计量及数值修约

计量单位
表1-3 国际单位制中具有专门名称的导出单位
计量单位
表1-4 国家选定的非国际单位制单位
计量单位
表1-5 用于构成十进倍数和分数单位的词头
数值修约
一、数值修约的概念及意义 二、数值修约的基础知识 三、数值修约规则及注意事项 四、数值运算规则
一、数值修约的概念及意义
1. 测量及测量结果 2. 数值修约的概念及意义
3.修约数位及确定修约位数的表达方式
修约时拟将拟修约数的哪一位数位后部分按修约规则舍去，则该数位 就是修约数位。
数值修约时需要先明确修约数位，确定修约位数的表达方式如下： （1 ） 指明具体的修约间隔。 如指明将某数按0.2（2×10-1）修约间隔修约、100 （1×102）修约
间隔修约等。 （2 ） 指定将拟修约数修约至某数位的0.1、0.2或0.5个单位。
2）数值末尾的“0”属于有效数字。
如0.5000中， “5”后面的三个“0”均为有效数字；0.5000中， “5” 后面的一个“0”也是有效数字。
特例：见第4）条。
3）数值中夹在数字中间的“0”是有效数字。
如数值1. 008中的两个“0”是均是有效数字； 数值8. 01中间的 “0” 也是有效数字。
2.2 有效数字位数的确定原则
由于有效数字的位数反映了测量结果的精确度，它直接与测量的精密 度有关。因此，在科学实验和生产活动中正确记录有效数字，不能多 写或少写，多写了不能正确反映测量精度，则该数据不真实，因而也 就不可靠；少写损失测量精度度。另外，能够正确判定表示测量结果 的数中那些数字是有效数字，确定有效数字位数就显得非常重要。
在确定有效数字位数时应遵循下列原则：
（1）数值中数字1~9都是有效数字。
（2）数字“0”在数值中所处的位置不同，起的作用也不同，可能是 有效数字，也可能不是有效数字。判定如下：
1） “0”在数字前，仅起定位作用，不是有效数字。
如，0.0257中， “2”前面的两个“0”均非有效数字。 0.123、 0.0123、0.00123中“1”前面的 “0”也均非有效数字。
这些测量所得的数据，在参与测量结果计 算的过程中，若要修约应怎么修约 ，计算得 到的结果怎么修约就是运算法则所要解决的 问题。
1.加减运算 2.乘除运算 3.平均值 4. 方差和标准偏差
1.加减运算
几个数相加减的结果，经修约后保留有效数字的位数，取决于绝对误 差最大的数值，计算结果应以绝对误差最大（即小数点后位数最少） 的数据为基准，来决定计算结果数据的位数。
的一种方式。修约间隔一般以k×10n（k=1，2，5；n为 整数）的形式表示，将同一k值的修约间隔，简称为“k”
间隔。
修约间隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。
例1：如指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中 选取，相当于将数值修约到一位小数。
例2：如指定修约间隔为100，修约值即应在100的整数倍 中选取，相当于将数值修约到“百”数位。
测量结果的数字，其有效位数反映了测量结果的精确度，它直接与测 量的精密度有关。这也是有效数字实际意义的体现，是非常重要的体 现。
例如前述例子中，若测量结果为1.1080g，则表示测量值的误差在104量级上，天平的精度为万分之一；若测量结果为1.108g，则表示测 量值的误差在10-3量级上，天平的精度为千分之一。
例1：将1268修约到“百”数位，得13×102（特定时可写为1300）。
例 2 ： 将 1268 修 约 成 三 位 有 效 位 数 ， 得 127×10 （ 特 定 时 可 写 为 1270）。
例3：将10.502修约到个数位，得11。
注：“特定时”的涵义系指修约间隔或有效位数明确时。
3.3 拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为0时，若所 保留的末位数字为奇数(1,3,5,7,9）则进一，为偶数（2,4,6,8,0）则舍 弃。
