第三章 近代数学

在他的著作《论述对数的奇迹》对如何在计算中使用对数表作了 介绍

在《作出对数的奇迹》说明：计算这些数表本身所用 的方法，以及它们所依据的推理的简单说明
纳皮尔说：“我总是尽我的一切力量，来减轻人们繁重的而单调 的计算。这种令人厌烦的计算，往往吓到许多学习数学的人”拉 普拉斯赞美说：“对数的发现，等于将科学家的寿命延长了两 倍”）
4．拉格朗日的向量思想．

1788年拉格朗日在《解析力学》中以类似后来 的向量形式表示力、速度等具有方向的量． 十九世纪八十年代一门叫做向量分析或向量代 数的学科在美国数学家吉布斯(Josiah Willard Gibbs，1839—1903)和英国数学家希 维赛德(Oliver Heaviside，1850—1925)的努 力下诞生了．正如吉布斯所预料的，向量分析 的出现立即对解析几何产生了深刻的影响．


显然，笛卡儿几何是以“解析”作为基本的方法的， 即把对图形的研究转化为对方程式的研究，这充分显 示了笛卡儿的卓越睿智，确是几何学研究中的一次大 革命．
(1)引入“坐标”观念 (2)利用“坐标法”提出曲线表示成方程 的思想 考虑二元方程F(x，y)=0的性 质． (3)推广了曲线的概念 (4)按方程的次数对几何曲线分类：
评价

解析几何的中心思想是：在方程f(x，y)=0 和所有符合下述条件的点的轨迹(一般为一 条曲线)之间存在着对应关系，这些点相对 于两个互相垂直的轴的坐标(x，y)满足方程 f(x，y)=0．
二、解析几何发展和完善阶段
1．瓦里斯关于负纵横坐标的思想． 2．伯努利等人的极坐标思想 3．拉· 希尔、克雷罗、欧拉等人的空间解 析几何思想． 4．拉格朗日的向量思想．
几何学教授布里格斯(Briggs，
1561～1631)曾专程访问纳皮尔，建议 取10作为底数，约定1的对数为零．布 里格斯对以后的对数传播作了贡 献．他于1624年发表的著作中给出了 三万个数的常用对数表，精确到小数 14位． 最后需要说的是一般指数的概念与运 算是在17世纪末才形成的，指数符号 为笛卡儿所创，分指数、负指数为牛 顿首先采用，并给出分指数的二项式 定理，麦克劳林、欧拉、阿贝尔分别 证明了整指数、分指数、负指数的二 项式展开

1．瓦里斯关于负纵横坐标的思 想．

笛卡尔建立的坐标系只限于正的范围， 即第一象限．为了使解析几何所考虑的 曲线范围扩大到整个平面，1655年英国 数学家瓦里斯(Wallis，1616—1703)有 意识地引进了负的纵横坐标．瓦里斯还 导出了各种圆锥曲线的方程，并且从这 些方程都是二次的情况下，把圆锥曲线 定义为：含两个变量的二次方程的曲 线．
4、费尔玛的思想：
早在笛卡儿的《几何学》发表以前，费尔玛已 经提出了研究曲线问题的一般方法 他从希腊几何学的成就出发，用他所提出的一 般方法，对阿波罗尼关于轨迹的某些失传的证 明作出补充．1630年他把这一工作写成《平面 与立体轨迹引论》的小册子．可惜它被拖延到 了1679年才出版，那时费尔玛已经死了14年． (1)引进坐标，系统地研究曲线的方程．(2)通 过坐标的平移和旋转化简方程(3)空间解析几 何思想的萌芽
三、解析几何的重要意义

1．解析几何为几何研究提供了新方法． 2．解析几何使几何和代数达到了完美的 统一． 3．解析几何为科学技术提供了数量工 具． 4．解析几何的创立使代数成为基本的数 学科目．
习题：

