第八章 等离子体中的输运过程

方程左边的第二项（ u 的二次项），这时速度分布各项异性很弱。无磁场时它具有形式
mα
∂uα ∂t
=
zαeE −
1 n
grad(nTα ) + mα
δuα δt
（8-2）
对于电子 α = e 和 ze = −1，对于离子 α = i 和 zi = 1。碰撞项只考虑带电粒子同中性粒子
的碰撞
mα
δuα δt
在弱电离等离子体中带电粒子与中性离子的碰撞频率远大于带电粒子之间的碰撞频
率。带电粒子的定向运动由一级矩方程描述。在稳态条件下
Zα
eE
+
Zα
e
[uα
×B
]−
grad(nTα n
)
+
m
δuα δt
=0
(8-45)
碰撞摩擦力为
m
δuα δt
= −µαaναauα
(8-46)
这里假定了带电粒子的定向速度远大于中性粒子的定向速度。将(8-46)式代入(8-45)式后，得
+
div(nu)
=
δn δt
对定态情形, 设 ∂n / ∂t = 0 , 得
(8-27)
DA∇2n
+
δn δt
=
0
(8-28)
在柱对称的等离子体中密度只依赖于半径
DA
1 r
d dr
(r
dn dr
)
+
δn δt
=
0
(8-29)
碰撞项决定单位体积内的电离和复合过程效率。首先讨论最简单的情况，这时直接电离是显
(8-31)
为了使密度在边界（r=a）处等于零，贝赛尔函数在这一点应该是零点。贝赛尔函数零点的
根的数目是无穷的，但只有对应第一个根（ ξ = 2.405 ）的解才有物理意义，因为只有它在
整个 r<a 区域是正的。求得
∧ = a 2.405 特征长度 ∧ 称为扩散长度。它决定量 νi 和 DA 之间的关系。求得
m
2Ω c
2
)
（8-58）
当碰撞频率远小于回旋频率
ν

Ω c
时，（8-55）和（8-56）式变成单粒子理论中的电漂移和
压强梯度漂移速度公式。显然，碰撞减少了自由电场和压强梯度引起的漂移速度，并且在
99
ν

Ω c
时漂移变得不重要了。如果引入横向迁移率和扩散系数，则后两项为
utE = Zb⊥E⊥
（8-59）
= Rαa
= −µαaναa (uα − ua )
（8-3）
在弱电离等离子体中，中性原子的定向速度通常非常小于带电粒子的定向速度。这时摩擦力
等于
Rαa = −µαaναauα
（8-4）
代入一级矩方程，考虑定态情形
则定向速度为
zαeE −
1 n
grad(nTα ) − µαaναauα
=
0
（8-5）
uα
ν i = DA ∧2 = 5.8DA a2
决定了平衡时的电离率。
(8-32) (8-33)
n n0
a
r
图 8-1
我们求得了密度的径向分布，但没有给出它的绝对值。在所讨论的情况下，密度依赖于
放电的纵向电流。电流密度通过电子迁移率与外场相联系着 j = enbeE0 。按等离子体横截
∫ ∫ 面积分就可以算出总电流 I =
×h]
=
ZeE⊥
−
grad⊥ (nT n
)
（8-52）
这里 h = B / B 是磁场方向单位矢量,
Ω c
=
eB
/
m
是回旋频率。用
h
叉乘方程（8-52）式，
得到
µν
[u⊥
×h]+
ZmΩcu⊥
=
Ze[E⊥
×h]+
⎡⎢⎢⎣
h×grad⊥ n
(nT
)
⎤⎥⎥⎦
（8-53）
由（8-52）和（8-53）式中消去矢积[u⊥ ×h]，得到定向速度的横向分量
ZeE + Ze[u×B]− grad(nT ) −µνu = 0
n
（8-47）
是关于速度 u 的矢量代数方程。这个方程在磁场方向上的投影给出等式
ZeE&
−
grad&(nT n
)
−
µνu&
=
0
在磁场方向不存在洛仑兹力，解得
（8-48）
u&
=
Ze µν
E&
−
T µν
( grad&n n
+
grad&T T
b⊥
D⊥
=
e TLeabharlann 离子体参数不依赖于纵向坐标。只讨论截面内的分布，在电子加热沿截面相同的条件下，可
以认为电子温度是常数。由于离子和原子之间的剧烈能量交换，离子温度通常很低于电子温
度，并沿截面变化也小。带电粒子的定向速度
u
=
−DA
gradn n
,
