北京市西城区2015年高三二模数学(文)试卷及解析(无水印)
北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学文试题Word版含答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天 13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-7． 设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（ ） （A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB < A BE CD GH F第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.侧(左)视图 正(主)视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-． （Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1BCE ； （Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：B CA 1 D 1DA B 1C 1E F（1） 投资股市：（2） 购买基金：（Ⅰ）当2p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．210．2π311. 12．221416x y -=13．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分 （Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤， 解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分 当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增， 所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+， 所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分 得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分 验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分 因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分 又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD平面1A ECF EC =，B CA 1 D 1DA B 1C 1E F平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，所以 1A F ∥CE . …………………3分 又 1A F ⊄平面1BCE ，CE ⊂平面1BCE ， 所以 1A F ∥平面1BCE . …………………6分 （Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =， 所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，所以 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分 因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ， 所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分 又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种 且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =， 所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 38q <， ……………… 4分 因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分 又因为 113p q ++=，0q ≥， 所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分 （Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”， 则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种， 它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .…………… 11分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅,所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分 即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ， 即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ， 解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下：由条件知2()f x x =-， 由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分 所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ①12as a s -=， ② …………………4分 由②，得 1(21)a s s =-， 代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分 因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 （Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相 切. …………………13分。
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北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：2log 0,2xx x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2xx x ∀>< （B ）2log 0,2xx x ∃>≤ （C ）2log 0,2xx x ∃><（D ）2log 0,2xx x ∃>≥5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天 13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-7． 设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（ ） （A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB < A BE CD GH F第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz =+，则||z =______.10．设平面向量,a b 满足||3=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，那么,a b 的夹角θ=____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,F F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，且直线2y x =为双曲线C的一条渐近线，点P 为C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为_____.13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤（1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.侧(左)视图 正(主)视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin ()4f x x =--，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数()f x 在区间ππ[,]66-上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足25a =，且其前n 项和2n S pn n =-． （Ⅰ）求p 的值和数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 为等比数列，公比为p ，且其前n 项和n T 满足55T S <，求1b 的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AD BC ===，1AB =. 点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）求证：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）求证： AC ⊥平面11CDD C ；（Ⅲ）写出三棱锥11B A EF -体积的取值范围. （结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：B CA 1 D 1DA B 1C 1E F（1） 投资股市：（2） 购买基金：（Ⅰ）当2p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，若122S S =,求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点. 设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（Ⅰ）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（Ⅲ）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2 10．2π311. 12．221416x y -=13．9 14．2-或4 (1,3]- 注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin ()4f x x =--πcos 2()4x =- ……………… 3分sin 2x =， ……………… 5分所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.……………… 7分 （Ⅱ）解：结论：函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分理由如下：由ππ2π22π22k x k -+≤≤， 解得ππππ44k x k -+≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+，()k ∈Z .