高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》解析含答案

【最新】单元《不等式》专题解析(1)
一、选择题
1．已知ABC V 外接圆的半径2R =
，且2
sin 2
A
A =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A
． B
．(4, C
．4+
D
．(4+
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
sin 2
A A =及倍角公式可得23A π=
，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】
由题意，2
2cos 1123A A -=-
，即cos 13
A A -=-，可化为
33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，即sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23
A π
=
，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，
c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），
所
以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为2
2
2
12()b c bc b c bc =++=+-，所以
2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤
，则4a b c ++≤+b c a +>，所以
2a b c a ++>=
4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为
4+.
故选：C 【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
2．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】 【分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由20
x y x y +-=⎧⎨
-=⎩得(1,1)A ，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
3．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U
【答案】A 【解析】 【分析】
由0ax b ->的解集，可知0a >及
1b
a
=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从
而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】
由0ax b ->的解集为()
1,+?
，可知0a >且
1b
a
=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，
因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.
4．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．
43
B ．2log 3
C ．
25
D ．2
4log 3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用基本不等式求出2a b
+的最小值后可得221
a b
a b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可
得c 的最大值. 【详解】
因为222a b a b ++=，故222a b a b ++=≥= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立. 又因为2222
a
b
c
a b c
++++=，故2114
211212133
a b c
a b a b +++==+≤+=--，
当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24
log 3
c =. 故选：D. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.
5．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D
【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
6．已知变量,x y 满足2402400x y x y x +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则24x y --的最小值为（ ）
A
B ．8 C
D ．
163
【答案】D 【解析】 【分析】
24x y --=
表示点(,)x y 到直线240x y --=的距
离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】
因为24x y --=，所以24x y --可看作为可行域内的动点到直线
240x y --=
点44
(,)33
A 到直线240x y --=的距离d 最小，此时22
442433
3512d -⨯-==+， 所以24x y --的最小值为16
53
d =. 故选：D. 【点睛】
本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.
7．若，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：用特殊值法，令
，
，
得
，选项A 错误，
，选项B 错误，
，选项D 错误，
因为
选
项C 正确，故选C ． 【考点】
指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】
比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
8．已知集合{}
2
230A x x x =-->，(){}
lg 11B x x =+≤，则()
R A B =I ð（ ）
A ．{}13x x -≤<
B ．{}19x x -≤≤
C ．{}13x x -<≤
D ．{}19x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()
R A B ⋂ð. 【详解】
解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；
解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.
{}
13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，
因此，(){}
13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
9．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2
4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
||||1
PM PF -的最
小值为（ ）
A B ．1)
C ．
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设
(),P x y ，0x >，则2||4
||1PM x PF x
=+-，利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，
设(),P x y ，0x >，则()()2
2
2
22224||||44||1x y
x x PM P P M x F x Q P x x
-+-+====+≥-，
当4
x x =
，即2x =时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元
C ．400千元
D ．440千元
【答案】B 【解析】
设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：
2348069600,0,x y x y x y x N y N
+≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.
点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
11．若0a >，0b >，23a b +=，则36
a b
+的最小值为（ ） A ．5 B ．6
C ．8
D ．9
【答案】D 【解析】 【分析】
把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()1
23a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值． 【详解】
∵3613a b +=（36
a b +）（a +2b ） ＝13(366b a
a b
+
++12) ≥
1366b a a b
⋅=）9 等号成立的条件为66b a
a b
=，即a=b=1时取等 所以
36
a b +的最小值为9． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题
12．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，且函数
(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式
()()222323f s s f s s -+--+…，则s 的取值范围是（ ）
A ．13,2⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭
B ．[3,2]--
C ．[2,3)-
D ．[3,2]-
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于
()()222323f s s f s s -+-+-…，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求
出s 的取值范围. 【详解】
解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；
又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则(
)(
)(
)
2
2
2
232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以
222323s s s s -+≥-+-，
整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.
13．若变量x ，y 满足2,
{239,0,
x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是
A ．4
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以
22max ()10x y +=，选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
14．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2
m 4
y x m +<-有解，则实数m 的取值
范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()
2,1-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U
【答案】D 【解析】 【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】 若不等式24y x m m +
<-有解，即2()4
min y
m m x ->+即可， 142x y +=Q
，12
12x y
∴+=， 则
12122211121212112442248842
y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+
=++=+++≥+⋅=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当28x y y x
=，即22
16y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24
min y
x +
=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，
即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
15．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ）
A ．log 3log 3a b >
B ．336a b +>
C ．133ab a b ++>
D ．b a a b > 【答案】B
【解析】
【分析】
举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立.
【详解】
当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =;
因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，
综上选B.
【点睛】
本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.
16．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 【答案】B
【解析】
【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由2x y xy +=得：211x y
+=
()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
17．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的最小值是( )
A ．3
B
．32 C ．0 D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．
【详解】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，
由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距
把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x y =⎧⎨
=-⎩
可得(1,1)A -- 此时3z =-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．
18．设x ，y 满足约束条件
则的最大值与最小值的比值为（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【解析】
【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

【详解】
如图，作出约束条件表示的可行域. 由图可知，当直线经过点时.z 取得最大值； 当直线经过点时，z 取得最小值.故
，故选：A 。

【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。

19．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<
”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项.
【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，
所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-， 整理得，22
12cos a b C ab
++>， 由基本不等式，2222
22a b a b ab +≥=， 当且仅当a b =时等号成立，
此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-=
=>⨯⨯， 故3C π
<，但228ab c =<，故3C π
<推不出2ab c >.
故必要性不成立；
故p 是q 的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
20．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[5,)+∞
B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞ 【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5， 因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤，
故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，
属于中档题.。