分数阶P-Laplacian算子反周期边值问题解的唯一性

2020年12月伊犁师范学院学报（自然科学版）
Dec .2020
第14卷第4期Journal of Yili Normal University （Natural Science Edition）Vol.14No.4
分数阶P -Laplacian 算子反周期边值问题解的唯一性
彭田，王佳丽，胡卫敏*
（伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁835000）
摘要：研究了具P -Laplacian 算子的Caputo 分数阶微分方程反周期边值问题解的存在唯一
性.根据反周期边值条件，构造了该问题的格林函数，利用P -Laplacian 算子的逆算子非线性分析的原理，得到了该分边值问题解的存在唯一性.
关键词：Caputo 分数阶微分；P -Laplacian 算子；反周期；解的存在唯一性中图分类号：O175.8
文献标识码：A
文章编号：1673-999X （2020）04-0006-07
0引言
最近几年，许多学者越来越关注分数阶微分方程的问题，例如在控制系统、生物工程、物理等众多科学
领域都有所运用［1-3］.另外，很多学者研究了分数阶微分方程在反周期边值条件下解的存在性［4-6］
.
彭和刘等［5］
研究了分数阶微分方程反周期的边值问题
{
C
D q 0
+
x ()t =f ()t ,x ()t ,t ∈[]0,T ,x ()0=-x ()T ,x ′()0=-x ′()T ,C D β
0+
()0=-C
D β0
+
()T （1）
解的存在性.其中C
D q 0
+
x ()t 是函数x ()t 的q 阶Caputo 分数阶微分，作者利用不动点定理得到方程解的存在性和唯一性.
同时，由于P -Laplacian 算子应用的广泛性，针对含P -Laplacian 算子边值问题解的存在性研究也有了一
定的成果［7-9］
.
Ding 和Wei ［8］
给出了具P -Laplacian 算子的反周期边值问题
{
()
ϕp (
)C
D α0
+
u ()t ′=y ()t ,t ∈[]0,1,u ()0=-u ()1,C D β
0+
u ()0=-C D β0+
u ()1,C D γ0+
u ()0=-C
D γ0+
u ()
1（2）
解的存在性.其中C D β0+
u ()t ，C
D γ0
+
u ()t 分别表示函数u ()t 的β,γ阶的Caputo 分数阶微分，2<α≤3,0<β<1<γ<2,φp ()s =|
|s p -2
s ,p >1,ϕp -1=ϕq .作者利用非线性分析中的相关定理得到了该边值问题解的存在唯一性.
目前，对带P -Laplacian 算子的分数阶微分方程反周期边值问题的研究相对较少.受上述文献的启发，本文主要研究带P -Laplacian 算子的分数阶微分方程反周期边值问题
收稿日期：2020-10-15
基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金资助项目（2019D01C331）.
作者简介：彭田（1995—），女，新疆新源人，硕士研究生，研究方向：微分方程理论与应用；王佳丽（1996—），女，河南鹿邑人，硕士研究生，研究方向：微分方程理论与应用研究.
*
通信作者：胡卫敏，男，教授，硕士生导师.
彭田，王佳丽，胡卫敏：分数阶P-Laplacian 算子反周期边值问题解的唯一性
第4期{
()ϕp
(
)C
D α0
+
u ()t ′=f ()t ,u ()t ,t ∈[]0,1,
u ()0=-u ()1,u ′()0=-u ′()1,C
D β
0+
u ()0=-C
D β0+
u ()
1（3）
解的存在唯一性.其中ϕp -1=ϕq ,2<α≤3,1<β<2,C
D β0
+
u ()t 为Caputo 分数阶微分，f :[]0,1×[0,∞)→[0,∞)是连续函数.首先给出与分数阶微分方程相关的定义和引理，然后给出文章所讨论问题的格林函数，再利用P -Laplacian 算子的性质、引理1.3、引理1.4得到该方程解的存在唯一性.
1
预备知识
定义1.1
［10］
α>0连续函数y :(a ,b ]→R 的α阶的Riemann -Liouville 积分定义为I α0+
y (t )=
1
Γ(α)
∫0
t (t -s )
α-1
y (s )ds,t >0.
定义1.2
［10］
α>0连续函数y :(a ,b ]→R 的α阶的Caputo 微分定义为C
D α0
+
y (t )=1
Γ(n -α)
∫0
t (t -s )
n -α-1
y (n )(s )ds ,t ∈[a ,b ].