……………… 12分 当0=k 时，知)(x f 在区间ππ[,]44-上单调递增， 所以函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11S p =-，242S p =-，因为 25a =，212S a a =+， 所以 24215S p p =-=-+，解得 2p =. ……………… 3分所以 22n S n n =-．当2n ≥时，由1n n n a S S -=-， ……………… 5分 得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分 验证知1n =时，1a 符合上式，所以43n a n =-，*n ∈N . ……………… 8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12n n n b T b -==--. ……………… 10分 因为 55T S <，所以 521(21)255b -<⨯-，解得 14531b <． ……………… 12分 又因为10b ≠，所以1b 的取值范围是45(,0)(0,)31-∞． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D . 又因为平面ABCD平面1A ECF EC =，B CA 1 D 1DA B 1C 1E F平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以 1A F ∥CE . …………………3分 又 1A F ⊄平面1B CE ，CE ⊂平面1B CE ，所以 1A F ∥平面1B CE . …………………6分 （Ⅱ）证明：在四边形ABCD 中，因为 90BAD ∠=，BC AD //,且BC AD 2=，2AD =，1AB =， 所以 222112AC =+=，222112CD =+=. 所以 222AC CD AD +=，所以 90ACD ∠=，即AC CD ⊥. …………………7分 因为 1A A ⊥平面ABCD AC ⊂，平面ABCD ， 所以 1A A AC ⊥.因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中，11//A A C C ，所以 1C C AC ⊥. …………………9分 又因为 1,CD C C ⊂平面11CDD C ，1CDC C C =，所以 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11B A EF -的体积的取值范围是12[,]33. …………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种 且三种投资结果相互独立，所以 p +13+q =1. ……………… 2分又因为 12p =， 所以 q =61． ……………… 3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得 38q <， ……………… 4分 因为 p +13+q =1，所以 2338q p =-<，解得 724p >. ……………… 7分 又因为 113p q ++=，0q ≥， 所以 23p ≤. 所以72243p ≤<. ……………… 8分 （Ⅲ）解：记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种， 它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ，(,)c x ，(,)c y ，(,)c z ， ……………10分所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x .…………… 11分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =. …………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-，所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在，则有 21S S =，不合题意. ………………6分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为111||||2S PF y =⋅，221||||2S PF y =⋅,所以2||||212121=-==y yy y S S . ……………… 9分 即 212y y -=.所以 221y y y -=+，2212221)(22y y y y y +-=-=， ……………… 11分则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-⋅-x k x k x k x k ， 即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ，即 2222222)43416(2434162344816-+-=++⋅-+-k k k k k k ， 解得 25±=k . ……………… 13分所以直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(25--=x y . ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下：由条件知2()f x x =-， 由()ln g x x =，得0x >，又因为 ()2f x x '=-，1()g x x'=， …………………2分 所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x '=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ①12as a s -=， ② …………………4分 由②，得 1(21)a s s =-， 代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………5分 因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………6分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………7分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………8分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 （Ⅲ）解：当点P 的坐标为1(,1)e-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …………………11分 当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相 切. …………………13分。
2015西城二模 北京市西城区2015届高三二模语文试题 扫描版含答案
2015西城二模北京市西城区2015届高三二模语文北京市西城区2015年高三二模试卷语文参考答案及评分标准2015.5一、（14分）1．（2分）B 2．（2分）C 3．（3分）D 4．（3分）C5．（4分）不矛盾。
“我愿天公怜赤子，莫生尤物为疮痏”表达自己对朝廷要求民间进贡荔枝以致百姓不堪其苦的愤慨，体现出苏轼关心百姓疾苦的爱民之心；“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”表达他在被贬岭南之后对当地所产荔枝的赞美，表现出苏轼身处困境依然豁达乐观的心态。
（意思对即可）二、（13分）6．（3分）C 7．（3分）D8．（4分）（丙）留蒂蜡封蜜浸法（丁）带叶封坛沉井法（意思对即可）9．（3分）①适时采收，选择完整新鲜的果实。
②及时密封，减少水分流失避免病毒入侵。
③在阴暗、凉爽低温的环境中保存。
评分标准：每个要点1分。
意思对即可。
三、（26分）10．（5分）吾曰/ 生可求乎/ 曰/求其生而不得/则死者与我皆无恨也/矧求而有得耶/以其有得/则知不求而死者有恨也/夫常求其生/ 犹失之死/而世常求其死也。
评分标准：标“/”处共有10处，断对两处得1分，断对10处得5分。
断错两处扣1分，扣完5分为止。
11．（3分）D（自身）12．（3分）A（不要拿钱财使人受累）13．（3分）D（“将会帮助自己获得更多的善报”与原文意思不符）14．（6分）①廉（廉洁），②孝（奉亲至孝），③仁（居官仁厚、好施之善）说明：以死后之贫明其廉，以思亲之久扬其孝，以治狱之叹显其仁意思对即可。
15．（6分）（1）①臣无祖母②无以至今日③祖母无臣④无以终余年⑤更相为命⑥是以区区不能废远（2）①积土成山②风雨兴焉③积水成渊④蛟龙生焉⑤而神明自得⑥圣心备焉评分标准：只能选定1题完成，跨题填空以第（1）题为准。
每空1分。
句中有错别字、多字、少字，则该句不得分。
四、（16分）16．（4分）①登、上②俱为一体③不宜异同④提升、提拔评分标准：每空1分。
①④意思对即可；②③句中有错别字、多字、少字，则该句不得分。
北京市西城区2015届高三二模数学理考试试题
北京市西城区2015 年高三二模试卷数学（理科）2015.5本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．1．设集合，集合，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）A ．B ．21C ．42D ．847．若“ x ＞1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞3B ．a ＜ 3C ．a ＞ 4D ．a ＜ 4 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最 小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ． 12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2PA ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝34，则PA ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2， O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺 时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：①；②任意，都有③任意其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝7，b ＝3，．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数，其中a∈R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）设分别为椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点F1，证明：20．（本小题满分13 分）无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；（Ⅲ）已知＝46，求的值．。
2015北京西城中考二模数学答案(纯WORD)
