江都区宜陵中学2018-2019年八年级上期中数学试卷含答案解析

2019-2019学年江苏省扬州市江都区宜陵中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8题，每题3分，共24分）
1． 9的平方根是（）
A．±3 B．± C．3 D．﹣3
2．在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列三条线段能构成直角三角形的是（）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，4cm，5cm C．6cm，8cm，10cm D．
4．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（）
A．a2＜a＜B．a＜＜a2C．＜a＜a2D．a＜a2＜
5．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
6．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）
A．B．﹣1+C．﹣1D．1
7．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．图①是一块边长为1，周长记为P
1
的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸
板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为P
n ，则P
n
﹣P
n﹣1
的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分）
9．近似数2.428×105精确到位．
10．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是．
11．满足﹣的整数x是．
12．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是．13．有一个数值转换器，原理如图：当输入x为81时，输出的y的值是．
14．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S
△ABO ：S
△BCO
：S
△CAO
= ．
15．如图，在四边形ABCD中，已知AB=4cm，BC=3cm，AD=12cm，DC=13cm，∠B=90°，则四边形ABCD的面积为．
16．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要m．
17．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ．
18．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．
三、解答题（本大题共10题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．求下列各式中的x．
（1）4x2﹣16=0
（2）27（x﹣3）3=﹣64．
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点，并求出BF的长；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为．
21．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
22．美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．
23．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．
24．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）
25．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：CD=2BE+DE．
27．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
28．（1）如图（1），在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在线段BA、AB的延长线上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE= ；
（2）如图（2），在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；
（3）在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠求DCE 的度数（直接写出答案）；
（4）如图（3），在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC．请根据题意把图形补画完整，并在图形的下方直接写出△DCE的面积．（如果有多种情况，图形不够用请自己画出，各种情况用一个图形单独表示）．
2019-2019学年江苏省扬州市江都区宜陵中学八年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8题，每题3分，共24分）
1．9的平方根是（）
A．±3 B．± C．3 D．﹣3
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：± =±3，据此解答即可．
【解答】解：9的平方根是：
±=±3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2．在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：，0.343343334…是无理数，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
3．下列三条线段能构成直角三角形的是（）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，4cm，5cm C．6cm，8cm，10cm D．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股数．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行逐一判断即可．
【解答】解：A、不能，因为12+22=5≠42=16，故不能构成直角三角形；
B、不能，因为22+42=20≠52=25，故不能构成直角三角形；
C、能，因为62+82=100=102，故能构成直角三角形；
D、不能，因为（）2+（）2=7≠（）2=5，故不能构成直角三角形．
故选C．
【点评】此题比较简单，考查的是勾股定理的逆定理，即a2+b2=c2．
4．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（）
A．a2＜a＜B．a＜＜a2C．＜a＜a2D．a＜a2＜
【考点】实数大小比较．
【分析】首先根据条件设出符合条件的具体数值，然后根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴设a=， =2，a2=，
∵＜＜2，
∴a2＜a＜．
故选A．
【点评】解答此题的关键是根据a的取值范围，设a=计算后进行比较．这是常用解选择题的特值法．5．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．
【解答】解：当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
6．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）
A．B．﹣1+C．﹣1D．1
【考点】实数与数轴；勾股定理．
【专题】图表型．
【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数﹣较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【解答】解：数轴上正方形的对角线长为： =，由图中可知1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是1﹣．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
7．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨100米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长200米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】在火车自左向右运动的过程中，车长BC 可以是腰，也可以是底边．所以共有5个等腰三角形．