这里n =[α]+1.
引理1.1［11］
α>0，则
I α0+
C
D α0
+
u (t )=u (t )+c 0+c 1t +c 2t 2+⋯+c n t n ,c i ∈R ,i =0,1,2,⋯,n -1.这里C i ∈R ,i =1,2,3,⋯n ，其中n 是大于或者等于n 的整数.
引理1.2［11］
P -Laplacian 算子ϕp 具有下列性质：
（1）若1<p <2,xy >0并且||x ,||y ≥m >0,则下列不等式成立：
||ϕp
(x )-ϕp (y )≤(p -1)m p -2||x -y .
（2）若p >2，
||x ,||y ≤M ,则下面不等式成立：||ϕ
p
(x )-ϕp (y )≤(p -1)M P -2||x -y .
引理1.3［12］（Schauder 不动点定理）设Banach 空间E 中有有界凸闭子集D .若A :D →D 是全连续算子，
则算子A 在D 中有一个不动点.
引理1.4［12］（Banach 压缩映射原理）设D 是Banach 空间，若A :D →D 是压缩映射，则算子A 在D 中存在
唯一一个不动点.
引理1.5若2<α≤3,1<β<2,分数阶微分方程反周期边值问题
{
()ϕp
(
)C
D α0
+
u ()t ′=h ()t ,t ∈[]0,1,
u ()0=-u ()1,u ′()0=-u ′()1,C
D β
0+
u ()0=-C
D β0+
u ()
1（4）
有唯一解
u ()t =
∫
1G ()t ,s ϕq
()∫0
s h ()τd τds ，
G ()t ,s =ìíî
ïï
ïïïïïï2()t -s α-1-()1-s α-12Γ()α+()1-t ()1-s α-22Γ()α-1-()1-t +2t 2()1-s α-β-1Γ()
3-β4Γ()α-β,s ≤t ;-()1-s α-12Γ()α+()1-t ()1-s α-22Γ()α-1+()1-t +2t 2()1-s α-β-1
Γ()3-β4Γ()α-β,t ≤s.证明：对方程（4）两边同时积分得
ϕp (
)C
D α
0+
u ()t =
∫0
t h ()s ds ，
7
伊犁师范学院学报（自然科学版）
2020年
利用ϕp
-1
=ϕq ，
可得C
D α
0+
u ()t =ϕq
()∫0
t
h ()s ds ，
对上式两端同时进行α阶积分，由引理1.1有u ()t =1
Γ()
α∫
+
t ()
t -s α-1
ϕq
()∫0
s h ()τd τds +c
+c 1t +c 2t 2.
再由Caputo 导数的性质，
C
D β0
+
t r =Γ()r +1Γ()
r +1-αt r -2,C D β
0+
c =0，
C
D β0+
u ()t =
1
Γ()
α-β∫0
t
()t -s ϕq
()∫0
s
h ()τd τds +c 1
t 1-β
Γ()
α-β+
2t α-βΓ()
3-β,
由反周期边值条件u ()0=-u ()1可得2c 0=-()1
Γ()
α∫0
t ()
t -s α-β-1
ϕq
()∫0s
h ()τd πds +c
1
+c 2,
由反周期边值条件u ′()0=-u ′()1可得
2c 1=-(
)1
Γ()
α()α-1∫0
1()
1-s α-2
ϕq
()∫0
s h ()τd τds +c 2
,
再由反周期边值条件C
D β
0+
u ()0=-C
D β0+
u ()1可得c 2=-
Γ()
3-β2Γ()
α-β∫0
1()
1-s α-β-1
ϕq
()∫0s h ()τd τds ,
由上可得
c 0=-(
)
1
2Γ()
α∫0
1()
1-s α-β-1
ϕq
()
∫
0s
h ()τd τds -1
2Γ()
α-1∫01()
1-s α-2
ϕq
()∫0
s h ()τd τds +
Γ()
3-β4Γ()
α-β∫01()
1-s α-β-1
ϕq
()∫0
s h ()τd τds ,
c 1=-1
2Γ()α-1∫0
1()
1-s α-2
ϕq
()∫0
s
h ()τd τds +Γ()
3-β4Γ()α-β∫0
1()
1-s α-β-1
ϕq
()∫0
s h ()τd τds ,
c 2=-Γ()
3-β2Γ()
α-β∫0
1()
1-s α-β-1
ϕq
()∫0s h ()τd τds.