北京市西城区2015年初三二模数学试卷参考答案及评分标准2015. 6二、填空题（本题共18分，每小题3分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17.证明：如图1. ∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC =BC ，∠ACB ＝∠ABC =60°．………………………………… 1分 ∵D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上， ∴ ∠ACE ＝∠CBD =120°． …………………2分在△ACE 和△CBD 中，,,AC CB ACE CBD CE BD =⎧⎪∠∠⎩=⎪⎨，＝ ……………………… 3分∴ △ACE ≌△CBD ．……………………… 4分∴ ∠E ＝∠D ．…………………………………………………… 5分18．解： 1012cos 30()1(3)3π-++-2311=+-- ………………………………………………4分 1=. …………………………………………………………… 5分 19．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----=224(252)x x x ---+………………………………………………2分 =224252x x x --+-=256x x -+-．……………………………………………………3分∵ 2540x x --=， ∴ 254x x -=．…………………………………………………… 4分 ∴ 原式=2(5)64610x x ---=--=-．………………………………5分 20．解：去分母，得 3(3)2x x --=．………………………………………… 1分 去括号，得 332x x -+=． …………………………………………2分 整理，得 21x =-．…………………………………………… 3分解得 12x =-． ……………………………………………………… 4分经检验，12x =-是原方程的解． ………………………………………5分所以原方程的解是12x =-．21．解：设牙膏每盒x 元，牙刷每支y 元．…………………………………1分 由题意，得 713121,1415187.x y x y +=+=⎧⎨⎩……………………………………… 2分解得 85.x y ==⎧⎨⎩，……………………………………………………… 3分(124125)88-⨯=（盒）． ……………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．…………………………………………………5分 22．解：（1）当m =0 时，该函数为一次函数33y x =--，它的图象与x 轴有公共点.………………………………… 1分当m ≠0 时，二次函数2(3)3y mx m x =+--．2(3)4(3)m m ∆=--⨯-26912m m m =-++2269(3)m m m =++=+． ∵ 无论m 取何实数，总有2(3)m +≥0，即∆≥0， ∴ 方程2(3)30mx m x +--=有两个实数根．∴ 此时函数2(3)3y mx m x =+--的图象与x 轴有公共点．…………2分 综上所述，无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）∵m ＞0，∴ 该函数为二次函数，它的图象与x 轴的公共点的横坐标为(3)(3)2m m x m --±+=．∴ 11x =-，23x m=． …………………………………………… 3分∵ 此抛物线与x 轴公共点的横坐标为整数，∴正整数m =1或3．……………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：如图2．∵点C 与点A 重合，折痕为EF ，∴12∠=∠，AE =EC ．∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD ∥BC ． ∴ 32∠=∠． ∴ 13∠=∠． ∴ AE =AF∴ AF =EC ． 又∵ AF ∥EC ，∴ 四边形AFCE 是平行四边形．……………………………… 2分 又AE =AF ，∴ 四边形AFCE 为菱形．……………………………………… 3分（2）解：如图3，作AG ⊥BE 于点G ，则∠AGB=∠AGE=90°． ∵点D 的落点为点D ′ ，折痕为EF ，∴D F DF '=. ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD =BC ．又∵AF =EC ，∴AD AF BC EC -=-，即DF BE =． ∵在Rt △AGB 中，∠AGB=90°，∠B =45°，AB =∴AG =GB =6. ∵ 四边形AFCE 为平行四边形， ∴ AE ∥FC . ∴ ∠4=∠5=60°.∵ 在Rt △AGE 中，∠AGE =90°，∠4=60°， ∴ tan60AGGE ==︒∴6BE BG GE =+=+.∴6D F '=+…………………5分 24.解：（1）③④.………………………………… 2分 （2）补全统计图见图4. ………………… 3分 1055万人. ………………………… 4分（3）1.3%. …………………………… 5分25. 解：（1）补全图形如图5所示. …………… 1分 答：PG 与⊙O 相切.证明：如图6，连接OG .∵ PF =PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG =OA ， ∴ ∠3=∠A . ∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A +∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ， ∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG . ∵ OG 为⊙O 的半径， ∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG . ∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC =90°. ∵ DG ∥AB ， ∴∠GDC =∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点，∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE =30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP =90°，2CG OA ==∴tan 4PG CG GCP =⋅∠==. ………………… 5分26.解：（1）CADBC . …………………………………………… 3分1tan α.………………………………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点.………………………………… 5分方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点. ……………………………………… 5分五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………… 1分∴ 1211-=x y ． …………………………………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．……………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………………………… 4分 如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4． … 6分②136≤a ＜52．……………………………7分 28．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．……………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE =90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC =90°， ∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．……………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．…………………………………… 6分（3）3．………………………………………………7分29．解：（1）点A ．………………………………………1分 画图见图12．（画出一个即可）………… 2分△AMN （或△AJK ）. …………………… 3分（2）如图13，作OL ⊥EF 于点L .∵ 线段EF 为点O 的τ型线， ∴ OL 即为线段EF 关于点O 的τ型三角形的高. ∵线段EF 关于点O 的τ型三角形的面积为，∴OL =. ……………………………… 4分 ∵ 2OE =，OF m =，∴EL ==∴cos 1EL OE ∠== ∴cos 2cos 1OL OLOF ===∠∠∴m =…………………………………………………………6分（3）n ≤54-.………………………………………………………8分。
北京市西城区2015届高三下学期一模考试数学(文)试题Word版含解析
北京市西城区2015年高三一模试卷数 学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若AB =∅，则实数a 的范围是（ ）（A ）1a ≤ （B ）1a ≥ （C ）0a ≥ （D ）0a ≤ 【答案】B 【解析】 试题分析：因为AB =∅，所以0{|}x x a ∉>，且1{|}x x a ∉>，即0a ≥且1a ≥，从而1a ≥，选B.考点：集合的运算.2.复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】C 【解析】试题分析：由i 3i z ⋅=-得3i13iz i -==--，对应点为(1,3)--，位于第三象限，选C. 考点：复数运算3.关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ）（A ）都是奇函数 （B ）都是偶函数 （C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R 【答案】C 【解析】试题分析：3()log ()f x x =-的定义域为(0)-∞，，所以()f x 为非奇非偶函数，()f x 在定义域上为单调减函数，值域为R ；()3xg x -=的定义域为(+)-∞∞，，且()3(),x g x g x -=≠±，所以()g x 为非奇非偶函数，()g x 在定义域上为单调减函数，值域为(0,).+∞；因此选C.考点：函数性质4.执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环：9,2;x n ==第二次循环：27,3;x n ==第三次循环：81,4;x n ==第四次循环：243100,5;x n =>=结束循环，输出5,n =选B. 考点：循环结构流程图5.设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（ ） （A） （B）（C）（D ）4 【答案】A 【解析】试题分析：设圆心为C ，直线:0l x y -=，则||||C l PQ PC r d r -≥-≥-==以选A.考点：直线与圆位置关系6.设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由增函数定义知：若函数()f x 为增函数，则x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数()=[x]f x （取整函数），满足x ∀∈R ，(1)()f x f x +>，所以选B. 