江西省师大附中、鹰潭一中高三数学下学期4月联考试题 文

江西省师大附中、鹰潭一中2015届高三下学期4月联考试题（数学文）
第Ⅰ卷
选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A ＝{x|x2－2x －3<0}，B ＝{y|y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A∩B ＝（ ） A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4)
2．设z ＝i i
-310，则z 的共轭复数为（ ）
A ．－1＋3i
B ．－1－3i
C ．1＋3i
D ．1－3i
3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x2＋y2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1””的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)．若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m ＝（ ） A ．2 3 B ． 3 C ．0 D ．－ 3 5．函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是（ ）
A ．f(x)＝x ＋sinx
B ．f(x)＝cosx
x
C ．f(x)＝xcosx
D ．f(x)＝x(x －π2)(x －3π
2)
6. 在ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b 且2A B =，
3sin 5B =
，则a
b 的值是（ ）
A ．35
B ．45
C ．43
D ．85
7．某几何体的直观图如图所示，该几何体的正视图和侧视图可能正确的是（ ）
8．当m ＝6，n ＝3时，执行如图所示的程序框图， 输出的S 值为（ ） A ．6 B ．30 C ．120 D ．
360
9．已知角φ的终边经过点P(－4，3)，函数()sin()f x x ωφ=+(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()
4f π
的值为（ ）
A ．35 B. 45 C ．－35 D. －45
10．已知双曲线22
221x y a b -=，过其左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点记作C ，D ,原点为O ,
23COD π
∠=
，其双曲线的离心率为（ ）
A ．3
2 B ．2 C
D
11．已知直线10mx y m ++-=上存在点(,)x y 满足302301x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪>⎩
则实数m 的取值范围为（ ）
A ．(-1
2，1)
B ．[-12，1]
C ．(-1，12)
D ．[-1，1
2]
12．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin , 0x 2 44
()1() 1 , x 22x x f x π⎧≤≤⎪⎪=⎨
⎪+>⎪⎩，
若关于x 的方程
2
[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．5(,1)2--
B ．59(,)24--
C ．599(,)(,1)244----
D ．9(-1)4-，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题—第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题—第（24）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
14．若一个球的表面积为100π，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为124,3r r ==．则两截面间的距离为________.
15．已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且满足11n n S a +=+，则7a =_________.
16．设二次函数
2
()f x ax bx c =++(,,a b c 为常数)的导函数为()f x '．对任意x R ∈，不等式()f x ≥()f x '恒成立，则2
22b a c +的最大值为________．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 满足b2＋c2＝bc ＋a2. （1）求角A 的大小；
（2）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA ＝1，且a2，a4，a8成等比数列，求{4
anan ＋1}
的前n 项和Sn.
18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（1）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22⨯列联表：
根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”
？
附：()
()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，AB CD ∥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1,AB BC CD SD ==== （1）证明：平面SAB ⊥平面ABCD ； （2）求点A 到平面SDC 的距离.
20．（本小题满分12分）设抛物线C ：22(0)x py p =>的准线被圆O ：
224x y +=所截得的
（1）求抛物线C 的方程;
（2）设点F 是抛物线C 的焦点，N 为抛物线C 上的一动点，过N 作抛物线C 的切线交圆O 于P 、Q 两点，求FPQ ∆面积的最大值.
21．（本小题满分12分）设函数()2
ln f x a x bx =-，其图象在点
(
)()
22P f ，处切线的斜率为
3-．[]
（1）求函数
()
f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；
（2）当2a =时，令
()()g x f x kx
=-，设1x ，2
x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，
2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．
请考生从22、23、24题中任选一题作答；如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知Rt ABC ∆(90A ∠=︒)的外接圆为圆O ，过A 的切线AM 交BC 于点M ，过M 作直线
交,AB AC 于点,D E ，且AD AE =
（1）求证：MD 平分角AMB ∠；
（2）若AB AM =，求MC
MA 的值．
23．(本小题满分10分)选修4—5：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
N F
P
x
y
B
为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=. （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；
（2）求1C 与2C 交点的极坐标（)20,0πθρ<≤≥.