因此有
u ()t =
1
2Γ()
α()∫
t 2()
t -s α-1
-()
1-s α-1
ϕq
()
∫
0s
h ()τd τds +
()1-t 2Γ()α-1∫
t ()1-s α-2
ϕq ()∫0
s
h ()τd τds
-()1-t +2t 2Γ()3-β4Γ()
α-β∫0
t
()1-s α-β-1
ϕq
()∫0
s
h ()τd τds -1
2Γ()α∫t
1()1-s α-1
ϕq
()∫0
s
h ()τd τds +1-t
2Γ()α-1∫t
1()1-s α-2
ϕq ()∫0
s h ()τd τds +()1-t +2t 2
Γ()3-β4Γ()
α-β∫t
1()1-s α-β-1
ϕq
()∫0
s
h ()τd τds .故u ()t =∫0
1G ()t ,s ϕq
()∫0
s
h ()τd τds .得证.
2主要结论
记E =C ()[]0,1,R ,在E 中定义范数 u =max 0≤t ≤1||u ()t ，则E 为Banach 空间.定义算子F :E →E 为
()Fu ()t =
1
Γ()
α∫
t ()
t -s α-1
ϕq
()
∫
0s
f ()τ,u ()τd τds -1
2Τ()
α∫
1()
1-s α-1
ϕq
()∫0
s f ()τ,u ()τd τds
8
彭田，王佳丽，胡卫敏：分数阶P-Laplacian 算子反周期边值问题解的唯一性
第4期+
()1-t 2Γ()α-1∫
1
()1-s α-2
ϕq ()
∫0
s f ()τ,u ()τd τds -()1-t +2t 2Γ()3-β4Γ()
α-β∫01()1-s α-β-1
ϕq ()∫0
s f ()τ,u ()τd τds,
则算子F 的不动点即为（4）的解.
为得到此结果，假设下列条件被满足：（A 1）
f :[]0,1×[)0,∞→R 是连续有界函数，（A 2）任意t ∈[]0,1,q >2,u ∈E,存在一个正常数L ，使得||f ()t ,u ≤L ,（A 3）任意t ∈[]0,1,1<q <2,u ∈E ,存在λ<0与0<δ<
-1
q -2
，使得-λδt δ-1≤||f ()t ,u ,（A 4）任意t ∈[]0,1,u ,v ∈E ,有||f ()t ,u ()t -f ()t ,v ()t ≤d u -v .定理2.1假设(A 1)-(A 2)成立，则方程（4）有解u ∈E .证明：证算子F 满足Schauder 不动点定理的条件：第一步：验证算子F 是连续的：u ,v ∈E ,任意t ∈[]0,1,q >2，结合(A 2)有
|
||||
|
∫
t
f ()s ,u ()s ds ≤
∫0t ||f ()s ,u ()s ds ≤L .
（5）
由引理1.2和（5）有
||()Fu ()t -()Fv ()t ≤
1
Γ()
α∫
t ()
t -s α-1
|
||||
|ϕq ()∫
s f ()τ,u ()τd τ-
∫0
s
f ()τ,v ()τd τds
+
12Γ()
α∫
1()
1-s α-1
|
|
|||
|ϕq ()
∫
o
s f ()τ,u ()τd τ-
∫
0s
f ()τ,v ()τd τds +
()1-t 2Γ()α-1∫
1()1-s α-2|
|
||
||ϕq ()
∫
s f ()τ,u ()τd τ-
∫
0s
f ()τ,v ()τd τds +()1-t +2t 24Γ()α-β∫0
1()1-s α-β-1|
|
||
||ϕq ()
∫
s f ()τ,u ()τd τ-∫
0s
f ()τ,v ()τd τds ≤()q -1L
q -2
d u -v ||||
1
Γ()
α∫
t ()
t -s α-1
ds +
12Γ()
α∫
1()
1-s α-1
ds
||
||+
1-t 2Γ()α-1∫0
1()
1-s α-1
ds +
()1-t +t 2Γ()3-β4Γ()α-β∫01()1-s α-β-1ds =()q -1L
q -2
d u -v éëêêùû
úú2t -1Γ()α+1+1-t
2Γ()α+
()1-t +2t 2Γ()3-β()α-β4Γ()α-β≤()q -1L q -2d u -v éë
êêùûúú3
Γ()α+1+2Γ()3-β4Γ()α-β+1.