考点：充要关系7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）7 （B ）152 （C ）233 （D ）476【答案】D 【解析】试题分析：几何体为一个正方体截去一个角（三棱锥），所以体积为321147211326-⨯⨯⨯=，选D.考点：三视图8.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）（A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答案】A 【解析】试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为,x y 元，则侧(左)视图 正(主)视图 俯视图6324,442028,5x y x y x y x y +>+<⇒+>+< ，因此235(2)8()58850x y x y x y -=+-+>⨯-⨯=，因此2枝玫瑰的价格高，选A.考点：不等式比较大小第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____.【解析】试题分析：22()()()()0||+⊥-⇒+⋅-=⇒=⇒=a b a b a b a b a b b |a |= 考点：向量运算10.函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____. 【答案】π 【解析】试题分析：因为22()sin cos cos 2f x x x x =-=-，所以其最小正周期是2=π.2π考点：三角函数周期11.在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____.【答案】13【解析】试题分析：102|1|x x ⇒≤≤-≤，又[2,1]x ∈-，所以[0,1]x ∈，因为测度为长度，所以所求概率为101.1(2)3-=--考点：几何概型概率12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.【答案】2213y x -=,y =【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2c =，又双曲线 C 的离心率为2，所以1,a b ==因此双曲线C 的方程为2213y x -=，渐近线方程是2203y x -=，即y =考点：双曲线方程及渐近线13.设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 【答案】103,2 【解析】试题分析：110[(1)](14)(3)333f f f f -=-+==+=，当0x >时，211()()1f x x f x x x'=+=-，，，由()0f x '=得1x =，（负值舍去），因此当0,1)(x ∈时，()0f x '<；当1,)(x +∞∈时，()0f x '>；从而函数()f x 在1x =取极小值为2；当0x <时，2()4x f x x -=-，，因此当2,0)(x ∈-时，()f x 单调递减；当(,2)x ∈-∞-时，()f x 单调递增；从而函数()f x 在2x =-取极大值为4； 从而函数()f x 的极小值是2 考点：分段函数求值，函数极值14.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元. 【答案】4900 【解析】试题分析：设在甲厂做一等奖奖品x 件，二等奖奖品y 件，则[0,3],[0,6],4,,x y x y x y N ∈∈+≤∈,组委会定做该工艺品的费用总和为500400800(3)600(6)100(6032)z x y x y x y =++-+-=--，可行域为一个直角梯形OABC 内整数点（包含边界）,其中(0,0),(3,0),(3,1),(0,4).O A B C 当直线100(6032)z x y =--过点(3,1)B 时费用总和取最小值：4900考点：线性规划求最值三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.【答案】（Ⅰ）5104=BD（Ⅱ）sin 10CDB ∠= 【解析】试题分析：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，易得5=AC ，从而有1=DC ，在BCD ∆中，由余弦定理，可得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅223323123155=+-⨯⨯⨯=，即5104=BD （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BD CBD C =∠，所以sin CDB ∠=试题解析：（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ， 所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ..................... 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . (4)分在BCD ∆中，由余弦定理，B CAD得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅ ………………… 7分 223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . (9)分（Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ………………… 12分所以sin 10CDB ∠=. ………………… 13分 考点：正余弦定理 16.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）24n a n =-,23n S n n =-（Ⅱ）6． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式，一般利用待定系数法，即设公差为d ，则可得方程组11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩解得12a =-，2d =，所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-，212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-（Ⅱ）因为444,,m n a a a ++成等比数列，可得等量关系2(24)4(24)m n +=+，可看做二次函数21(2)22n m =+-，根据对称轴及正整数限制条件可得当2m =时，n 有最小值6． 试题解析：（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩ ………………… 4分 解得12a =-，2d =，…………………5分所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ………………… 13分 考点：等差数列的通项及和项 17.（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点. （Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)FCA DBG EFCADBG EMN【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）点O 为线段GC 的中点. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由面面垂直性质定理，可得线面垂直：AG ⊥平面ABCD ，再由线面垂直性质定理可得AG ⊥CD .注意写全定理条件（Ⅱ）证明线面平行，一般利用其判定定理，即从线线平行出发，利用平几知识，可过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，从而可推出GF //MN ，GF MN =.即四边形GFNM 是平行四边形. 所以 //GM FN .（Ⅲ）利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可找出满足条件的点O 为GC 的中点. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥.…………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………………5分 （Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ， 因为13AMMC =，所以14MN AM BC AC ==， …………………6分 因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分 又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………………11分 （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. …………………14分考点：面面垂直性质定理，线面平行判定定理 18.（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价．．．从．这．120人中．．分层．．抽样．．所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，试写出s 的取值范围．(只需写出结论)【答案】（Ⅰ）56（Ⅱ）415（Ⅲ）(20,22]s ∈【解析】试题分析：（Ⅰ）由票价统计图知120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人），所以票价小于5元的有6040100+=（人）．从而根据古典概型概率计算得56（Ⅱ）先根据分层抽样，确定6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）.再根据枚举法列出基本事件，最后确定2人的票价和恰好为8元基本事件包含数，求出其概率（Ⅲ）由题意得乘坐地铁12公里至22公里（含）5元，所以(12,22]s ∈,乘公共电汽车10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.因此5元乘公里数必大于10+52=20⨯，所以(20,22]s ∈试题解析：（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， …………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． …………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………………4分（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………………5分 由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. …………6分 记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ， (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d , (,),(,)f f d e . …………………8分 其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . …………9分 所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =. ………………… 10分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． …………………13分 考点：古典概型概率，分层抽样 19.