椭圆经典知识总结

椭圆知识总结 班级 姓名
椭圆的定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数
)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121
F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：1222
2
=+b
y a x
)0(>>b a ，其中222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122
2
2=+
b
x a
y
)0(>>b a ，其中2
22
b a c
-=；
注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=；
3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；
当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -
知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122
22=+b
y a x )0(>>b a 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程122
2
2
=+
b
y a x
)0(>>b a ： 说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆1222
2=+
b
y a
x
是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的
中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆122
2
2
=+b
y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个
顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，2
1
B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，
a A A 221=,
b B B 221=。

a 和b 分别叫做
椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a
c a
c e ==22。

近1，则c
②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。

e 越接
就越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于
0，c 就越接近0，
从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点
重合，图形变为圆，方程为a y x =+22。

注意椭圆122
22=+b
y a x 的图像中线段的几何特征（如
下图）： （1）)
2(21
a PF PF
=+；e
PM PF PM PF
==
2
21
1
；)2(221
c
a PM PM
=
+； （2）)(21a BF BF ==；)(21c OF OF ==；2
2
21b
a B A B A +==；
（3）c a F A F A -==221
1；c a F A F A +==1221； c a PF c a +≤≤-1；
知识点四：椭圆12
2
2
2=+
b y a
x
与 12
22
2=+
b x a
y
)0(>>b a 的区别和联系
注意：椭圆12222=+b
y a x ，122
22=+b x a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关
系都有)0(>>b a 和)10(<<=e a
c e ，222c b a +=；
不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

规律方法： 1．如何确定椭圆的标准方程？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。

当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。

此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义
椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。

分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。

可借助右图理解记忆：显然：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(2
2=+是表示椭圆的条件 方程C By Ax =+22可化为1
2
2
=+
C
By C
Ax
，即
12
2=+B
C By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B
时，方程表示椭圆。

当B
C A
C
>
时，椭圆的焦点在x 轴上；当B
C A
C
<
时，椭圆的焦点在
y 轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方
程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。

其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c 相同。

与椭圆
12
2
22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为
1222
2=+++m
b y m a x )(2
b m ->，此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称；
② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称；
③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦
定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 21
21PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方
法进行计算解题。

将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立
21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。

离心率)10(<<=e a c
e ，因为
222b a c -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e a b e 。

显然：当a
b
越小时，
)10(<<e e 越大，椭圆形状越扁；当a b
越大，)10(<<e e 越小，椭圆形状越趋近于圆。

1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在x 轴上时122
22=+b y a x （222a b c =+）⇔{
cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。

方程
22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以
122
22=+b
y
a x （0a
b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)
c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，
一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④
准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c
e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；
e 越大，椭圆越扁。

⑥通径2
2b a
2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔22
00
221x y a b
+>；（2）点00(,)
P x y 在椭圆上⇔220220b
y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔22
00
221x y a b +<
3．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）
相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；如:直线y ―kx ―1=0与椭圆22
15x y m
+
=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。

如（1）已知椭圆1
16
25
22
=+
y x
上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为
____（答：10/3）；
（2）椭圆13
42
2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使
MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3
6
2(
-）
； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：
20tan ||2
S b c y θ
==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；
6、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、
B 的横坐标，则AB ＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝
2121
1y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求
解。

在椭圆122
22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0
202y a x b ；
如（1）如果椭圆22
1369x y +
=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22
221(0)
x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______
（答：2）；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13
42
2=+y x 上有不同的两点关于直
线m x y +=4对称（答：⎛ ⎝⎭
）；
特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>。