2022-2023年教师资格《中学数学学科知识与教学能力》预测试题4(答案解析)

2022-2023年教师资格《中学数学学科知识与教学能力》
预测试题（答案解析）
全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！
第壹卷
一.综合考点题库(共50题)
1.初中数学“二次根式”设定的教学目标如下：
①理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范[11。

②培养根据条件处理问题的能力及分类讨论问题。

③经历观察比较总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性．体验发现的快乐。

并提高应用的意识。

完成下列任务：
(1)请设计一个情境导入。

(10分)
(2)根据教学目标，设计至少2个实例，并说明设计意图。

(10分)
(3)本节课的教学重点是什么?(5分)
(4)本节课的教学难点是什么?(5分)
正确答案：本题解析：
①面积为3的正方形的边长为__________，面积为S的正方形的边长为__________ ②要修建一个面积为6．28 m2的圆形喷水池，它的半径为__________πm(π取3．14) ；
③一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为__________；
④一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度^(单位：m)满足关系h=5t2。

如果用含有h的式子表示t，则t__________。

【活动方略】学生根据所学知识回答问题。

【设计意图】由实际问题人手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生从不同的式子中探寻规律．为二次根式的引入做好铺垫。

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，掌握解答二次根式取值范围的习题．避免一些常见错误。

学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】使学生进一步理解二次根式的概念，对二次根式的取值范围有更深刻的理解。

(3)重点：会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围。

(4)难点：理解二次根式的概念。

2.“函数图象”是高中数学中很重要的知识点，通过复习所学函数模型及其图象特征．可以使学生对函数有一个较直观的把握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪。

(1)关于“函数图象及其应用”给出你的教学设计目标。

(10分)
(2)确定教学重点、难点。

(10分)
(3)设置两个教学环节(给出两个以上例题或练习题)并说明设计意图。

(10分)
正确答案：
本题解析：
(1)教学目标主要有：
①通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，体会函数模型的广泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，加强看图识图能力，激发学习兴趣，自觉自主参与课堂
教学活动。

②结合具体的问题，并从特殊推广到一般，领会函数与方程之间的内在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。

③通过对所给问题的自主探究和合作交流，理解动与静，整体与局部的辨证统一关系，发展对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。

(2)教学重点和难点
①教学重点：常见函数模型的图象特征和实际应用。

通过课堂师生互动交流。

共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，深化认识，突破重点。

②教学难点：利用函数图象研究方程问题的思想和方法。

在教学过程中，自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。

(3)教学环节及设计意图
课堂小结：
本节课复习了常见函数模型及其图象特征，体会到利用函数图象解决函数性质的形象和直观。

学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结合思想的意义和价值。

正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

3.某教师关于“反比例函数图像”教学过程中的三个步骤为：
第一步：复习回顾
提出问题：我们已经学过一次函数的哪些内容?是如何研究的?
第二步：引入新课。

提出问题：反比例函数的图像是什么形状呢?
列表：
描点：
连线：引导学生用光滑的曲线连接描点，并用计算机演示图像的生成过程。

在此过程中启发学生思考，由于 x，y都不能为 0，所以函数图像与戈轴、y 轴不能有交点(如下图)。

……(第三步过程省略)
(1)该教学过程的主要特点是什么?(8 分)
(2)在第二步的连线过程中，如果你是该老师，如何引导学生思考所连的线不是直线，而是光滑曲线?(6 分)
(3)对于第三步的③，如果你是该老师，如何引导学生思考函数图像在第一象限(或第三象限)的变化?(6 分)
正确答案：
本题解析：
(1)在导入过程运用了温故知新导入，优势是可以帮助学生复习已经学习过的知识。

从学习过的知识当中找到前后联系，从而引出新课题，帮助学生快速进入课堂。

在新课教学过程中让学生通过动手操作画出反比例函数图像．但是在引导学生运用列表法的时候选出的点不够有代表性，x 轴不能都是整数，可以随机地选取一部分分数，为下边讲解函数图像是一条光滑的曲线做准备。

另外在此过程中利用现代教学手段，计算机演示是一种很好的教学方法，可以很直观地将函数图像的动态画面展示给学生，方便学生建立数形结合的意识。

第三步，组织学生观察讨论曲线特点，根据选取图像中若干特殊点，总结在第一象限以及第三象限的变化情况。

(2)反比例函数图像的特点是光滑的曲线，而不是折线，这是区别一次函数图像最大的特点。

首先我会请学生分小组讨论这个问题。

如果反函数的图像的点是用折线连起来会是什么图形，用曲线连起来会是什么图形。

给学生 3 分钟时问讨论，在讨论的过程中我会给与学生提示，我们选取的点是有限的，其实反比例函数的点是无数个的，为什么正多边形的边无限增多就变成了光滑的圆。

讨论结束有小组代表回答，鉴于这个问题有难度，在学生回答结束之后我会给予详细的讲解：反比例函数的图像可通过描点法给出，折线是由若干直线组合而成，而直线必须对应一个一次函数，显然反比例函数不能对应到一次函数上，所以它不是折线，而是曲线。