（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b +=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）964【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，一般需列出两个独立条件：21=a c 及点)23,1(P 在椭圆上，解方程组得椭圆方程为 22143x y +=. （Ⅱ）由题意得需根据直线l 斜率表示ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积，由直线与椭圆联立方程组解得2221438k k x x +=+，212241234k x x k -=+，从而PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--，再根据二次函数求出其最大值.试题解析：（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=，又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ………… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …………… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯--12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++，所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ………14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 20.（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x=，函数e ()xn g x x =，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论) 【答案】（Ⅰ）不是单调函数（Ⅱ）1e et ≤≤（Ⅲ）{3,4} 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数研究函数单调性，先求导数：11ln ()n n xf x x +-'=，再求导函数零点1e nx =，列表分析得函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.即函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. （Ⅱ）先转化条件为：当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤，因此求实数t 的取值范围，就是分别求max min ()()g f x x ，，这可利用导数求函数最值（Ⅲ）由题意得：直线l 为曲线()y f x =与曲线()y g x =分割线，由（Ⅱ）得1()()ng f e n ≤，因此n 的所有可能取值为{3,4}试题解析：（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分 求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， …………………2分 令 ()0f x '=，解得1e n x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减. 所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()x f x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分 因为 21ln ()xf x x-'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max ()(e)ef x f ==. …………………7分 又因为2e (1)()x x g x x-'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分 综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分 （Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分 考点：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值。
2015西城高三一模数学(文科)
北京市西城区2015年高三一模试卷数 学（文科） 2015.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的范围是（ ）（A ）1a ≤（B ）1a ≥（C ）0a ≥（D ）0a ≤3．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ） （A ）都是奇函数（B ）都是偶函数（C ）函数()f x 的值域为R （D ）函数()g x 的值域为R4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______. （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）72．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限5. 设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（ ） （A） （B）（C）（D ）46．设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） （A ）7 （B ）152（C ）233（D ）4768. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）（A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____. 10．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____.11．在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____. 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.13. 设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.AD16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值．17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)18．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．FA DBG E（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶19．（本小题满分14分）设点F 为椭圆2222 1(0)x y E a b a b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P 在椭圆E 上，已知椭圆E 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.20．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．10． π；11． 13； 12． 2213y x -= ，y = ；13． 103，2 ； 14． 4900； 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ……… 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . ……… 4分在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅ ………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . ……… 9分 （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ……… 12分所以sin CDB ∠= ………… 13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩………… 4分 解得12a =-，2d =， …………5分 所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=， ………… 9分即2(24)4(24)m n +=+， ………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ， 所以当2m =时，n 有最小值6． ………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. ……………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥. ………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . ……………4分 因为 CD ⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . …………5分（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，FCADBG EMN 因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， …………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分 又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . …………11分 （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. ……………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ……………1分 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………2分 故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． …………4分 （Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， …………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. ………6分记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,(,)d e f c d e f d e f e a a a b b b b c c c d ,(,),(,)f f d e .