四川省攀枝花十二中2015-2016学年高一下学期3月调研数学试卷Word版含解析

2015-2016学年四川省攀枝花十二中高一（下）3月调研数学试卷
一．选择题：（每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的．）
1．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）
A．B．C．D．
2．若向量=（3，m），=（2，﹣1），=0，则实数m的值为（）
A． B．C．2 D．6
3．在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于（）
A． B．C．D．
4．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）
A．﹣B．﹣C．D．
5．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知向量与的夹角为120°，，则等于（）
A．5 B．4 C．3 D．1
7．下列区间是函数y=2|cosx|的单调递减区间的是（）
A．（0，π） B．（﹣，0）C．（，2π）D．（﹣π，﹣）
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）
A．B．
C．D．
9．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）
A．60° B．90° C．120°D．150°
10．在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
11．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）
A．B．C． D．
12．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若
⊥，且αcosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）
A．，B．， C．，D．，
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．已知点A（2，3），C（0，1），且，则点B的坐标为．
14． =（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为．
15．定义：|×|=||•||•sin θ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=
﹣6，则|×|等于．
16．在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则
BD= ．
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明和解答过程）
17．设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值．
18．设=（1+cos x，1+sin x），=（1，0），=（1，2）．
（1）求证：（﹣）⊥（﹣）；
（2）求||的最大值，并求此时x的值．
19．已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα），O为原点．
（1）若∥，求tanα的值；
（2）若，求sin2α的值．
（3）若．
20．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（cosA，sinA），=（﹣sinA，
cosA），若•=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面积．
21．如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数；
（Ⅱ）求S的最大值及此时θ的值．
22．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？
2015-2016学年四川省攀枝花十二中高一（下）3月调研数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的．）
1．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）
A．B．C．D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】观察所求的式子发现满足两角和与差的正弦函数公式sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin （α﹣β），故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值．
【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°
=sin（43°﹣13°）
=sin30°
=．
故选A
2．若向量=（3，m），=（2，﹣1），=0，则实数m的值为（）
A． B．C．2 D．6
【考点】平面向量坐标表示的应用．
【分析】根据两个向量的数量积为零，写出坐标形式的公式，得到关于变量的方程，解方程可得．
【解答】解：=6﹣m=0，
∴m=6．
故选D
3．在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于（）
A． B．C．D．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】求出C，利用正弦定理直接求出c即可．
【解答】解：由题意，在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，所以C=180°﹣75°﹣60°=45°．
根据正弦定理得：，即c==．
故选C．
4．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）
A．﹣B．﹣C．D．
【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．
【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．
【解答】解：∵sina=，
∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．
故选B．
5．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．
【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，
则==，
所以有，故m=3，
故选：B．
6．已知向量与的夹角为120°，，则等于（）
A．5 B．4 C．3 D．1
【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．
【分析】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．
【解答】解：∵向量与的夹角为120°，，
∴，
∵，
∴，
∴=﹣1（舍去）或=4，
故选B．
7．下列区间是函数y=2|cosx|的单调递减区间的是（）
A．（0，π） B．（﹣，0）C．（，2π）D．（﹣π，﹣）
【考点】余弦函数的图象．
【分析】结合函数y=2|cosx|的图象可得函数y=2|cosx|的减区间．
【解答】解：结合函数y=2|cosx|的图象可得函数y=2|cosx|的减区间为（kπ，kπ+），k∈z．结合所给的选项，
故选：D．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）
A．B．
C．D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．
【解答】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期
函数的周期为2，所以ω=
函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）
∵，∴φ=
f（x）的解析式是
故选A．
9．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）=ab，则∠C的大小为（）
A．60° B．90° C．120°D．150°
【考点】余弦定理．
【分析】由（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，
cosC==可求C的值．
【解答】解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，
∴c2=a2+b2+ab，
由余弦定理可得，
cosC===
=，
∵0°＜C＜180°，
∴C=120°，
故选：C．
10．在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，并且B为锐角，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断；对数的运算性质．
【分析】由已知的条件可得=，sinB=，从而有 cosB==，故 C=，
A=，故△ABC的形状等腰直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg，并且B为锐角，∴ =，
sinB=，
∴B=，c=a，∴cosB==，∴C=，A=，
故△ABC的形状等腰直角三角形，
故选D．
11．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）
A．B．C．D．
【考点】解三角形．
【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC的面积．
【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，
根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，
即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，