另外我们只是描了图像上少数的几个点，图像构架比较空，所以自然地认为看起来应该用折线连，如果多描几个点，多到密密麻麻的情况，就会明白其实这个就和“正多边形边数越多越接近圆。

圆就是正多边形边数无限大时的情况”的道理是一样的。

逐步提升学生有限无限思想。

(3)在此环节我将组织学生通过选取若干特殊点进行比较，独立思索曲线的变化情况，并鼓励学生大胆说出自己的想法，并给予鼓励，已达到锻炼学生从数学模型中抽象出数学结论的能力，对于数学图像的变化得到初步的锻炼以及提升。

4.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案：B
本题解析：
5.已知向量a,b，满足|a|=|b|=1，且|a-kb|=√3|ka+b|，其中k>0。

(1)试用k表示a b，并求出a b的最大值及此时a与b的夹角θ的值：
(2)当a b取得最大值时，求实数A，使|a+λb|的值最小，并对这一结论作出几何解释。

正确答案：
本题解析：
6.中学数学的( )是沟通教学理论与教学实践的中介与桥梁，是体现教学理论，指导教学实践的“策略体系”和“便于操作的实施程序”。

A.教学标准
B.教学大纲
C.教学策略
D.教学模式
正确答案：D
本题解析：
教学模式是指在一定的教学思想指导下，为了完成某项数学教学任务，实现某种教学任务，在教学过程中，所创设的教学环境的相对稳定的“样式”。

而中学数学教学模式是沟通教学理论与教学实践的中介与桥梁。

7.
∏的位置关系是()。

A.平行
B.直线在平面内
C.垂直
D.相交但不垂直
正确答案：A
本题解析：
8.A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案：A
本题解析：
9.已知直线／：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线Z：x+by=l (1)求实数a，b的值；
(2)若点P(x。

，yo)在直线Z求点P的坐标。

正确答案：
本题解析：
(1）
(2)
10.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理：一个直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

请你完成下列任务：
（1）请你设计一个探索该定理的活动或问题情境，并说明设计意图；（10 分）
（2）请你设计一个习题（不必解答），以帮助学生理解该定理，并说明具体的设计意图；（10 分）
（3）请你设计一个习题（不必解答），进一步巩固、应用该定理，并说明具体的设计意图。

（10 分）
正确答案：
本题解析：
第一问: 导入活动设置：利用多媒体播放一组学生课前收集的图片(旗杆与地面垂直、教学楼与地面垂直等)组织学生观察图片中展示事物之间的位置关系。

提出问题：旗杆与地面、教学楼与地面的位置关系是什么?你能否利用直线与平面根据他们的位置关系画出相应的几何图形?
预设：垂直关系
探究活动一设置：
提出问题：我们又如何定义一条直线与一个平面垂直?能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢?
利用多媒体动画演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体会直线与平面内不过垂足的直线也垂直组织学生观察动画的过程中思考如下几个问题
问题1：阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少?
问题2：随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否发生了变化?问题3：旗杆AB 与地面上不过点 B 的任意一条直线的位置关系如何?它们所成的角是多少度?
全班交流过后
教师引导学生共同总结：直线与平面垂直的定义，如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

进一步引导学生思考：那么如何判定一条之间与平面的位置关系是垂直关系呢?
探究活动二设置：组织学生思考如何将一张长方形纸片立于桌面?
组织学生猜想：你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗?
预设：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

设计意图：在教学中，充分发挥学生的主观能动性，先安排学生课前收集大量图片，多感知，然后，通过学生动手画图、讨论交流和多媒体课件演示，使其经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的直线与平面垂直的概念，接下来助学生生活中最简单的经验——折纸，引导学生分析，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，并以此为基础进行合情推理，提出猜想，使学生的思维顺畅，为进一步的探究做准备。

第二问:
如何折叠与放置一张纸，可以使折痕与桌面垂直?从而寻找到判定直线与平面垂直的方法引导学生进行折纸环节探究：(1)折痕与平面垂直吗?
(2)如何折，能够使折痕与桌面垂直?
(3).你找的折痕有什么特点?找这样的折痕是为了实现什么目的?
(4)如何放置?
(5)当直线与桌面垂直时，固定折痕一侧的纸片，绕着折痕旋转另一侧纸片，观察折痕与桌面垂直吗?此时折痕与桌面内每一条直线什么关系?
设计意图：通过动手操作、展示、分享，提高学生学习兴趣，同时为学生的进一步探究提供思考方向。