…………8分（Ⅲ）解：(20,22]s ∈． ……………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. ……………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为22143x y +=. …………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ……………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ……………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy kx -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. …… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. ……1分求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， ………2分 令 ()0f x '=，解得1e nx =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. ………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()xf x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立， 只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. ………5分 因为 21ln ()xf x x -'=. 令()0f x '=，解得e x =.第 11页 共 11页当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max ()(e)ef x f ==. …………7分 又因为2e (1)()x x g x x -'=. 令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. ………9分 综上所述，得1e et ≤≤. ………10分 （Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………13分。
2015北京西城高考二模数学理(含解析)
北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科） 2015．5第一部分（选择题 共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合{}10A x x =->，集合{}3B x x =≤，则AB =（ ）．A ．()1,3-B ．(]1,3C ．[)1,3D ．[]1,3-2．已知平面向量a ，b ，c 满足()1,1a =-，()2,3b =，()2,c k =-，若()//a b c +，则实数k =（ ）． A ．4 B ．4- C ．8 D 8-3．设命题p ：函数()1x f x e -=在R 上为增函数；命题q ：函数()()cos πf x x =+为奇函数．则下列命题中真命题是：（ ）．A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝ 4．执行如图所示的程序框图，若输入的{}1,2,3n ∈，则输出的s 属于（ ）． A ．{}1,2 B ．{}1,3 C ．{}2,3 D ．{}1,3,95．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 的前21项的和等于（ ）．A ．212B ．21C ．42D ．84 7．若“1x >”是“不等式2x a x >-成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是：（ ）． A ．3a > B ．3a < C ．4a > D ．4a <8．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，（点P Q 、可以重合），则MP PQ +的最小值为（ ）．A B C ．34 D ．1第二部分（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数10i3i=+______． 10．双曲线22:184x y C -=的离心率为_________；渐近线的方程为_________．11．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α=______;cos 2α=_________．12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于B C 、，且2PC PA =，D 为线段PC 的中点，AD 的延长线交O 于E ，若34PB =，则PA =_____；AD DE =________．13．现有6人要排成一排照相，其中①②，则不同的排法有______种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x []()0,πx ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③任意12π,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜ 其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 分）在锐角ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知a =3b =sin B A +=． （Ⅰ）求角A 的大小． （Ⅱ）求ABC △的面积．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图：为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”的数量为n ，比较m n 、的大小关系．（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为和值时，2s 达到最小值．（只需写出结论）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D DC ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：1A E ⊥BCDE ．（Ⅱ）求二面角1E A B C --的余弦值；（Ⅲ）判断在线段EB 上是否存在点P ，使平面1A DP ⊥1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数()211xf x ax -=+，其中R a ∈．（Ⅰ）当14a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＞时，证明：存在实数0m ＞，使得对于任意的实数x ，都有()f x m ≤成立．19．（本小题满分14 分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且2AB =．（Ⅰ）若椭圆E E 的方程； （Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：OP >20．（本小题满分13 分）无穷数列12:,,,,n P a a a ，满足i a N *∈，且1()i i a a i N *+∈≤．对于数列P ，记{}()m i n ()k n T P na k k N *=∈≥，其中{}min n n a k ≥表示集合{}n n a k ≥中最小的数． （Ⅰ）若数列:1,3,4,7,P ，写出1()T P ，2()T P ，，()s T P ；（Ⅱ）若()21k T P k =-，求数列P 前n 项的和； （Ⅲ）已知2046a =，求12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++的值．北京市西城区高三年级二模数学试卷（理工类） 2015．5一、选择题：二、填空题：三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，3sin B=3sin B A =，解得sin A =， 因为ABC △为锐角三角形，所以π3A =． （Ⅱ）在ABC △中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去．当2c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==>．且b c >，b a >．所以ABC △为锐角三角形，符合题意．所以ABC △的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯=．16．（本小题满分13分）（Ⅰ）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=．由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m =， 乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n =． 所以m n =．（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，且02552102(0)9C C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，20552102(2)9C C P X C ===，所以X 的分布列：所以252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）当0b =时，2s 达到最小值． 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）因为DE BE ⊥，BE DC ∥， 所以DE DC ⊥，又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =I ， 所以DC ⊥平面1A DE ， 所以1DC A E ⊥，又因为1A E DE ⊥，DC DE D =I ， 所以1A E ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）因为1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，所以1A E ，DE ，BE 两两垂直，以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系．易知DE =则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，D ，所以1(2,0,2)BA =-u u u r，BC =u u u r， 平面1A BE 的一个法向量为(0,1,0)n =r， 设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r， 由10BA m ⋅=u u u r u r ，0BC m ⋅=u u u r u r，得22020x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(,m =u r，所以cos ,m n m n m n⋅<>==⋅u r ru r r u r r 由图，得二面角1E A B C --的平面角为钝二面角， 所以二面角1E A B C --的余弦值为．