九年级培优一元二次方程组辅导专题训练含详细答案

九年级培优一元二次方程组辅导专题训练含详细答案
一、一元二次方程
1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】
试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可； （2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则
，
（其中
），当
时，
，解这个方程，得
，，∴应将之剪成12cm 和28cm
的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，
∵
， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积
之和为48cm 2，李明的说法正确．
考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
2．已知关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根．
()1求k 的取值范围；
()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．
【答案】（1）13
4
k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】
()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ，解之可得．
()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方
程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】
解：()1Q 关于x 的一元二次方程()2
2
2130x k x k --+-=有两个实数根，
0∴≥V ，即()()22
[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，
解得13
4
k ≤
． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，
()
22
2222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=Q ，
224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，
13
4
k ≤
Q ， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】
本题考查了一元二次方程2
ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0V >，
方程有两个不相等的实数根；当0=V ，方程有两个相等的实数根；当0<V ，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
3．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）
【答案】124
x x 23
=
=-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得
22
12x x 3-=-（）（）
开平方，得
12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124
x x 23
=
=-，
4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．
【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．
5．已知为正整数，二次方程
的两根为
，求下式的值：
【答案】
【解析】 由韦达定理，有
，
．于是，对正整数
，有
原式=
6．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；
27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一
元二次方程为“连根一元二次方程”．
()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．
【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n . 【解析】 【分析】
（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】
解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.
(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n. 【点睛】
本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
7．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4
个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?
【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】
解:设绿化区宽为y ，则由题意得
502302x y -=-.
即10y x =-
列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.
∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
8．解方程：(x ＋1)(x －1)＝2x. 【答案】x 123，x 223 【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x ＋1)(x －1)＝2 x 2-22x-1=0 ∵a=1，b=-22c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0
∴2
4b b c a -±-23
∴x 123x 223.
9．阅读下面的例题， 范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2
请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0． 【答案】x 1=4，x 2=﹣5． 【解析】 【分析】
分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可． 【详解】
当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；
当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5， 故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
10．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1． 【解析】 【详解】
分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.
详解：（1）解：由题意：0a ≠．
∵()2
2242440b ac a a a ∆=-=+-=+>，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如： 解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．
点睛：考查一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，
当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.
（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2
--2=0．
∴
∴另一根是2； (2)∵
，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
12．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值． 【答案】（1）k >–1
4
；（2）7 【解析】 【分析】
（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围； （2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可． 【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴
>0∆，即()2
2214410k k k +-=+>，解得14
k >-；
（2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=， ∵125x x +=-，121=x x ，
∴()2
22121212225817x x x x x x +=+-=-=.
【点睛】
本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-b
a
，x1•x2=
c
a
，表示出两根的关系，得到
x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣3
5）2+
36
5
，
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1•x2=c
a
=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，
∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，
解得：x1=﹣x2=﹣1，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，
∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，
方程化为x2﹣2x﹣25=0，
解得：x1=1，x2
14．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：
这20天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：
1
25
4
y t
=+
（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m关于t的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.
【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】
（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；
（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】
（1）设该函数的解析式为:m=kx+b
由题意得:98=k b
94=3k b +⎧⎨
+⎩
解得:k=-2,b=100
∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，
()1210025204W t t ⎛⎫
=-++- ⎪⎝⎭
21
151002t t =-++
()2
115612.52
t =-
-+ ∵
1
02
<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--
⎪⎝⎭
()21
1525001002
t a t a =-+++-，
∴对称轴为：152t a =+，
∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<. 【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.
15．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．
（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？
（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？
【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过15﹣15h 就会进入台风影响区；（3）215小时．
【解析】
【分析】
（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．
（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.
【详解】
解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，
当B′C′=200时，将受到台风影响，
根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002，
整理得到：t2﹣30t+210=0，
解得t
由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．
（2）由（1）可知经过(15h就会进入台风影响区；
（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15h．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．。