2019高中数学阶段复习课 第1课 集合学案 新人教A版必修1

第一课 集合
[核心速填]
1．集合的含义与表示
(1)集合元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：属于(∈)，不属于()．
(3)自然数集：N ；正整数集：N *或N ＋；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R.
(4)集合的表示方法：列举法、描述法和区间．
2．集合的基本关系
子集A ⊆B ⎩⎪⎨⎪⎧ 真子集A B
相等A ＝B (2)子集个数结论：
①含有n 个元素的集合有2n 个子集；
②含有n 个元素的集合有2n －1个真子集；
③含有n 个元素的集合有2n －2个非空真子集．
3．集合间的三种运算
(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }．
(2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }
(3)补集：∁U A ＝{x |x ∈U 且x A }．
4．集合的运算性质
(1)并集的性质：A ⊆B ⇔A ∪B ＝B .
(2)交集的性质：A ⊆B ⇔A ∩B ＝A .
(3)补集的相关性质：A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅.∁U (∁U A )＝A .
[体系构建]
[题型探究]
集合的基本概念
(1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
(2)已知集合A ＝{0，m ，m 2－3m ＋2}，且2∈A ，则实数m 为( ) A ．2 B ．3
C ．0或3
D ．0,2,3均可 (1)C (2)B [(1)逐个列举可得x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 中的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．
(2)由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾；若m 2
－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．] 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么如本例
中集合对点集对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性 [跟踪训练]
1．下列命题正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；
②集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ，y )|y ＝x 2
－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集.
【导学号：37102076】 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
A [由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错
误；③中⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二，四象限的点，还可表示原点，故错误，综合没有一个正确，故选A.]
集合间的基本关系
已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，若A ⊆B ，且B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．
思路探究：A ⊆B ――→结合数轴
得到关于m 的不等式―→得m 的取值范围
[解] 若A ⊆B ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ m －6≤－22m －1≥5，解得3≤m ≤4.即m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}．
母题探究：1.把本例条件“A ⊆B ”改为“A ＝B ”，求实数m 的取值范围．
[解] 由A ＝B 可知⎩⎪⎨⎪⎧ m －6＝－22m －1＝5，无解，即不存在m 使得A ＝B .
2．把本例条件“A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}”改为“B ⊆A ，B ＝{m ＋1≤x ≤2m －1}”，求实数m 的取值范围．
[解] ①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .
②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，
2m －1≤5，解得2≤m ≤3.
由①②得，m 的取值范围是{m |m ≤3}． ∅：端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题提醒：求其中参数的取值范围时，要注意等号是否能取到
集合的基本运算
设U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，a 为实数，
(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )．
(2)若B ∩C ＝C ，求a 的取值范围.
【导学号：37102077】
[解] (1)因为A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，所以∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，A ∪(∁U B )＝{x |x ≤3或x ≥4}．
(2)因为B ∩C ＝C ，所以C ⊆B ，因为B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若C ＝∅，则a ＋1<a ，无解，所以C ≠∅，所以2<a ，a ＋1<4，所以2<a <3. 看元素组成提.
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和
[跟踪训练]
2．已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}，C＝{x|x>a}．
(1)求A∪B，(∁R A)∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
[解](1)∵A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}．
∴A∪B＝{x|4≤x<10}．
又∁R A＝{x|x<4或x≥8}，
∴(∁R A)∩B＝{x|8≤x<10}．
(2)如图
要使A∩C≠∅，则a<8.。