（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-u u u r，12)A D =-u u u r ， 设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r，由10A D p ⋅=u u u r u r ，10A P p ⋅=u u u r u r，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t =u r ， 因为平面1A DP ⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=u r u r，即0+=， 解得3t =-， 因为02t ≤≤，所以在线段上EB 不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）当14a =-时，函数21()114xf x x -=-． 其定义域为{|2}x x ∈≠±R ，求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--，所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减． （Ⅱ）当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R ，求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+，令()0f x '=，解得110x =-，211x =+， 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， 又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+， 所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤，记12max{(),()}M f x f x =，其中12max{(),()}f x f x 为两数1()f x ，2()f x 中最大的数 综上，当0a >时，存在实数[),m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()f x M ≤恒成立． 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设由题意，得224a b +=，且c a =解得a 1b =，c =所以椭圆E 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意，的224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a+=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，c ，设00(,)P x y ， 由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-，所以直线2F P 的方程为00(c)y y x x c=--， 当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)y cQ x c--， 所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-， 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， 化简，得22200(24)y x a =--，①又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内， 所以22002214x y a a+=-，00x >，00y >，② 由①②，解得202a x =，20122y a =-，所以22222001(2)22OP x y a =+=-+，因为22242a b a +=<，所以22a >，OP > 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）1()1T P =，2()2T P =，3()2T P =，4()3T P =，5()4T P =． （Ⅱ）由题意，1()1T P =，2()3T P =，3()5T P =，4()7T P =，L 因为2()3T P =，且()min{|}k n T P n a k =≥， 所以32a ≥，且22a <，同理，由3()5T P =，()min{|}k n T P n a k =≥， 得53a ≥，且43a <，以此类推，得74a ≥，64a <；L ；21n a n -≥，22n a n -<；L 因为1()i i a a i +∈*N ≤，i a ∈*N ，所以121a a ==，342a a ==，L ，212n n a a n -==，L当n 为奇数时，21211(1)2(12)224n n n n a a a -+++++=++++=L L ，当n 为偶数时，21222(12)24n n n na a a ++++=+++=L L ，所以数列{}n a 前n 项的和22(1),21,42,2,4n n n k S k n n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩*N （Ⅲ）解法一：考察符合条件的数列P 中，若存在某个(119)i i ≤≤满足1i i a a +<，对应可得()k T P ， 及12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++L L ． 因为()min{|}k n T P n a k =≥，所以1()1i a T P i +=+．下面将数列P 略作调整，仅将第i a 的值增加1，具体如下：设1j j a a '=+，对于任何(1)j j ≠，令j j a a '=，可得数列P '及其对应数列()k T P '， 根据数列()k T P '的定义，可得1()i a T P i +'=，且()()(1)j j i T P T P j a '=≠+． 显然11()()1i i a a T P T P ++'=-．所以12201246()()()s a a a T P T P T P '''''''=+++++++L L121120121246(1)()()(1)()i i i i i a a a a a a a a T P T P T T T P -+++=++++++++++++-+++L L L L 12201246()()()a a a T P T P T P s =+++++++=L L ． 即调整后得s s '=，如果数列{}n a '还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{}n a 中的每一项变为相等，且操作中保持s 的值不变， 而当122046a a a ====L 时，1246()()()1T P T P T P ====L ， 所以12201246()()()966s a a a T P T P T P =+++++++=L L ．解法二：将问题一般化，下面求1212()()()n n a s a a a T P T P T P =+++++++L L ． 当1n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，故11112s a a a =+⨯=．当2n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，1()2i a T P +=，2()2i a T P +=，L ，2()2a T P =， 故1242421()23s a a a a a a =++⨯+-⨯=，猜想(1)n s n a =+，下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，由以上叙述可知，命题成立． （2）假设当n k =时，命题成立，即4(1)s k a =+． 当1n k =+时， 若1k k a a +=，则12112()()()k k a s a a a a T P T P T P +=++++++++L L 11(1)(2)k k k k a a k a ++=++=+，命题成立． 若1k k a a +>，则11211212()()()()()()k k k k k k a a a a s a a a a T P T P T P T P T P T P ++++=++++++++++++L L L112112()()()(1)(1)(1)k k k k k a a a a a a a T P T P T P k k k ++-=+++++++++++++++L L L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)(1)(1)k k k k a a k a a k k k ++-=+++++++++L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)()k k k k k a a k a a ++=++++-1(2)k k a +=+，命题成立．由（1）和（2），得(1)()n s n a n =+∈*N ． 所以当2046a =时，(201)46966s =+⨯=．北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）选填解析1. 【答案】B【解析】{}1A x x =>，{}3B x x =≤，所以(]1,3A B =． 故答案为B ．2. 【答案】D【解析】()1,4a b +=，且()//a b c +，所以有4812k k =⇒=--． 故答案为D ．3. 【答案】D【解析】由题意得命题p 为真，命题q ：函数()()cos πcos f x x x =+=-为偶函数，命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，从而()p q ∧⌝为真命题． 故答案为D ．4. 【答案】A【解析】当1n =时，经过判断得31n s =⇒=，所以输出1s =，当2n =时，经过判断得92n s =⇒=，所以输出2s =，当3n =时，经过判断得1s =，所以输出1s =，综上输出的s 满足的集合为{}1,2． 故答案为A ．5. 【答案】B【解析】设平均费用为y ，则246464432x y x x x+==+≥，当且仅当644x x =，即4x =时取到最小值．故答案为B ．6. 【答案】B【解析】由数列{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质得2420a a a +++()2205a a =+()121510a a =+=，所以()1212a a +=，则()1212121212a a S +⨯==．故答案为B ．7. 【答案】A【解析】由于1x >是2x a x >-的必要而不充分条件，所以2x a x >-，即2x x a +>的解集是{}1x x > 的子集，令()2xf x x =+，则()f x 为增函数，那么()()13f x f >=，则3a >，此时满足2x x a +>条件的x 一定是{}1x x >的子集． 故答案为A ．8. 【答案】C【解析】对角线1AC 上的动点P 到底面ABCD 上的Q 点的最小值为点P 在底面ABCD 上的投影，即直线AC 上，所以选择确定点Q ，点1B 沿着线1AC 旋转，使得11ACC B 在一个平面上，过1AB 的中点M 做AC 的垂线，垂足为Q ，MQ 与1AC 的交点为P ，线段MQ 的长度为我们求的最小值．