【解答】解：当车长为底时，AB=AC ，
得到的等腰三角形是△ABC ；
当车长为腰时，B 1C 1=C 1A ，C 1A=C 1B 2，C 2A=B 3C 2，AC 2=C 2B 4，分别得到的等腰三角形是△AB 1C 1，△AB 2C 1， △AB 3C 2，△AC 2B 4．
故得到的等腰三角形共有5个．
故选D ．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
8．图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸
板边长的）后，得图③，④，…，记第n （n ≥3）块纸板的周长为P n ，则P n ﹣P n ﹣1的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【解答】解：P 1=1+1+1=3，
P 2=1+1+=，
P 3=1+++×3=，
P 4=1+++×2+×3=
， …
∴p 3﹣p 2=
﹣==，
P 4﹣P 3=﹣==
，
则Pn ﹣Pn ﹣1=
=．
故选C ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质；要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分）
9．近似数2.428×105精确到 百 位．
【考点】近似数和有效数字．
【分析】一个数精确到了哪一位，应当看这个数的末位数字实际在哪一位．
【解答】解：近似数2.428×105中，2.428的小数点前面的2表示20万，则这一位是十万位，因而2.428的最后一位8应该是在百位上，因而这个数是精确到百位．
【点评】对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
10．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，化简
的结果是 1﹣2a ．
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题．
【分析】首先根据实数a 的位置，判断出1﹣a 和a 的符号，然后再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可求解．
【解答】解：由图知：﹣1＜a ＜0，
则1﹣a＞0，a＜0，
∴=1﹣a+（﹣a）=1﹣2a．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
11．满足﹣的整数x是﹣1，0，1，2 ．
【考点】实数大小比较．
【分析】先求出﹣、的近似值，再根据x的取值范围找出x的整数解即可．
【解答】解：因为﹣≈﹣1.414，≈2.236，
所以满足﹣的整数x是﹣1，0，1，2．
故答案为：﹣1，0，1，2．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解题时首先正确估计无理数的大小，然后再进一步找出满足范围的整数．
12．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是15 ．
【考点】勾股数．
【分析】设第三个数为x根据勾股定理的逆定理：∴①x2+82=172，②172+82=x2．再解x即可．
【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82=172，
解得：x=15，
②172+82=x2，
解得：x=（不合题意，舍去），
故答案为：15．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
13．有一个数值转换器，原理如图：当输入x为81时，输出的y的值是．
【考点】算术平方根．
【专题】图表型．
【分析】将x 的值代入数值转化器计算即可得到结果．
【解答】解：将x=81代入得：
=，
将x=9代入得：
=3，
再将x=3代入得
则输出y 的值为
．
故答案为：． 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键
14．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = 4：5：6 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】首先过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，由OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF ，又由△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，即可求得S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 的值．
【解答】解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，
∵OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，
∴OD=OE=OF ，
∵△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，
∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =（AB •OD ）：（BC •OF ）：（AC •OE ）=AB ：BC ：AC=40：50：60=4：5：6． 故答案为：4：5：6．
【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．如图，在四边形ABCD 中，已知AB=4cm ，BC=3cm ，AD=12cm ，DC=13cm ，∠B=90°，则四边形ABCD 的面积为 36cm 2 ．
【考点】勾股定理；三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【专题】探究型．
【分析】连接AC ，先根据直角三角形的性质得到AC 边的长度，再根据三角形ACD 中的三边关系可判定△ACD 是Rt △，把四边形分成两个直角三角形即可求得面积．
【解答】解：连接AC ，
∵∠B=90°
∴AC 2=AB 2+BC 2=16+9=25，
∵AD 2=144，DC 2=169，
∴AC 2+AD 2=DC 2，
∴CA ⊥AD
∴S 四ABCD =S △ABC +S △ACD =×3×4+×12×5=36cm 2．
故答案为36cm 2．
【点评】本题主要考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法．本题还要注意通过作辅助线的方法把不规则的四边形分割成三角形是常用的解题方法，要熟练掌握．
16．在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要 17 m ．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米．
【解答】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形的长为=12米，∴地毯的长度为12+5=17米．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
17．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 50°．
【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
∵，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．
18．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108 度．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．
故答案为：108．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共10题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．求下列各式中的x．
（1）4x2﹣16=0
（2）27（x﹣3）3=﹣64．
【考点】立方根；平方根．
【分析】（1）根据移项，可得平方的形式，根据开平方，可得答案；
（2）根据等式的性质，可得立方的形式，根据开立方，可得答案．
【解答】解（1）4x2=16，
x2=4
x=±2；
（2）（x﹣3）3=﹣，
x﹣3=﹣
x=．
【点评】本题考查了立方根，先化成乘方的形式，再开方，求出答案．
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE．