试看下面各数据的有效数字位数：
1.0008 43383 五位有效数字
0.5000 20.76% 四位有效数字
0.0257 154×10-10 三位有效数字
53
0.0070 二位有效数字
0.02
2×10-10 一位有效数字
3600
100 有效数字位数不定
2.修约间隔
修约间隔又称修约区间或化整间隔，系确定修约保留位数
（3）指明按“k”间隔将拟修约数修约为几位有效数字，或修约至某
数位。这时“1” 间隔可不必指明，但“2”间隔和“5”间隔必须指明。
三、数值修约规则
1.GB/T 8170-2008《数值修约规则与极限数值的表示和判 定》
1.GB/T 8170-2008《数值修约规则与极限 数值的表示和判定》
测量结果的数据处理是测量过程的最后环节，由于测量结果含有测量 误差，测量结果的有效位数应保留适宜，太多会使人误认为测量精度 很高，同时也会带来计算上的繁琐；太少则会损失测量准确度。测量、 计算结果的数值应按GB/T 8170-2008《数值修约规则与极限数值的 表示和判定》规定进行修约。
在实际运算过程中，各数值保留的位数比各数值中小数点后位数最少 者多保留一位小数，而计算结果有效数字的位数应与效数最少的一数 相同。
例如 29.2+36.582-3.0281=?
按上述规测计算如下：
29.2+36.582-3.0281≈29.2+36.58-3.03=62.75
最后计算结果保留一位小数，为62.8。
修约后平均值计算结果为6.39。
4.方差和标准偏差
方差和标准偏差在运算过程中对中间结果不做修约，只将最后结果修约至要求的 位数。
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
40
例1：修约间隔为0.1（或10-1)
拟修约数
修约值
1.050
1.0
0.350
0.4
例2：修约间隔为1000（或103)
拟修约数 修约值
2500
2×103 （特定时可写为2000)
3500
4×103 （特定时可写为4000)
例3：将下列数字修约成两位有效位数 拟修约数 修约值 0.0325 0.032
多余的数字进行取舍，按照一定的规则，选取一个近似数（修约数） 来代替原来的数，这一过程称为数值修约。
（2）数值修约的意义
a.出于准确表达测量结果的需要。
b.在进行具体的数值计算前，对参加计算的数值进行修约， 可简化计算，降低计算出错的机会。
二、数值修约的基础知识
1. 有效数字 2 修约间隔 3.修约数位及确定修约位数的表达方式
修约规则如下： 3.1 拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数
字不变。 例1：将12.1498修约到一位小数，得12.1。 例2：将12.1498修约成两位有效位数，得12。
3.2 拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或者是5，而其后跟有并非全 部为0的数字时，则进一，即保留的末位数字加1。
=414.6707116 三个参与运算的数值的有效数字位数分别为六位、三位、六位，所以最终 计算结果用三位有效数字表示，为415或4.15×102。
3.平均值
计算几个数值的平均值时，先将计算结果修约至比要求的位数多一位，再按数值 修约规则处理。
例如：
x 6.38 6.39 6.40 6.34 6.42 6.386 5
1. 测量、测量结果
（1）测量、测量结果 测量是以确定量值为目的的一组操作。量值是由一个数（值）乘以测量单
位所表示的特定量的大小。 由测量所得的赋予被测量的值称为测量结果。
例如，用分析天平称得一个试样的质量为 1.1080g， 1.1080g就是一个测 量结果。 由测量与测量结果的概念可看出，测量结果可表示如下：
如前述的1.1080， 前几位数字1、1、0、8都是称量读到的准确数字，而 最后一位数字0则是在没有刻度的情况下估读出来的，是不准确的或者说 可疑的。
有效数字是处于表示测量结果的数值的不同数位上。所有有效数字所 占有的数位个数称为有效数字位数。
