 + ---------- 的定义域为(
)
寸x
+ 3 A. ( — 3,0]
B. ( — 3,1]
C. ( —s,— 3) U ( — 3,0]
D. ( —s,— 3) U ( — 3,1]
⑵函数 f (x ) = |'1)— 1, x € [ — 1,2]的值域为 ___________ .
(3) 函数y = 4x + 2x +1+ 1的值域为 ________ .
1 — 2x > 0,
解析(1)由题意得自变量x 应满足* 解得—3<x < 0.
x + 3>0,
(3) 函数的定义域为 R,又 y = 4x + 2x + + 1 = (2x ) + 2・2x + 1 = (2 x + 1)，易知 2x >0,故 y >1,即函
数的值域为(1 ,+^).
答案(1)A
(2) [I -9, 2丨(3)(1 ,+口
规律方法指数型函数y = a f(x)定义域、值域的求法
(1) 定义域：函数y = a f(x)的定义域与y = f (x )的定义域相同. (2) 值域：①换元,t = f (x ). ② 求t = f (x )的定义域为x € D. ③ 求t = f (x )的值域为t € M
④ 利用y = a t 的单调性求y = a t , t € M 的值域.
1
【训练3】 求函数y = 5
的定义域和值域.
>/2x - 4
解 由2x - 4>0,得x >2，故函数的定义域为{x |x >2},
1 1
因为 ------ >0,所以y = 5 ------------ >1,故函数的值域为{y | y >1}.
目 2x — 4 2x — 4
课堂反馈
自[反遨啖测赵;
课堂达标
1.
若函数f (x )是指数函数，且f (2) = 2，则f (x )=(
)
⑵―代x w 2」
1< 2,「.值域为 8 - 9
答案 A
3.
已知函数f (x ) = 2x ，则f (1 — x )的图象为(
解析f (1 — x ) = 21 — x = 1 x — 1是减函数，故排除选项 C, D,又当x = 0时，1 0—1 = 2,
排除A ,故选B .
答案 B
4. __________________________________________ 函数f (x ) = 2 • a x — 1 + 1的图象恒过定点 ______________________________________________________ .
解析 令x — 1 = 0,得x = 1, f (1) = 2X 1 + 1 = 3，所以f (x )的图象恒过定点(1,3). 答案(1,3)
5. 函数f (x ) = a x — 1( a >0,且a ^ 1)的定义域是(一® 0］，求实数a 的取值范围. 解 由题意，当x W0时，a x > 1,所以0<a <1，故实数a 的取值范围是0<a <1.
课堂小结
1.
判断一个函数是不是指数函数， 关键是看解析式是否符合 y =
a x ( a >0且a ^ 1)这一结
解析 由题意，设 f (x ) = a ( a >0 且 1)，则由 f (2) = a 2= 2,得 a =・ 2,所以 f (x ) =(2)x . 答案
2.当 x € [ — 2,2)时，y = 3—x — 1 的值域是( )
A.
8 9, 8
B .
8 —
9, 8
"1 D 话，9
解析 y = 3_x — 1 , x € [ — 2,2)上是减函数，••• —2 2
3 — 1<y W3 — 1, 即一9<y w 8.
构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.
2. 指数函数y= a x(a>0且a* 1)的性质分底数a>1,0< a<1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.
3. 由于指数函数y = a x( a>0且a* 1)的定义域为R,即x € R,所以函数y = a f(x)(a>0且a* 1)与函数f (x)的定义域相同.
4. 求函数y = a f(x)(a>0且a* 1)的值域的关键是求f(x)的值域.。