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数
1
2)(+=x x f ，
a
x x g +=)(。

（1）当0=a 时，解不等式)()(x g x f ≥；
（2）若存在R x ∈，使得)()(x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围．
高三年级数学（文）答案
∴an ＝2n.(10分) ∴4anan ＋1＝1n n ＋1＝1n －1
n ＋1
.(11分)
∴Sn ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
.(12分)
18.解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战． 这3个人参与该项活动的可能结果为：{
}
,,A B C ，
{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，
{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种； (2分)
其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{
}
,,A B C ，
{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共
有4种. ( 4分) 根据古典概型的概率公式，所求的概率为41
82P =
=
. (6分)
（说明：若学生先设“用()
,,x y z 中的,,x y z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，
再将所有结果写成(
)
,,A B C ,
(),,A B C ,(),,A B C ，(),,A B C ,(),,A B C ,(),,A B C ,
(),,A B C ,(),,A B C ，不扣分．
）
（Ⅱ）根据22⨯列联表，得到2
K 的观测值为：
k
()
()()()()
()2
2
1004515251525
1.7960407030
14
n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=
=
≈++++⨯⨯⨯． (10分)
（说明：k 表示成2
K 不扣分）．
因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”． (12分)
19.解： (1)如图取AB 中点O ，连结DO 、SO ，依题意四边形BCDO 为矩形，
2DO CB ∴==，
侧面SAB 为等边三角形，2,AB =则SO AB ⊥，(2分）
满足222SD SO OD =+，∴SOD ∆为直角三角形，即
SO OD ⊥，（4分）
SO ∴⊥平面ABCD ，（5分） ∴平面SAB ⊥平面ABCD ；（6分）
(2) 由（1）可知SO ⊥平面ABCD ，则SO CD ∴⊥，
OD CD ⊥ ，CD ∴⊥平面SOD ， CD SD ∴⊥，
（8分）
由题意可知四边形ABCD 为梯形，且BC 为高，所以（9分）
设点A 到平面SDC 的距离为h ，由于
S ADC
A SDC V V --=，则有
（10
分） 因此点A 到平面SDC 的距离为（12分）
20.（1）因为抛物线C 的准线方程为
2p y =-
，且直线2p
y =-被圆O ：22
4x
y +=所截得的
22
()42p =-，解得1p =，因此抛物线C 的方程为2
2x y =；（4分）
（2）设N （2,2t t ），由于'y x =知直线PQ 的方程为：2()2t y t x t -=-. 即
2
2t y tx =-
. （6分）
因为圆心O 到直线
PQ 2
，所以|PQ|=
,（7分） S
A
B
D C
O
设点F 到直线PQ 的距离为d
，则2d ==，（ 8分）
所以，FPQ ∆的面积S 12PQ d =
⋅=
=
=
≤=11分）
当t =±“=”，经检验此时直线PQ 与圆O 相交，满足题意.综上可知，FPQ ∆的面
.（12分） 21.解;（1）函数()
f x 的定义域为
()0+∞，．
()2a f x bx x '=
-，则()2432a
f b '=-=-，即86a b =-．
于是()()2286bx b f x x -+-'=
． （2分） 当0b =时，
()60f x x -'=
<，()f x 在()0+∞，上是单调减函
当0b <时，令
()0
f x '=
，得
x =
，
所以()
f x
在
(0
上是单调减函数，在)
+∞
上是单调增函数； ③ 当0b >时，若
3
04b <≤
，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数； 若
3
4b >
，令()0f x '=
，得x =
， 所以()f x
在
(0
上单调增函数，在
)
+∞
上单调减函数；
综上，若0b <，
()
f x
的单调减区间为
(0
，单调增区间为
)
+∞
；
若304b ≤≤
，()f x 的单调减区间为()0+∞，； 若
3
4b >
，()f x
的单调增区间为(0
，单调减区间为
)
+∞
．（6分）
（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．
因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则2
1112
2222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，
相减得：
()()()221212122ln ln 0
x x x x k x x -----=，
因为 12x x ≠，所以
()
()
121212
2ln ln x x k x x x x -=
-+-，
于是
()()120001212
2ln ln 24
2x x g'x x k x x x x x -=
--=-+-
()()()1122
1
121212121
2221222ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢
⎥
⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦
+⎢⎥⎣⎦
．（10）分
令
()1201x t t x =
∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++，
则
()()
()()2
2
2
14
10
11t 't t t t t ϕ--=
-=<++，则
()
t ϕ在
()01，上单调递减，
则()()10t ϕϕ>=，又122
x x <-，则()00g'x <．命题得证．（12）分 22.证明：(1)由AD AE = 得ADE AED ∠=∠，
ADE ABM BMD ∠=∠+∠ AED EAM AME ∠=∠+∠
AM 是切线， EAM ABM ∴∠=∠，BMD AMD ∠=∠ ∴MD 平分角AMB ∠
(2)由AB AM =，得ABM AMC MAC ∠=∠=∠，由90ABC ACB ∠+∠=︒ 即90ABC AMB MAC ∠+∠+∠=︒
30ABC ∴∠=︒，由
MC AC
AMC BMA MA AB ∆~∆⇒
=
,
由
tan AC ABC AB ∠== 23解：将⎩⎨⎧+=+=t y t
x sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x ,（2分） 即1C ：01610822=+--+y x y x .将⎩⎨⎧==θρθ
ρsin cos y x 代入
01610822=+--+y x y x 得 016sin 10cos 82=+--θρθρρ.（5分）
（Ⅱ）2C 的普通方程为
022
2=-+y y x . 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+020*********y y x y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩
⎨⎧==20y x . （8分） 所以1C 与2C 交点的极坐标分别为
)4,2(π，)
2,2(π
（10分） 24. 解：(Ⅰ）当0=a 时，由)()(x g x f ≥得x x ≥+12|2x+1|≥x ，两边平方整理得
01432≥++x x ，解得
311-
≥-≤x x 或∴原不等式的解集为 )
,31
[]1,(+∞-⋃--∞ （5分）
（Ⅱ）由)()(x g x f ≤ 得x x a -+≥12，令 x x x h -+=12)(，即⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
≥+<<+-≤--=0,10
21,1321,1)(x x x x x x x h
（7分）
故 21)21()(min -=-=h x h ，故可得到所求实数a 的范围为)
,21
(+∞- （10分）。