河北省衡水市冀州中学高三数学上学期第四次月考试题

冀州中学高三数学第四次月考试卷（文）
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数的图像与性质、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数、圆锥曲线、频率分布直方图、充分、必要条件、集合、复数、参数方程、绝对值不等式等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.
【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
【题文】1．已知集合2
{|1},{}P x x M a =≤=，若P M P =U ，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．[1,)+∞ C ．[1,1]- D ．(,1][1,)-∞-+∞U
【知识点】集合的运算A1 【答案】【解析】C
解析：因为P M P =U ，所以M P ⊆，则2
1,11a a ≤-≤≤，所以选C.
【思路点拨】先由集合之间的关系得到集合M 是集合P 的子集，得到实数a 满足的条件，即可解答. 【题文】2．已知
11ai
i
+-为纯虚数（i 是虚数单位）则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-
【知识点】复数的运算L4 【答案】【解析】A 解析：因为
()()11111122ai a a i i +=-++-，若
11ai
i
+-为纯虚数，则a=1，所以选A. 【思路点拨】可先利用复数的除法运算计算所给的复数，再利用纯虚数的概念得到实数a 的
值.
【题文】3．在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且2=，s r +=，则s r += （ ）
A ．
32 B ．3
4
C ．3-
D ．0 【知识点】向量的加减运算F1
【答案】【解析】D
解析：因为2CD DB =u u u r u u u r ，所以()
22223333
CD CB AB AC AB AC ==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则
22033r s ⎛⎫
+=
+-= ⎪⎝⎭
，所以选D. 【思路点拨】结合已知条件，把向量CD uuu r 用向量,AB AC u u u r u u u r
,再由平面向量基本定理可得r,s ，
即可解答.
【题文】4．“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【知识点】两线垂直 充分、必要条件A2 H2 【答案】【解析】A
解析：若m=-1，则两直线的斜率1313
-⨯=-，所以两直线垂直，则充分性满足，若两直线垂直，则有()3210m m m +-=，得m=0，或m=-1，所以不一定得m=0，则必要性不满足，综上知选A .
【思路点拨】判断充分、必要条件时，可先明确命题的条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.
【题文】5．函数()f x 在定义域R 上的导函数是()f x '，若()()2f x f x =-，且当
(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<，设()0a f =
、b f
=、()2
log 8c f =，则
( )
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b <<
D ．a c b << 【知识点】导数的应用 函数的单调性B3 B12 【答案】【解析】C
解析：因为当(),1x ∈-∞ 时，()()10x f x '-<，得()'0f x >,所以函数在(),1x ∈-∞单调递增，又()()2f x f x =-，得函数f(x)图象关于直线x=1对称，所以函数f(x)图象上的点距离x=1越近函数值越大，又2log 83=，所
以2log 81101->->，
得
()()2
0log 8f
f f >>，则选C.
【思路点拨】抓住函数的单调性与对称性，利用函数的图象特征判断函数值的大小关系即可. 【题文】6．在ABC ∆中，若1tan tan >B A ，则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】A
解析：因为1tan tan >B A ，所以A,B 都为锐角，又
()tan tan tan tan 0tan tan 1
A B
C A B A B +=-+=
>-，所以角C 为锐角，则三角形ABC 为锐角三角形，
所以选A.
【思路点拨】可通过三角函数值的符号判断角的范围，进而判断三角形的形状.
【题文】7．设变量,x y 满足约束条件220
22010
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则1+-=x x y s 的取值范围是 （ ）
A.21,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.]1,2
1[-
【知识点】简单的线性规划E5
【答案】【解析】D
解析：x,y 满足的约束条件表示的平面区域如图为三角形ABC 表示的区域，A,C 坐标为(1,0),(0,1)而1
111
y x y s x x -+=
=-++，设点M(-1，-1),由图可知MC 位置斜率最大为11201+=+,MA 位置斜率最小为011112+=+，所以
1111,2,1,11212y y x x ++⎡⎤⎡⎤
∈-∈-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
，所以选D ， .
【思路点拨】可先对分式1
+-=
x x
y s 进行转化，再利用其几何意义进行解答. 【题文】8．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,3b =,
则c =( ) A ．1
B ．2
C 2
D ．2或1
【知识点】解三角形C8 【答案】【解析】B
解析：因为2B A =,1a =,3b =，由正弦定理得
13sin A =3
cos A =，又A 为三角形内角，所以得 A=
6π、 B=3π、 C=2
π
，所以222c a b =+= ，故答案为B. 【思路点拨】由角边关系易想到正弦定理，由正弦定理突破是关键.