令A =()q -1L
q -2
d éëêêù
û
úú3Γ()α+2Γ()3-β4Γ()α-β+1，则 ()Fu ()t -()Fv ()t ≤A u -v .根据(A 3)t ∈[]0,1,u ∈E ,1<q <2,可得
∫
t f ()s ,u ()s ds ≥
∫0
t -λδt
δ-1
ds ≥λt δ.（6）
结合引理1.2和（6）有
9
伊犁师范学院学报（自然科学版）2020年
||()Fu ()t -()Fv ()t ≤()q -1()
-λq -2
d u -v ||||
1
Γ()
α∫
t ()
t -s α-1
ds +
1
2Γ()
α∫0
1()
1-s α-1
ds
||
||+
1-t 2Γ()α-1∫0
1()
1-s α-2
ds +
()1-t +2t 2Γ()3-β4Γ()α-β+1∫01()1-s α-β-1
ds ≤()q -1()
-λq -2
u -v ||||
1
Γ()
α∫
t ()t -s α-1s
δ()q -2+1
ds +
1
2Γ()
α∫
1()
1-s α-1
s δ()q -2+1ds
+()1-t 2Γ()α-1∫
01()1-s α-2s δ()q -2+1ds ||||
+()1-t +2t 2Γ()3-β4Γ()α-β∫
01()1-s α-β-1s δ()q -2+1
ds ≤()q -1()
-λq -2
d
u -v (
)
3
2Γ()α+1+2Γ()3-β4Γ()
α-β+1.
令A 1=()q -1()-λq -2
d
3
2Γ()α+1+2Γ()3-β4Γ()
α-β+1,有||()Fu ()t -()Fv ()t ≤A 1 u -v ，则算子F 是连续
的.
再证算子F 是有界的：
设V 是E 中的有界集，存在l >0, u <l ,存在常数M >0，对任意的t ∈[]0,1,u ∈V 有
||(Fu )(t )≤
1
Γ(α)
∫
t
(t -s )α-1||||
||φq (
∫0
s f (τ,u (τ))d τ)ds
+
12Γ()
α∫
1()
1-s α-1
||||
|
|ϕq ()
∫
0s
f ()τ,u ()τd τds +1-t
2Γ()
α-1∫
1()
1-s α-2
|
|
||
|
|ϕq ()
∫
0s
f ()τ,u ()τd τds +()1-t +2t 2Γ()3-β4Γ()
α-β∫01
()1-s α-β-1
|
|
||||ϕq ()
∫
0s
f ()τ,u ()τd τds ≤
1
Γ(α)
∫
t
(t -s )α-1φq (
∫0
s ||f (τ,u (τ))d τ)ds
+
1
2Γ()
α∫
1()
1-s α-1
ϕq
∫
0s
||f ()τ,u ()τd τds +1-t
2Γ()
α-1∫
1()
1-s α-1
ϕq
∫0
s ||f ()τ,u ()τd τds
+()1-t +2t 2Γ()3-β4Γ()α-β∫01()1-s α-β-1
ϕq ∫0s ||f ()τ,u ()τd τds
≤
L q -1Γ()α+1+L q -12Γ()α+1+L q -1()1-t 2Γ()α+
()1-t +2t 2Γ()3-βL q -1
4Γ()
α-β≤L q -1
(
)
3
Γ()α+1+2Γ()3-β4Γ()
α-β+1=:M .
因此，算子F 是有界的.