当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；
当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，
所以△ABC的面积等于或．
故选D
12．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，﹣1），=（cosA，
sinA）．若⊥，且αcosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）
A．， B．，C．， D．，
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的积化和差公式．
【分析】根据向量数量积判断向量的垂直的方法，可得cosA﹣sinA=0，分析可得A，再根据正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，有和差公式化简可得，sinC=sin2C，可得C，再根据三角形内角和定理可得B，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，，可得=0，
即cosA﹣sinA=0，
∴A=，
又由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，
sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C，
C=，∴B=．
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．已知点A（2，3），C（0，1），且，则点B的坐标为（﹣2，﹣1）．【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】设出B的坐标，由点的坐标求出所用向量的坐标，代入后即可求得B的坐标．
【解答】解：设B （x ，y ），由A （2，3），C （0，1）， 所以
，
又
，所以（x ﹣2，y ﹣3）=﹣2（﹣x ，1﹣y ）
即
，解得．
所以B （﹣2，﹣1）． 故答案为（﹣2，﹣1）．
14．
=（2，3），
=（﹣3，5），则在方向上的投影为 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知向量的坐标求出与，代入投影公式得答案．
【解答】解：∵ =（2，3），
=（﹣3，5），
∴
，
，
则=．
故答案为：．
15．定义：|×
|=||•||•sin θ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，
|
|=5，
•=﹣6，则|
×
|等于 8 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意得．所以
cos θ=
所以sin θ=
所以
【解答】解：由题意得
所以cosθ=
所以sinθ=
所以
故答案为8．
16．在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=135°．若AC=AB，则
BD= 2+．
【考点】余弦定理．
【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB，AC，把已知条件代入整理，根据BC=3BD推断出
CD=2BD，进而整理 AC2=CD2+2﹣2CD 得AC2=4BD2+2﹣4BD把AC=AB，代入整理，最后联立方程消去AB求得BD的方程求得BD．
【解答】用余弦定理求得
AB2=BD2+AD2﹣2AD•BDcos135°
AC2=CD2+AD2﹣2AD•CDcos45°
即 AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣2CD ②
又BC=3BD
所以 CD=2BD
所以由（2）得AC2=4BD2+2﹣4BD（3）
因为 AC=AB
所以由（3）得 2AB2=4BD2+2﹣4BD （4）
（4）﹣2（1）
BD2﹣4BD﹣1=0
求得 BD=2+
故答案为：2+
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明和解答过程）
17．设是两个不共线的向量，
，若A、B、D三点共线，求k的值．
【考点】向量的共线定理．
【分析】利用向量的运算法则求出；将三点共线转化为两个向量共线；利用向量共线的充要条件列出方程；利用平面向量的基本定理列出方程，求出k的值．
【解答】解：
∵
若A，B，D三点共线，则共线，
∴
即
由于不共线可得：
故λ=2，k=﹣8
18．设=（1+cos x，1+sin x），=（1，0），=（1，2）．
（1）求证：（﹣）⊥（﹣）；
（2）求||的最大值，并求此时x的值．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．
【分析】（1）由题意可得和的坐标，计算其数量积为0即可；（2）由
题意可得的不等式，由三角函数的值域可得的最大值，开方可得所求．
【解答】解：（1）由题意可得=（cosx，1+sinx），
=（cosx，sinx﹣1），
∴（）•（）=cos2x+sin2x﹣1=0，
∴（）⊥（）
（2）由题意可得=（1+cosx）2+（1+sinx）2
=3+2（sinx+cosx）=3+2sin（x+），
由三角函数的值域可知，当x+=2kπ+，
即x=2kπ+（k∈Z）时，取最大值3+2，
此时取最大值=
19．已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα），O为原点．
（1）若∥，求tanα的值；
（2）若，求sin2α的值．
（3）若
．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）根据条件求出向量和的坐标，利用向量共线的坐标表示以及商的关系，，求出tanα的值；
（2）根据条件求出向量和的坐标，利用
列出方程，再由倍角的正弦公式和平方关系求出sin2α的值；
（3）求出对应向量的坐标，再由||=求出α的值，利用向量的数量积运算求出所求向量夹角的余弦值，根据夹角的范围求出角的度数．
【解答】解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴=（cosα，sinα），=（﹣3，3），
∵，∴3cosα+3sinα=0，解得tanα=﹣1
（2）由题意得， =（coaα﹣3，sinα），=（coaα，sinα﹣3），
∵⊥，∴coaα（coaα﹣3）+sinα（sinα﹣3）=0，
1﹣3（sinα+coaα）=0，即sinα+coaα=，
两边平方后得，sin2α=﹣，
（3）由题意得， =（3，0），=（cosα，sinα），
∴=（coaα+3，sinα），由||=得，
（cosα+3）2+sin2α=13，即cosα=，则α=，
∴， ===，
则所求的向量的夹角是．
20．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（cosA，sinA），=（
﹣sinA，cosA），若•=1．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
【分析】（1）由两向量的坐标利用平面向量数量积运算化简已知等式，整理后求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosA，b，c=a代入求出a的值，进而求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：（1）∵=（cosA，sinA），=（﹣sinA，cosA），且•=1，
∴cosA﹣sinAcosA+sinAcosA=1，
∴cosA=，
则A=；
（2）∵cosA=，b=4，c=a，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=32+2a2﹣8a，
解得：a=4，c=a=8，
则S△ABC=bcsinA=×4×8×=16．
21．如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数；
（Ⅱ）求S的最大值及此时θ的值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】（Ⅰ）在△ABD中，根据余弦定理可表示BD，根据S=absinc可表示出△ABD，△BCD 的面积，从而表示出四边形ABCD的面积；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可把四边形面积S化为S=Asin（ωx+φ）+B形式，根据三角函数的有界性可求其最值．
【解答】解：（Ⅰ）
，
，
，
∴（0＜θ＜π）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得
=
，
∵0＜θ＜π，∴，
当时，即时，S 有最大值．
22．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A 点北
偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点
相距20
海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船
到达D 点需要多长时间？
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】先根据内角和求得∠DAB 和，∠DBA 及进而求得∠ADB，在△ADB 中利用正弦定理求得DB 的长，进而利用里程除以速度即可求得时间．
【解答】解：由题意知AB=5（3+
）海里，
∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°， ∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°，
在△ADB 中，有正弦定理得=
∴DB=
=
=10
又在△DBC 中，∠DBC=60°
DC 2
=DB 2
+BC 2
﹣2×DB×BC×cos60°=900 ∴DC=30
∴救援船到达D 点需要的时间为=1（小时）
答：该救援船到达D 点需要1小时．
2016年4月14日。