（1）在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点，并求出BF的长；（2）△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积为 6 ．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据轴对称的性质确定出点B关于AE的对称点F即可；
（2）即DC与EF的交点为G，由四边形ADGE的面积=平行四边形ADCE的面积﹣△ECG的面积求解即可．【解答】解：（1）如图1所示：
在Rt △BEF 中，由勾股定理得：BF=
==6．
（2）如图2所示：
重叠部分的面积=S ADEC ﹣S △GEC
=×（2+2）×4﹣
=8﹣2
=6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是轴对称变换，重叠部分的面积转化为S ADEC ﹣S △GEC 是解题的关键．
21．如图，△ABC 是等边三角形，AD 为中线，AD=AE ，E 在AC 上，求∠EDC 的度数．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】先根据△ABC 是等边三角形，AD 为中线可得出AD ⊥BC ，∠CAD=30°，再由AD=AE 可知∠ADE=∠AED ，根据三角形内角和定理即可求出∠ADE 的度数，故可得出∠EDC 的度数．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，AD 为中线，
∴AD⊥BC，∠CAD=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED===75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
22．美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图，他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】证明题．
【分析】此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
【解答】解：因为，
又因为
所以=，
得c2=a2+b2．
【点评】此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
23．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的性质；直角三角形全等的判定．
【专题】证明题．
【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．
根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°．
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DF=DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．
24．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
25．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN 的周长=AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm；
（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：CD=2BE+DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；
（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．
【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠EBA=∠ACF，
∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），
∴AE=AF；
（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，
∴∠BED=∠AGD=90°，
∵点D是AB的中点，
∴BD=AD．
∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），
∴ED=GD，BE=AG，
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE=45°
∴∠FAG=45°
∴∠GAF=∠GFA，
∴GA=GF，
∴CF=BE=AG=GF，
∵CD=DG+GF+FC，
∴CD=DE+BE+BE，
∴CD=2BE+DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
27．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】计算题；动点型．
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB 的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=6；当P点在AB上，Q在AC 上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
【解答】解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2，
∵∠C=90°，
∴PB==，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD===1.8，
所以BP=2PD=3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3=3，
∴t=2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8=6，
∴t=6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，△BCP为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．
28．（1）如图（1），在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在线段BA、AB的延长线上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE= 130°；
（2）如图（2），在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；
（3）在△ABC中，AB＞AC＞BC，∠ACB=80°，点D、E分别在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠求DCE 的度数（直接写出答案）；
（4）如图（3），在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC．请根据题意把图形补画完整，并在图形的下方直接写出△DCE的面积．（如果有多种情况，图形不够用请自己画出，各种情况用一个图形单独表示）．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠D，∠BCE=∠E，由三角形的内角和得到∠CAB+∠
CBA=100°，根据三角形的外角的性质得到∠CDA+∠BCE=（∠CAB+∠CBA）=50°，即可得到结论；（2）根据三角形的内角和和外角的性质即可得到结论；
（3）点D、E分别在直线AB上，除去（1）（2）两种情况，还有两种情况，如图3，由（1）知，∠D=
CAB，由（2）知∠CEB=，列方程即可求得结果．
（4）在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，过C作CF⊥AB与F，根据勾股定理求得AB边上的高CF=12，然后根据三角形的面积公式即可强大的结论．
【解答】解：（1）∵AD=AC，BE=BC，
∴∠ACD=∠D，∠BCE=∠E，
∵∠ACB=80°，
∴∠CAB+∠CBA=100°，
∴∠CDA+∠BCE=（∠CAB+∠CBA）=50°，
∴∠DCE=130°，
故答案为：130°．
（2）∵∠ACB=80°，
∴∠A+∠B=100°，
∵AD=AC，BE=BC，
∴∠ACD=∠ADC，∠BEC=∠BCE，
∴∠ADC=，∠BEC=，
∴∠ADC+∠BEC=180°﹣（∠A+∠B）=130°，
∴∠DCE=50°；
（3）点D、E分别在直线AB上，除去（1）（2）两种情况，还有两种情况，如图3，
由（1）知，∠D=CAB，由（2）知∠CEB=，
∴∠CEB=∠D+∠DCE，
∴=CAB+∠DCE，
∴∠DCE=40°，。