简述解析几何的发展过程


3 空间解析几何思想．





1679年拉· 希尔(La Hire，1640—1718)对三维坐标几何作了较为 特殊的讨论．他先用三个坐标表示空间中的点P，然后写出曲线的 方程． 1715年詹姆斯的弟弟约翰· 伯努利(John Bernoulli，1667—1748) 首先引用了我们现在通用的三个坐标平面．在此基础上，通过帕 朗(Parent，1666—1716)、克雷罗(Alexis Claude Clairaut， 1713—1765)、赫尔曼等人的工作，弄清了曲面能用三个坐标变量 表示的观念． 1731年法国数学家克雷罗又指出，描述一条空间曲线需要两个曲 面方程；而空间曲线的投影方程，即垂直于投影平面的柱面方程， 可以通过决定这条曲线的两个曲面方程的某种组合给出． 1732年赫尔曼给出了绕z轴旋转的方程的一般形式：x2＋ y2=f(z)． 1748年欧拉给出了空间坐标变换公式和曲面的六种标准形式—— 锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、双曲抛物面以及抛物 柱面． 蒙日(Monge，1764—1818)和他的学生哈息特(Jean—Nico-las Pierre Hachette，1769—1834)一起证明了二次曲面的每一个平 面截口是一条二次曲线，并且还证明了单叶双曲面和双曲抛物面 是直纹曲面
第三章 近代数学
背景：从17世纪开始，变量数学逐渐登上历史 舞台．微积分的创立，是人类文化史上的杰作， 标志着科学发展的新阶段．在此基础上，微分 方程，微分几何，调和分析，画法几何，概率 论等学科不断形成．数学发展进入了崭新的黄 金时代． 主要内容：解析几何、微积分、非欧几何、概 率论、群论的发展以及他们的主要创立者的思 想方法
2、笛卡儿的主要思想

笛卡儿对几何学的伟大贡献是发明坐标几何，固然还 不完全是最后形式的坐标几何． “在分析问题中，若认为该问题可解时，首先把要求 出的线段与所求的未知量，用名称表出．然后，弄清 已知和未知线段的关系，按照正确的逻辑顺序，用两 种方法来表示同一量，并建立相等的关系，把最后得 到的式子叫做方程式．”

笛卡儿在荷兰一住就是20年．由于法国驻斯德 哥尔摩大使沙尼雨的介绍，他和瑞典克丽斯蒂 娜女王有了书信往还，克丽斯蒂娜美丽、热情 而博学．然而和大部分君主一样，以为自己既 然是君主就有权浪费伟人的时间．女王请求笛 卡儿亲临她的宫廷；派了一艘军舰去迎接 (1649年9月)．女王想每天听笛卡儿讲课，但 是除在早晨5点钟以外又腾不出其他时间．斯 堪的纳维亚冬日的晨寒对不习惯起早、体质孱 弱的笛卡儿实在是一种灾难．那时，沙尼雨又 害了重病，笛卡尔又得去照料．大使健康复原， 笛卡儿却病倒了，从此一病不起．1650年2月， 这位哲学巨人终于长辞人世


1617年服役期间，在荷兰布莱达遇到一张数学难题招 贴，他看不懂上面的佛来米语，一位中年人热心地给 他作了翻译，第二天他把解答交给那个中年人．中年 人对笛卡尔的解答非常吃惊：巧妙的解题方法，准确 无误的计算，说明了这位年轻士兵的数学造诣不 浅．原来这位中年人就是当时有名的荷兰数学家别克 曼(Isaac Beeckeman，1588—1637)教授．这使他自信 有数学才能，从此开始在别克曼教授指导下认真地钻 研数学．1628年，他移居荷兰，在较为安静自由的学 术环境里住了二十年，写出了他的名著． 笛卡尔的著作主要有《思想的指导法则》、《世界体 系》、《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》 等．《方法论》的附录之一《几何》中包括了他关于 解析几何和代数的思想．