【题文】9. 已知函数1()122
x x f x +⎧⎪
=⎨-⎪⎩()(01)1x x ≤<≥ ()(01)1x x ≤<≥ ，设0a b >≥，若
()()f a f b =，则()b f a ⋅的取值范围是( )
A ．(]1,2
B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡,243
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛,221
D ． ⎥⎦
⎤ ⎝⎛,243
【知识点】函数的单调性B3
【答案】【解析】B
解析：由题可知()f x 在各段上分别单调递增，若()()f a f b =且0a b >≥，则必有1a ≥，
01b ≤<，因为()312f =
，()32f b =时b=12，所以()131,222
b f a ≤<≤<，得()b f a ⋅3,24⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，故答案为B
.
【思路点拨】可结合所给函数作出其图像，再利用函数的单调性求范围.
【题文】10．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双
曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12
AB BC =u u u r u u u r
，则双曲线的离心率是（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．10
【答案】【解析】C
解析：因为A 的坐标为（a,0）,则直线方程为x+y-a=0,直线与两渐近线的交点
2,a ab B a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，2,a ab C a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则有22222222,a b a b BC a b
a b ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭u u u r ，
,ab ab AB a b a b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
u u u r ,因2AB BC =u u u r u u u r ,得224a b =，解得5e = ，故答案为C.
【思路点拨】由已知条件得到a,b,c 关系，再求离心率即可.
【题文】11．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①
0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >。

其中正确命
题的个数是（ ）
A ． 3
B ．4
C ． 5
D ．1 【知识点】等差数列D2 【答案】【解析】A
解析：因为n S 是等差数列
{}
n a 的前n 项和，且675S S S >>，则有
667765656,0,,a 0S S a a S S a S >+<=+>>，所以0d <，①正确；116110s a => 故②正
确；因为75670S S a a -=+>，所以()126760S a a =+>，所以③错误；数列{}n S 中6s 最
大，故④错误；因为670a a +>，所以67a a >，故⑤正确，综上①②⑤正确，故答案为A. 【思路点拨】抓住等差数列的性质，寻求前n 项和与项的关系，结合项的符号进行判断即可. 【题文】12．已知函数*()21,f x x x =+∈N ，若*0,x n ∃∈N ，使
000()(1)()63f x f x f x n +++++=L 成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()
f x 的“生成点”共有（ ）
A ．2个
B .3个
C .4个
D . 5个 【知识点】数列求和A1 【答案】【解析】D4 解析：由f （x 0）+f （x 0+1）+…+f （x 0+n ）=63，得（2x 0+1）+[2（x 0+1）+1]+…+[2（x 0+n ）+1]=63，所以2（n+1）x 0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x 0+n+1）=63，由*
0,x n N ∈,则n+1=7或n+1=3,0219x n ++=，或02121x n ++=，得06,1n x ==或02,9n x ==，所以函数 f （x ）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故选A.
【思路点拨】可先结合题意求出数列的和，再结合*
0,x n N ∈确定两个值，即可解答. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，将答案填在答题卡中的相应位置． 【题文】13．已知向量b a ,满足6)()2(-=-•+b a b a ，且2,1==b a ，则a 在b 上的投影为_______________. 【知识点】向量的数量积F3 【答案】【解析】
1
2
解析：6)()2(-=-•+b a b a 展开可得2226a b a b -+⋅=-r r r r 所以cos 1a b θ=r r
，
1cos 2a θ=r ，即a r 在b r 上投影为1
2
.
【思路点拨】抓住向量的投影的含义，结合已知条件进行求值即可.
【题文】14．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图 中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，
则该器皿的表面积是
【知识点】三视图G2 【答案】【解析】24π+
解析：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积1s 和半球的表面积2s ，
21622124s ππ=⨯⨯-⨯=- 221
4122
s ππ=⨯⨯= ，故1224s s s π=+=+
【思路点拨】由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征.
【题文】15. 已知函数()()
23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________. 【知识点】对数函数的性质B7 【答案】【解析】[-3,-2]
解析：由题意得1
2150
a
a a ⎧-≥⎪⎨⎪+++≥⎩，解得-3≤a ≤2，所以实数a 的范围是[-3,-2].