DA
=
Dibe be
+ Debi + bi
(8-26)
代入连续性方程
∂n ∂t
著影响粒子平衡的唯一过程，即 δn / δt = ν in 则
95
DA
1 r
d dr
(r
dn dr
)
+
ν
in
=
0
(8-30)
式中 ν i = na seiav 是决定电子能量分布函数的平均电离率。上方程为零阶贝赛尔方程，它
的有界解为贝塞尔函数
n = n0 J0 ( r ∧) ， ∧ = DA ν i
jds = 2πE0
a
n(r)rdr , 求得
0
n0
=
2.3I πa2ebe E0
=
2.3meνea πa2e2
I E0
(8-34)
96
8.3.2 在板片中的密度分布
略掉碰撞产生的粒子项，即源项。连续性方程
∂n ∂t
=
DA∇2n
用分离变量法解方程, 令 n(x,t) = T (t)S(x) , 代入(8-35)式，方程变为
得到
94
ue = ui = −DA gradn n
这里
（8-23）
DA
=
Dibe be
+ Debi + bi
（8-24）
称为双极扩散系数。因为 De Di , be bi 得
DA
≈
Di
+ bi De
/ be
=
Di (1+Te
Ti )
=
(Te
+Ti ) µ ν ia ia
（8-25）
由此可见，双极扩散系数很小于电子自由（单极）扩散系数，然而大于离子扩散系数
第二项描述带电粒子密度非均匀性引起的扩散。扩散定向速度正比于密度的相对梯度
92
uαn
=
− Dα
gradn n
，
Dα
=
Tα µαaναa
（8-9）
比例系数 Dα 称为扩散系数。最后一项由温度梯度引起的扩散——热扩散
uαT
= −DαT
gradTα Tα
， DαT
=
Tα µαaναa
（8-10）
式中 DαT 热扩散系数。扩散系数和迁移率之间的关系
L (Dτ)1/ 2
=
π 2
(8-42)
或者 最后得到
τ
=
(
2L π
)2
1 D
n
=
n0e−
t
τ
cos
πx 2L
(8-43) (8-44)
97
这叫做最低扩散模，密度分布是余弦形的，并随时间指数的衰减。时间常τ 随 L 的增加而
增加，随 D 的增加而减少。
n
-L
0
L
图 8-2
8.4 弱电离等离子体中带电粒子在磁场里的定向速度
(8-35)
1 dT = DA ∇2S T dt S
(8-36)
由于左边只是时间的函数而右边只是空间的函数，它们必须都等于同一个常数，设为−1/ τ ，
则
其解为
dT dt
=
−
T τ
T
=
T0
exp(−
t τ
)
空间部分 S 遵守的方程
(8-37) (8-38)
在板片几何中
∇2S
=
−
1 DAτ
S
(8-39)
)
（8-49）
和无磁场时的相同。引进用来描述在磁场方向上运动的迁移率和扩散系数
b& = e µν , D& = D&T = T µν
（8-50）
98
将（8-49）式写为
u&
= b&E& − D&
grad&n n
−
D&T
grad&T T
（8-51）
在垂直于磁场平面上矢量方程的投影
µν
u⊥
−
ZmΩc
[u⊥
其解为
d 2S dx2
=
−
1 Dτ
S
(8-40)
S
=
A cos
x (Dτ)1/ 2
+
B sin
x (Dτ)1/ 2
(8-41)
我们应当期望在壁处密度接近于零，而在中间有一个或几个峰值。最简单的解是具有单个极
大值的解。由于对称性可去掉方程中的正弦项。那么,在 x = ±L 处边界条件 S = 0 就要求
子和离子的定向速度等于
ue = −beE− De gradn n ui = biE− Di gradn n
令这些速度相等，不难求得双极性电场
EA
=
Di − De be + bi
gradn n
考虑到 De Di 和 be bi ，得
（8-17） （8-18）
（8-19）
EA
≈ − De be
gradn n
93
不可避免的引起电场的出现。这个电场将阻碍它们进一步离开所讨论体积元，并且促使离子 更快的离去。
例如考查一下在一根长柱形管中带电粒子的扩散是怎样进行的，设在某一初始时刻准电 中性条件在整个体积内都是成立的。于是在后一时期电子扩散流非常大于离子扩散流（因为