其它数学成就
Hale Waihona Puke 费尔玛通过与帕斯卡的通信讨论赌金分配问题，得出 正确解答，与帕斯卡、惠更斯一起被誉为概率论的创 始人 17世纪的数论几乎是费尔玛的天下，证明和提出许多 命题，如形如4n＋1的素数均能唯一地表示为两个平方 数之和；如果P是素数，a是正整数，则 P│(ap-a)(费 尔玛小定理)等． 著名的费尔玛大定理（方程xn＋yn=zn(n＞2)没有正整 数解）． 费尔玛在页边写道：“我发现了这定理的一个极妙的 证法，但页边太窄，写不下”． 1993年6月，在美国普林斯顿工作的数学家 A· 怀尔斯 (Wiles)和英国数学家R· 泰勒(Taylor)宣布已证明了费 马的猜想．但证明中有些地方不妥，经过改进之后， 在1994年获得世界公认．
二


解析几何的创立
1、关于笛卡儿：
笛卡尔1596年3月31日生于土伦的拉哈耶，父亲是个相 当富有的律师．笛卡尔20岁毕业于普瓦界大学，去巴 黎当了律师．在巴黎他认识了米道奇(Mydorge， 1585—1647)和梅森(Marin Mersenne，1588—1648)， 花了一年时间和他们一起研究数学．当时有一种风气， 即有志之士不是致力于宗教就是献身于军事．因此， 笛卡尔赶了时髦，应征入伍，遍历欧洲．笛卡尔献身 数学，完全出于一个偶然的机会．
2．伯努利等人的极坐标思想．

1691年他发表了关于极坐标的一篇文章，发明 了极坐标；后来他又引进了双钮线、对数螺线、 旋轮线等各种特殊曲线． 1729年法国数学家雅各· 赫尔曼(Jacob Hermann， 1678—1733)把极坐标的概念进一步完善，并 给出了直角坐标和极坐标的变换公式． 欧拉第一次在极坐标中明确地使用三角函数， 给出了极坐标系，还引进了曲线的参数表示 式．

费尔玛(Pierre Fermat，1601～
1665)．

费尔玛，1601年8月20日出生于法国的图卢兹附近的一 个皮革商家庭，大学时专修法律，毕业后当了律师， 曾经任图卢兹议会顾问三十余年．

费尔玛在30岁后才从事数学研究，由于他博闻饱学， 精通数种文字，掌握多门自然科学知识，又结交了笛 卡儿、梅森、惠更斯等著名学者，经常书信往来，讨 论数学问题，因此他的成就诸多．可惜生前较少发表 论著；多数成果留在手稿、通信或书页空白处，死后 才由儿子整理汇集成书，在图卢兹出版，才被后世誉 为“业余数学之王”．

对数的发现与解析几何的创立

一 二
纳皮尔发明对数 解析几何的创立
一


纳皮尔发明对数
关于纳皮尔：
纳皮尔(Napier John，1550～1617)出生于苏格 兰的默奇斯通．他是一位男爵，早年从事神学工 作，但他对数学也有着浓厚的兴趣．他以欧几里 得的方式证明了罗马教皇是反基督者、世界的末 日就在1786年．他自认为《圣约翰启示录中的一 个平凡发现》一书是他最重要的贡献，继这项神 学工作之后，他于1594年开始进行改革数值计算 实用方法的工作．他躲在南苏格兰爱丁堡附近的 默奇斯通城堡中从事这一工作达20年之久．
由于纳皮尔系统地使用小数点，这才大大地促进了17世纪的人们普遍采 用小数点表示法．现在，我们认为(以a为底的)数x的对数logax是这样一


个数y，它使得a的y次幂ay等于x．我们也把对数看成是一个函数，并且
看成是指数函数的反函数，然而，当时对一般的函数概念尚未建立，纳 皮尔的计算是根据具体对应关系进行操作的．