圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用课件

相离 外切 相交 内切 内含
43210 (2)公共弦问题 ①公共弦：连接两圆交点的线段叫作两圆的公共弦． ②两圆相交时，公共弦所在的直线方程． 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－ E2)y＋F1－F2＝0.
方法归纳
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值 范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆圆心的距离d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参 数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非 常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．
3．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为 ________．
解析：题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程
为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d＝
1＋|－－3| 12＝ 32.设公共弦的长为l，则l＝2
5－
322＝
2.
答案： 2
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0 ①
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
②
两式相减得x＝2y－4，③
把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.
∴xy11＝ ＝－0，4 或xy22＝ ＝02.
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
[化解疑难] 1．应用代数法判定两圆位置关系时应注意： (1)Δ>0时，两圆有两个公共点，相交； (2)Δ＝0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； (3)Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离． 2．利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不 能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，并不能准确 地判断位置关系(如：Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定 不了是内切还是外切；Δ<0仅能说明两圆没有公共点，到底是相离 还是内含)，必须辅以图形．
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝ a－2a2＋1－12＝a， (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切， 当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3即0<a<3时两圆内含．
|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2 Δ>0
|C1C2|＝|r1－r2|
Δ＝0
内含
|C1C2|<|r1－r2|
Δ<0
知识点二 用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元 素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算 解决代数问题，最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的 结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的三个步骤：
自主学习 基础认识
|新知预习|
知识点一 圆与圆的位置关系
圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝r
2 1
与圆C2：(x－c)2＋(y－d)2＝r
2 2
的
位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：
位置关系
几何法
代数法
图示
外离
|C1C2|>r1＋r2
Δ<0
外切
|C1C2|＝r1＋r2
Δ＝0
相交 内切
方法归纳
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半 径、弦心距先求半弦长，即得弦长．(2)求两圆的公共弦长及公共 弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
类型三 圆与圆相切的问题 [例3] 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x －12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切； (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么．
【解析】 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－ 5)2＋(y－6)2＝61－m.
圆心分别为C1(1,3)，C2(5,6)． 半径分别为 11和 61－m. (1)当两圆外切时， 5－12＋6－32＝ 11＋ 61－m. 解得m＝25＋10 11. (2)当两圆内切时，因定圆的半径 11 小于两圆圆心间距离5，
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
方法二：两方程联立，得方程组
x2＋y2－2x＋10y－24＝0 x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，
两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程． 由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得 (x－1)2＋(y＋5)2＝50， 其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5 2. 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 d＝|1－21×＋－－52＋2 4|＝3 5， 设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l ＝ 5，所以公共弦长2l＝2 5.
方法归纳
求公切线的五个步骤 (1)判断公切线的条数． (2)设出公切线的方程． (3)利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值． (4)验证特殊情况下的直线是否为公切线． (5)归纳总结． [注意] 对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置 关系来判断公切线的条数．
|素养提升|
两圆的公共弦及公切线问题 (1)两圆的公切线 ①定义：与两圆都相切的直线叫两个圆的公切线． ②两圆的位置关系及公切线的条数．
类型二 两圆的公共弦的问题 [例2] 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8 ＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．
【解析】 (1)将两圆方程配方化为标准方程， C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5 2； 圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10. r1－r2＝5 2－ 10， ∴r1－r2<|C1C2|<r1＋r2， ∴两圆相交．
课堂探究 互动讲练
类型一 两圆位置关系的判定 [例1] 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0， C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)． 试求a为何值时两圆C1，C2： (1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．
【解析】 对圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y －1)2＝16，
故有 61－m－ 11＝5.解得m＝25－10 11.
因为kc1c2＝65－ －31＝34，所以两圆公切线的斜率是－43，
设切线方程为y＝－43x＋b，则有43×1＋4323＋－1b＝ 11. 解得b＝133±53 11. 容易验证，当b＝133＋53 11，直线与另一圆相交， 故所求公切线方程为y＝－43x＋133－53 11. 即4xy2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( ) A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
解析：圆x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为 (1,0)，半径为1，圆x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆 心为(0，－2)，半径为2.∴圆心距d＝ 1－02＋0＋22 ＝ 5 <1＋2 ＝3，且 5>2－1＝1，∴两圆相交．
答案：C
2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝ 0的公切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， ∴圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2； 圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C2(2,1)，半径长r2＝1. ∴d＝ －1－22＋－1－12＝ 13， r1＋r2＝3， ∴d>r1＋r2，∴两圆外离， ∴两圆有4条公切线． 答案：D