【思路点拨】本题可结合复合函数的单调性规律：在定义域内同增异减，进行解答. 【题文】16．已知圆()()()2
2
:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P 、Q 两点，则当CPQ ∆的面积最大时，实数a 的值为 ．
【知识点】直线与圆的位置关系H4 【答案】
解析
：因为△CPQ 为等腰三角形，设∠PCQ=θ，则1111sin 22CPQ
S θ∆=⨯⨯⨯≤，当θ=2
π时等号成立，此时C 到直线的距离为
22=
，解得2a =. 【思路点拨】一般遇到直线与圆位置关系问题，通常转化为圆心到直线的距离进行解答.
【题文】三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）.
【题文】17．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列2121
1
{
}n n a a -+的前n 项和.
【知识点】等差数列 数列求和D2 D4
【答案】【解析】(1)=2.n a n -；(2)
12n
n
- 解析：(1)设{a n }的公差为d,则S n =1(1)
2
n n na d -+.
由已知可得111330,
1, 1.5105,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得 ————4分
{}n =2-.n a a n 故的通项公式为 ————6分
(2)由(I)知
212111111
(),(32)(12)22321
n n a a n n n n -+==----- ————8分
从而数列21211n n n a a -+⎧
⎫⎨
⎬
⎩⎭
的前项和为1111111-+-++)2-1113232112n
n n n -=---L （.12分 【思路点拨】一般遇到数列求和问题，通常先确定数列的通项公式，再结合通常公式特征确
定求和思路. 【题文】18．．(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是︒=∠60DAB 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ,G 为AD 的中点. （1）求证：BG ⊥PD ；
（2）求 点G 到平面PAB 的距离。

【知识点】垂直关系 点到面的距离G5 G11 【答案】【解析】（1）略；（2）
a 10
15
解析：（1）连接PG ，∴AD PG ⊥，∵平面⊥PAG 平面ABCD ∴⊥PG 平面ABCD ，∴GB PG ⊥，
又AD GB ⊥，∴⊥GB 平面PAD ，所以GB ⊥PD …………………………6分 （2）设点G 到平面PAB 的距离为h,△PAB 中，,2
6,a PB a AB PA =
==∴面积S=2
815a ∵PGB A PAB G V V --=，∴a a h a 2
3833181531
22⨯⨯=⨯⨯
，∴=h a 1015
……… 12分 【思路点拨】证明线线垂直通常转化为线面垂直进行证明，求点到面的距离可利用等体积法
进行求值.
19．(本小题满分12分）
我校高三年级进行了一次水平测试.用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩,准备进行分析和研究.经统计成绩的分组及各组的频数如下:
[40,50), 2; [50,60), 3; [60,70), 10; [70,80), 15; [80,90), 12; [90,100], 8. （Ⅰ）完成样本的频率分布表；画出频率分布直方图. （Ⅱ）估计成绩在85分以下的学生比例；
（Ⅲ）请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数.（精确到0.01） 分组 频数 频率 [40,50) 2 [50,60) 3 [60,70) 10 [70,80)
15
【知识点】用样本估计总体I2 【答案】【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）72%；（Ⅲ）众数为75、中位数约为76.67、平均数为76.2. 解析：
（Ⅰ）频率分布表
(Ⅱ)成绩在85分以下的学生比例：72%
(Ⅲ)众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的一个矩形最高，故70与80的中点是75，众数是75； 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标，第一个矩形的面积是0.04，第二个矩形的面积是0.06，第三个矩形的面积是0.2，最后二个矩形的面积和是0.4，故将第四个矩形分成4：3即可，∴中位数是76.67；所有的数据的平均数为45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+65×0.16=76.2．故众数为75、中位数约为76.67、平均数为76.2．
【思路点拨】众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y 轴的直线横坐标进行解题即可，利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．. 【题文】20．（本小题满分12分）
已知直线1y x =-+与椭圆122
22=+b y a x ()0a b >>相交于A 、B 两点．
（1）若椭圆的离心率为3
3
，焦距为2，求线段AB 的长；
（2）若向量OA u u u r 与向量OB u u u r 互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率]2
2
,21[∈e 时，
求椭圆长轴长的最大值． 【知识点】椭圆H5 【答案】【解析】 （183
（2）6 解析：（1）3
3
=
e Θ，2c=2，即33=a c ∴3=a 则222=-=c a b
∴椭圆的方程为12
32
2=+y x ， 2分
将1y x =-+代入消去y 得：03652=--x x 设),(),,(2211y x B y x A