例1：数值3.5，有两个有效数字，占有个位、十分位两个数位，因而 有效数字位数为两位；3.501有四个有效数字，占有个位、十分位、 百分位等四个数位，因而是四位有效数字。
例如：将下列数修约到个数位的0.5单位（或修约间隔为0.5）
拟修约数 乘2 2A修约值
A修约值
(A) 120.50
（2A） （修约间隔为1） （修约间隔为0.5)
120
60.0
60.25
60.38 120.76 121
60.5
-60.75 -121.50 -122
-61.0
5.2 0.2单位修约 将拟修约数乘以5，按指定数位依3.1-3.4规则修约，所得数值再除以5。
32500 32×103(特定时可写为32000)
3.4 负数修约时，先将它的绝对值按上述3.1-3.3规定进行修约，然后 在修约值前面加上负号。
例1：将下列数修约到“十”数位
拟修约数
修约值
-355
-36×10（特定时可写为-360)
-325
-32×10（约成两位有效位数
测量结果=数（值）×单位量值 根据误差公理，测量总是存在误差的，测量结果只能是接近于测量真值的
估计值，因而表示测量结果的数（值）是含有误差的数（值）， 就是说，表示测量结果的的数值是一个近似值。
2. 数值修约的概念及意义
（1）数值修约的概念 对某一表示测量结果的数值（拟修约数），根据保留位数的要求，将
2.乘除运算
几个数据的乘除运算以相对误差最大（即有效数字位数最少）的数值 为基准来决定结果数据的位数，。
在实际运算中，先将各数值修约至比有效数字位数最少者多保留一位 有效数字运算，计算结果的有效数字的位数与有效数字位数最少的数 值相同。（与小数点位置无关）
例如， 0.235438×28.6×61.8911 ≈0.2354×28.6×61.89
例如：将下列数修约到“百”数位的0.2单位（或修约间隔为20 ）
拟修约数 乘5 5A修约值
A修约值
（A） （5A）（修约间隔为100）（修约间隔为20）
830
4150 4200
840
842
4210 4200
840
-930
-4650 -4600
-920
四、数值运算规则
在一个具体的测量过程中，一般都要经过多个测量的环节， 而每个测量的环节都有具体的测量数据，滴定试验时滴定 前滴定管的初始读数与滴定至终点时，溶液体积的读数等。
4）以“0”结尾的正整数， “0”是不是有效数字不确定，应根据测试 结果的准确度确定。
如3600，后面的两个“0”如果不指明测量准确度就不能确定是不是 有效数字。
测量中遇到这种情况，最好根据实际测试结果的精确度确定有效数 字 的 位 数 ， 有 效 数 字 用 小 数 表 示 ， 把 “ 0” 用 10 的 乘 方 表 示 。 如 将 3600写成3.6×103表示此数有两位有效数字；写成3.60×103表示此 数有三位有效数字；写成3.600×103表示此数有四位有效数字。
拟修约数
修约值
-365
-36×10（特定时可写为-360)
-0.0365
-0.036
注：以上4条为修约间隔为“1”时的修约规则。
5 0.5单位修约与0.2单位修约
必要时，可采用0.5单位修约和0.2单位修约。
5.1 0.5单位修约
将拟修约数乘以2，按指定数位依3.1-3.4规则修约，所得数再除以2。
1. 有效数字
1.1有效数字
有效数字是指在分析和测量中所能得到的有实际意义的数字。测量结果是 由有效数字组成的（前后定位用的“0”除外）。
我们来看前面的测量结果1.1080g，组成数字1、1、0、8、0都是实际测 读到的，它们是表示试样质量大小的，因而都是有实际意义的。
有效数字的前几位都是准确数字，只有最后一位是可疑数字。
计量单位
我国的法定计量单位包括： 1.国际单位制的基本单位 2.国际单位制的辅助单位: 3.国际单位制中具有专门名称的导出单位 4.国家选定的非国际单位制单位 5.由以上单位构成的组合形式的单位 6.由词头和以上单位构成的十进倍数和分数单位
计量单位
表1-1 国际单位制的基本单位
计量单位
表1-2 国际单位制的辅助单位