最后证明算子F 在E 中的有界集为紧集：
∀t 1,t 2∈[]0,1,0<t 1<t 2<1，有界集V ∈E ,u ∈V ,
|
|()Fu ()t 2-()Fu t 1=||||
(
)
1
Γ()
α∫
t 2()
t 2-s α-1
-1
2Γ()
α∫
t 1()
t 1-s α-1
ϕq
()∫0
s f ()τ,u ()τd τds
10
彭田，王佳丽，胡卫敏：分数阶P-Laplacian 算子反周期边值问题解的唯一性第4期
+
t 2-t 12Γ()
α-1∫0
1()
1-s α-2
ϕq
()∫0s f ()τ,u ()τd τds |
|
||+
t 2-t 1-2t 22+2t 2
14Γ()
α-β∫0
1()
1-s α-β-1
ϕq
()
∫
s
f ()τ,u ()τd τds ≤
L q -1Γ()α||||
|
|∫
t 2()
t 2-s α-1
ds -
∫
t 1()
t 1-s α-1
ds +|
|||||||
||||L q -1()t 1-t 22Γ()
α-1∫
1()
1-s α-2
ds +
|
|
||||||
||||L q -1()t 2
-t 1
-2t 22
+2t 12
4Γ()α-β∫0
1()
1-s α-β-1
ds =L q -1Γ()α||t 22-t 21+L q -1
2Γ()α-1||t 1-t 2+L q -1||2t 21-2t 22+t 2-t 14Γ()α-β+1=L
q -1
||||||
||2t 22-2t 21+t 1-t 22Γ()α+2t 21-2t 22+t 2-t 14Γ()α-β+1.所以如果t 1→t 2，则()Fu ()t 2→()Fu ()t 1，则F 在E 中的有界集为紧集.
通过上述证明结合Arzela -Ascoli 定理，得出F :E →E 是全连续算子，根据引理1.3，知方程（4）有解.
定理2.2假设()A 1-()A 4成立，如果有
0<d <d 1,d 1=min
{}
1A ,1
A 1
,则问题（4）有唯一解.
证明：对任意的u ,v ∈E ,t ∈[]0,1，根据引理1.2及(A 1)-(A 4)可得：
若q >2，则
||()Fu ()t -()Fv ()t ≤()q -1L q -2d
(
)
3
Γ()α+1-2Γ()3-β4Γ()
α-β+1 u -v =A u -v .
若1<q <2,则||()Fu ()t -()Fv ()t ≤()q -1()
-λq -2
d
u -v (
)
3
2Γ()α+1+2Γ()3-β4Γ()
α-β+1=A 1 u -v .
这里A =()q -1L q -2
d éëêêùûúú3Γ()α+2Γ()3-β4Γ()α-β+1，A 1=()q -1()-λq -2d éëêêùûúú32Γ()α+1+2Γ()3-β4Γ()α-β+1.由（2）可知，A >0,A 1<1，所以F :E →E 是压缩映射，根据引理1.4，算子F 在E 中有唯一的不动点，所以
（4）有唯一解.
3例题
为了说明结果，给出了下面的例子：
例3.1考虑方程
ìí
îïï()
ϕp (
)C D α
0+
u ()t ′=()
t +
12sin u 50,t ∈[]0,1,u ()0=-u ()1,u ′()0=-u ′()1,C D β0+u ()0=-C D β
0+
u ()
1解的唯一性.
解：这里p =
53,α=52,β=32，||f ()t ,u =()
t +12sin u 50,∀()t ,u ∈[]0,1，通过计算可以得到q =5
2
,q >2，很显然f ()t ,u 满足条件()A 1并且||f ()t ,u =()t +12sin u 50≤3
100
.满足()A 2，对任意t ∈[]0,1,u ,v ∈E ，有
||f ()t ,u -f ()t ,v =()
t +12|
|||||sin u 50-sin v 50=()t +12||
||
||||150()
2sin u -v 2cos u +v 211
伊犁师范学院学报（自然科学版）2020年
=()
t +
12||||||1
25sin u -v 2≤3100
||u -v .令d =
3
100
,()A 3成立，因此满足定理2.2的所有条件，根据定理2.2有唯一的解u ∈E .参考文献：
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【责任编辑：张建国】
Uniqueness of Solutions to Anti-periodic Boundary Value Problems of Fractional
Order P-Laplacian Operator
Peng Tian,Wang Jiali,Hu Weimin *
(College of Mathematics and Statistics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China )
Abstract:In this paper,we study the existence and uniqueness of solutions to counter-periodic boundary value problems for fractional differential equations with P-Laplacian operator.According to the counter-periodic boundary condition,the green function of the problem is constructed,and the existence and uniqueness of the solution are obtained by using the inverse operator nonlinear analysis principle of P-Laplacian operator.
Key words:Caputo fractional differential;P-Laplacian operator;the cycle;the existence and uniqueness of solutions
12。