第三问:
11.设f(x)是R上的函数，则下列叙述正确的是( )。

A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
正确答案：D
本题解析：
的奇偶性取决于厂(x)的奇偶性是奇函数
12.设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，a3=(1，3，5)T，不能由向量组β1，=(1，1，1)T,f12=(1，2，3)T，3β=(3，4，α)T线性表示。

(1)求a的值；
(2)将β1β2β2由α1α2α3线性表示。

正确答案：
本题解析：
(1)由于α1，α2，α3不能由β1β2β3，线性表示，对（β１，β２，β３，α１，α２，α３进行初等变换∶ 故β１＝２α１＋４α２－α３，β２＝α１＋２α２，β３＝５α１＋１０α２－２α３13.在“三角函数求值”的教学中，教师给出了如下的问题。

教师发现两位学生板演的内容与自己预设的内容不一致。

问题：(1)你如何评价这两位学生的解题过程。

(10 分) (2)假如你是该教师，针对学生板演的情况，如何组织进一步的教学。

完成该题的教学任务。

(10 分)
正确答案：
本题解析：所以会与老师期望得到的结果不同。

学生二利用两角和正弦公式，后化为解一元二次方程得出两个结果，后也是没有验证结果的正确性。

和学生一犯了一样的错误。

整体来说学生对三角函数公式掌握的比较牢固，运用的也比较熟练，只是在熟练的基础之上还不能更好地内化数学思想，即验证结果的成立与分类讨论的应用。

(2)首先请全班同学同桌两人为一组讨论板演同学的答案是否正确，若对，说出解题思路以及解题亮点，若不对应该如何纠正。

时间为两分钟，在此期间教师到学生中间巡场，走进学生，找到学生的疑惑点。

然后教师请学生代表来分析此题，并说出正确结果。

因为学生对此知识点掌握相对薄弱，我会在此处着重强调在得到答案之后验证的重要性，让学生从题目中总结所学到的方法。

14.设函数f(x)=x1nx
(1)画出函数f(x)的草图。

(6分)
(2)若
的最大值(提示利用函数f(x)的凸性)。

(4分)
正确答案：
本题解析：
(1)
(2)根据f(x)的凸性有{图2}
15.已知曲面方程为x-yZ+z2-2x+8y+6z=10，则过点(5，-2.1)的切平面方程为( )。

A.2x+3y+2z=0
B.2x+y+2z=lO
C.x-2y+6z=15
D.x-2y+6z=0
正确答案：B
本题解析：
16.A.a=b或a+2b-0
B.a=b或a+2b≠0
C.a≠b且a+2b-0
D.a≠b且a+2b≠0
正确答案：C
本题解析：
17.下列哪位数学家不是微积分的创始人( )。

A.伽罗华
B.牛顿
C.费尔马
D.莱布尼茨
正确答案：A
本题解析：
费尔马是微积分的先驱者，早在牛顿、莱布尼茨之前，他就提出用微分子法求极大、极小的步骤，并给出求曲线围成图形的面积的方法。

埃瓦里斯特·伽罗华(evariste Galois，公元1811年~公元l832年。

从民国起至今，其中文译名为伽罗瓦的情况更多)是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家。

曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。

费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。

故选A。

18.
A.大于1
B.小于1
C.等于1
D.以上都不对
正确答案：C
本题解析：
19.“等差数列”和“等比数列”的概念关系是（）
A.交叉关系
B.同一关系
C.属种关系
D.矛盾关系
正确答案：A
本题解析：
“等差数列”和“等比数列”的外延中都包含常数数列，因此属于交叉关系
20.请以“直线与平面平行的判定”为课题，完成下列教学设计。

(1)教学目标(10分)
(2)本节课的教学重、难点(10分)
(3)写出新课引入和新知探究、巩固、应用等及设计意图(10分)
正确答案：
本题解析：
(1)教学目标
通过直观感知一观察一操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。

培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心．树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

(2)教学重点与难点
重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

(3)教学过程设计
①知识准备、新课引入
提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系并完成下表：(多媒体幻灯片演示)
我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为A。

提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行，你认为方便吗谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

(设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系而引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理做好准备。

)
②判定定理的探求过程
1)直观感知
提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗生1：日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。

2)动手实践
教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置，给人以平行的感觉，而当把直角所在的腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面，给人的印象就不平行。

又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。

(设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。

) 3)探究思考
上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同关键是什么因素起了作用呢通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：第一，平面外一条线；第二，平面内一条直线；第三，这两条直线平行。