∴AB
4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A
0=⋅∴⊥Θ，即02121=+y y x x 6分
y 得：0)1(2)(222222=-+-+b a x a x b a 由0)1)((4)2(222222>-+--=∆b b a a a ，整理得：122>+b a
又222212b a a x x +=+，2
22221)1(b
a b a x x +-= 1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y 8分
由02121=+y y x x ，得：01)(22121=++-x x x x
012)1(22
222222=++-+-∴b a a b a b a ，整理得：022
222=-+b a b a 222222b a c a a e =-=-Q 代入上式得：221112e a -+=，)111(212
2
e a -+=∴
10分 43121,2141,222122≤-≤∴≤≤∴≤≤e e e Θ
2367,311137,211342
2
2≤≤∴≤-+≤∴≤-≤∴
a e
e ，条件适合122>+b a ， 由此得：
623
42
,26642≤≤∴≤≤a a ，故长轴长的最大值为6． 12分 【思路点拨】遇到直线与圆锥曲线位置关系问题，一般设出方程，联立方程结合韦达定理建
立系数的对应关系，再进行解答. 【题文】21．(本小题满分12分）
已知函数x
x
x f y ln )(=
=。

（Ⅰ）求函数)(x f y =的图像在e
x 1
=处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f y =的最大值;
（Ⅲ）设实数0>a ，求函数)()(x af x F =在[]a a 2,上的最小值 【知识点】导数的应用B12
【答案】【解析】（Ⅰ）e x e y 322
-=；（Ⅱ）
1e ；（Ⅲ）
1
ln 22a a
解析：（1）)(x f Θ定义域为()+∞,0
2/x
lnx -1(x)=∴f ,e e f -=)1(Θ,又 2/2)1(e e f k ==Θ ∴函数)(x f y =的在e
x 1=处的切线方程为： )1(22e
x e e y -=+，即e x e y 322-= 4分 （2）令0)(/=x f 得e x =
Θ当),0(e x ∈时，0)(/>x f ，)(x f 在),0(e 上为增函数
当),(+∞∈e x 时，0)(/<x f ，在),(+∞e 上为减函数
e
e f x f 1)()(max ==∴ 8分 （3）Θ0>a ，由（2）知：)(x F 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减。

∴)(x F 在[]a a 2,上的最小值)}2(),(min{)(min a F a F x f = 2
ln 21)2()(a a a F a F =-Θ ∴当20≤<a 时，,0)2()(≤-a F a F =)(min x f a a F ln )(=
当a <2时0)2()(>-a F a F ，=)(min x f a a
a F 2ln 21)2(=
12分 【思路点拨】理解切线的斜率与函数的单调性与导数的关系是解题的关键，求函数的最值时，可先利用导数判断函数的单调性，结合函数的单调性确定函数的最值.
请考生在第23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
【题文】23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）． （1）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若1C 上的点P 对应的参数Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩
（t 为参数）距离的最小值． 【知识点】参数方程N3
径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆；
解析：：（1）对两个参数方程消参得()()22
2212:431,:1649
x y C x y C ++-=+=，1C 为圆心是(-4,3)，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆；（2）当2t π
=时，()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-，故324cos ,2sin 2M θθ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭
，3C 为直线x －2y －7=0，M 到
3C
的距离3sin 13135
d θθ=--≤-=，从而当43cos ,sin 55
θθ=
=时，d . 【思路点拨】当遇到由曲线的参数方程解答问题不方便时，可化成普通方程进行解答.
【题文】24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数52)(---=x x x f
（1）求函数)(x f 的值域
（2）求不等式:158)(2+-≥x x x f 的解集．
【知识点】绝对值不等式N4
【答案】【解析】 （1）[-3,3] ；（2）}635{≤≤-x x
解析：（1）因为-3
2()27253
5x f x x x x ≤⎧⎪=-<<⎨≥⎪⎩
当2＜x ＜5时，-3＜f(x) ＜3，所以3)(3≤≤-x f ，即函数值域为[-3,3]. 5分
（2）由（1）可知， 当158)(,22+-≥≤x x x f x 时的解集为空集；
当52<<x 时，158)(2+-≥x x x f 的解集为：}535{<≤-x x ；
当5x ≥时，158)(2+-≥x x x f 的解集为：}65{≤≤x x ；
综上，不等式158)(2+-≥x x x f 的解集为：}635{≤≤-x x ； 10分
【思路点拨】一般遇到绝对值函数，通常先改写成分段函数，再结合各段对应的关系式进行
解答.。