De Di ）因此，壁将带负电，而在体积内多余的正电荷将增加。电荷分离导致径向电场
= − Te e
gradn n
（8-20）
电场指向与密度梯度方向相反的方向。由于 EA = −gradϕ 积分得到电势分布
ϕ
−ϕ o
=
(Te e
)
ln(
n n0
)
（8-21）
由上式得到密度分布
n
=
n0
exp[e(ϕ
−ϕ 0
)
/
Te
]
（8-22）
即玻尔兹曼公式。
已知电场强度，可以确定粒子的定向速度。将（8-19）式代入（8-17）或（8-18）式，
（8-14）
因为输运系数反比于质量，通常可以忽略这个和中的离子项。第一项决定等离子体在恒定电
场中的电导率
jE = σE ， σ ≈ enbe = ne2
me
ν ea
（8-15）
它正比于电子密度。
7.2 双极扩散
上面得到决定带电粒子在电场，密度和温度梯度作用下的定向速度表达式，进入这些表 达式的迁移率和扩散系数反比于质量；电子的这些系数要比离子的大很多。但是由于电中性 条件，电子和离子在等离子体里的独立运动是不可能的。电子很快离开等离子体某一体积元
Di < DA < De 。因此双极电场极大的减小电子定向速度。
8.3 气体放电等离子体中带电粒子密度分布
8.3.1 长柱形容器内密度的径向分布
作为应用所得到的方程的一个例子，我们讨论由纵向电场在长柱形容器内维持的定态气
体放电等离子体中的带电粒子密度分布。在容器长度非常大于它的直径的条件下可以认为等
udE
=
[E⊥ ×h]
B(1+ µ2ν 2 m2Ωc2 )
=
bd
[E⊥ ×h]
（8-55）
udp
=
[h×grad⊥ (nT )]
ZenB(1+ µ2ν 2 m2Ωc2 )
=
Dd
⎡⎢⎢⎣h×
gradp p
⎤⎥⎥⎦
（8-56）
这里
bd
=
1 B(1+ µ2ν 2
m2Ωc2 )
（8-57）
Dd
=
T ZeB(1+ µ2ν 2
utp = −D⊥ grad⊥n n − D⊥T grad⊥T T
这里
（8-60）
b⊥
=
eµν m2Ωc2 + µ2ν 2
=
e µν(1+ m2Ωc2
µ2ν 2 )
（8-61）
D⊥
=
D⊥T
=
µνT m2Ωc2 + µ2ν 2
=
T
µν
(1
+
m
2Ω c
2
µ2ν 2 )
（8-62）
扩散系数和迁移系数之间的关系和无磁场时的相同
的形成，它将提高离子向壁的运动速度，并且阻尼电子。电场一直上升到电子流和粒子流相
等。空间电荷将不再进一步变化，即建立起准稳状态，这种扩散状态称为双极扩散。
电子和离子的定向速度相等
ue = ui
（8-16）
决定的定向运动就是双极扩散。对于 gradT / T gradn / n ，热扩散不重要的情形，电
gradn n
−
DiT
gradTi Ti
（8-13）
式中 bi = 2e / miνia ， Di = 2Ti / miνia 。利用这些公式可以求得等离子体中的电流密度
j = neui − neue = en(be + bi )E + e(De − Di )gradn +en(DeT gradTe Te − DiT gradTi Ti )
=
zαe µαaναa
E
−
Tα µαaναa
gradn − 1
n
µαaναa
gradTα
（8-6）
它是三项之和
uα = uαE + uαn + uαT
（8-7）
其中第一项决定于带电粒子在电场中加速有关的定向速度。速度与场之间的比例系数称为迁
移率
uαE = zαbαE
，
bα
=
e µαaναa
（8-8）
Dα = Tα bα e
（8-11）
称为爱因斯坦关系。
带电粒子的总定向速度可以通过以上引进的输运系数来表示。对电子求得
ue
= −beE − De
gradn n
− DeT
gradTe Te
式中 be = e / meνea ， De = Te / meνea 。而对离子
（8-12）
ui
=
biE − Di
u⊥
=
mΩc
e[E⊥ ×h]
(1+ µ2ν 2 m2Ωc2