如果平面外的直线α与平面内的一条直线b平行，那么直线α与平面平行吗
4)归纳确认：(多媒体幻灯片演示)
直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

简单概括：(内外)线线平行线面平行
作用：判定或证明线面平行。

关键：在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题
③定理运用，问题探究(多媒体幻灯片演示)
判断下列命题的真假说明理由：
1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行。

()
2)过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行。

()
3)一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行。

()
设a、b是二异面直线，则过a、b外一点P且与a、b都平行的平面存在吗若存在请画出平面，不存在说明理由
先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。

(设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。

)
④总结
先由学生口头总结，然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示)：
1)线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。

2)定理的符号表示：
简述：(内外)线线平行则线面平行。

3)定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

21.
A.如上图所示
B.如上图所示
C.如上图所示
D.如上图所示
正确答案：B
本题解析：
暂无解析
22.-次实践活动中，某班甲、乙两个小组各 20 名学生在综合实践基地脱玉米粒，-天内每人完成脱粒数量(千克)的数据如下：
甲组：57，59，63，63，64，71，71，71，72，75，
75，78，79，82，83，83，85，86，86，89。

乙组：50，53，57，62，62，63，65，65，67，68，
69，73，76，77，78，85，85，88，94，96。

问题：
(1)分别计算甲、乙两组学生脱粒数量(千克)的中位数；(2 分)
(2)比照甲、乙两组数据，请你给出 2 种信息，并说明实际意义。

(5 分)
正确答案：
本题解析：
本题考查统计的相关知识。

(1)根据中位数的定义可知，甲组学生脱粒数量的中位数是
乙组学生脱粒数量的中位数是丁
(2)①通过两组数据能够求出甲、乙两组学生脱粒数量的平均值x 甲=74．6，面乙=71．65，根据平均数的大小比较可知，甲组脱玉米粒速度更快。

②根据两组数据的波动情况，能够看出甲组数据更为稳定，而乙组数据波动很大。

进而可知，甲组学生的脱玉米粒能力差不多，而乙组学生脱玉米粒的能力存在很大的个体差异性
23.设函数等于( )。

A.1
B.2
C.D.
正确答案：B
本题解析：
24.创立解析几何的主要数学家是( )。

A.笛卡儿、费马
B.笛卡儿。

拉格朗日
C.莱布尼茨，牛顿
D.柯西，牛顿
正确答案：A
本题解析：
创立解析几何的主要数学家是笛卡儿、费马。

拉格朗日、柯西在数学分析方面贡献杰出。

莱布尼茨在高等数学方面的成就巨大。

牛顿的数学方向主要是微积分学。

25.下列内容属于《义务教育数学课程标准(2011年版)》第三学段“数与式”的是（）。

①有理数②方程③实数④代数式⑤整式与分式
A.①②③④
B.①②④⑤
C.①③④⑤
D.①②③⑤
正确答案：C
本题解析：
《义务教育数学课程标准》第三部分课程内容第三学段第一部分“数与式”包括：1.有理数 2.实数 3.代数式 4.整数与分数；而方程属于第二部分：方程与不等式
26.某教师在引领学生探究"圆周角定理”时，首先进行画图、测量等探究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想；进一步寻找证明猜想的思路并进行严格的证明；最后，教师又通过几何软件对两类角的大小关系进行验证。

从推理的角度，请谈谈你对教师这样处理的看法。

正确答案：
本题解析：
推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。

在初中数学中经常使用的两种推理是:合情推理和演绎推理。

合情推理是学生经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类紕，然后提出猜想的推理，这位老师引领学生探究“圆周角定理”时，首先进行画图、测量等探究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想；就是应用了合情推理。

合情推理融合了学生的各种思维和活动在中，对于培养学生的学习兴趣，开发学生的智力，培养学生的创新能力都是非常重要的。

演绎推理是从已有的实(包括定义、公理、定理等)出发，按照规定的法则(包括逻辑和运算)证明结论。

盖老师在学生给出猜想后，引导学生进一步寻找证明猜想的思路并进行严格的证明；并通过几何软件对两类角的大小关系进行验证。

应用演绎推理体现是数学的严谨性。

两种方式相辅相成，更有利于学生掌握“圆周角定理" 27.案例：某教师在进行幂函数教学时，给学生出了如下一道练习题：已知(a+1)-2＜(1-2a)-2，求a的取值范围。

某学生的解答过程如下：
问题：(1)指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；(8分)
(2)给出你的正确解答(限用幂函数的图像和性质来解答)；(8分)
(3)指出你解题所运用的数学思想方法。

(4分)
正确答案：
本题解析：
(1)忽了偶次方，把问题复杂化导致分类不全面。