由题意长方体1111ABCD A B C D -，11AB BC AA ===可得111π6B AC CAC ∠=∠=，则1π3MAC ∠=，另外1AB =则AM =π334MQ ==． 故答案为C ．9. 【答案】13i +【解析】()()()()10i 3i 10i 3i 10i13i 3i 3i 3i 10--===+++-． 故答案为13i +．10. y =【解析】由题意得，2228,412a b c ==⇒=，所以离心率c e a ===，渐近线为b y x a =±==．y x =．11. 【答案】35-，725-【解析】由题意得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⋅--=- ⎪⎝⎭．故答案为35-，725-．12. 【答案】32， 98【解析】由切割线定理得22PA PB PC PB PA =⋅=⋅，所以32PA =3PC =；再根据相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，由D 是PC 的中点，所以32DC =，34BD PD PB =-=，则339248AD DE BD DC ⋅=⋅=⋅=．故答案为32，98．13. 【答案】288【解析】所有甲乙不相邻的排法为4245A A ，排除甲与乙两人不相邻，但甲站在两端的情况为114244C C A ，故所以满足条件的排法为4211445244288A A C C A -= 故答案为288．14. 【答案】①②【解析】①如图，当π3AOP ∠=时，OP 与AM 相交于点M ，因为1AO =，则AM =，π132f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭正确；②由于对称性ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰好是正方形的面积，所以ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确； ③显然()f x 是增函数，所以()()12120f x f x x x ->-，错误．故答案为①②．。
北京市2015届高三5月各区二模数学试题合集
北京市2015届高三5月各区二模数学试题合集目录一、北京市东城区2015年高三二模数学（理科)试卷二、北京市东城区2015年高三二模数学（文科)试卷三、北京市西城区2015年高三二模数学（理科)试卷四、北京市西城区2015年高三二模数学（文科)试卷五、北京市昌平区2015年高三二模数学（理科)试卷六、北京市昌平区2015年高三二模数学（文科)试卷七、北京市海淀区2015年高三二模数学（理科)试卷八、北京市海淀区2015年高三二模数学（文科)试卷7 83 5 5 72 38 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙甲北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）23sin()6π-= （A ）32-（B ）12-（C ）12（D ）32（2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>（3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是 （A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011l 1l 2OM (p ,q )第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若1()nx x-的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．（11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有一个公共点，则a = ．（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ．（14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ．GDEBCFA三、解答题（共6小题，共80分。
北京市西城区高三二模试卷.docx
北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（文科） 2015.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）（A ）(1,3)-（B ）(1,3]（C ）[1,3)（D ）[1,3]-3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）（A ）p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ） （A ）4 （B ）4- （C ）8 （D ）8-则输出的s 属于（ ） （A ）{1,2} （B ）{1,3} （C ）{2,3}（D ）{1,3,9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. “3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数10i3i=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.11．设函数,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____.12．在ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ， 若7a =，3b =，2c =， 则A =____；ABC ∆的面积为____.13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若z x my =+的最大值为53，则实数m =____.14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论： ○1 π3()32f =；○2 函数()f x 在区间π(,π)2上为减函数；○3 任意π[0,]2x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.其中所有正确结论的序号是____.（A ）2 （B ）3 （C ）32（D ）2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121nb b b ++++的大小．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率；（Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x的平均数）19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =. （Ⅰ）若椭圆E 的离心率为63，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.20．（本小题满分13分）已知函数21()1xf x ax-=+，其中a ∈R . （Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12a =-时的情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i + 10．1x =- 22(1)4x y -+= 11．52- [3,)-+∞ 12．π3 33213．2 14．○1 ○3 注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠， ……………… 1分即 tan 1x ≠， ……………… 2分解得 ππ4x k ≠+， ……………… 4分 所以函数()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠+∈Z . ……………… 5分（Ⅱ）解：cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x +=-22(cos sin )(sin cos )cos sin x x x x x x-+=-……………… 7分(cos sin )(sin cos )x x x x =++sin 21x =+， ……………… 9分由 ππ2π22π22k x k -++≤≤，得 ππππ44k x k -++≤≤， ……………… 11分又因为 ππ4x k ≠+，所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z . （或写成ππ[π,π)44k k -++）……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+， ○2由 ○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， ………………3分 因为当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =， ………………4分 所以 *12()n nan a +=∈N ． ………………5分所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 12n n a -=． ………………7分 （Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， ………………9分所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+， ………………11分 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………12分 由3n ≥，得(2)0n n ->，所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++. ………………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE 中，2233AE AD DE =-=. ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ1193332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅. ………………4分（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE DE ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分 （Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE .…………………9分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， ………………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以MF AB =，//FM AB ,所以四边形ABM F 是平行四边形，则//AF BM . ………………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ………………14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=， ………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. ………………4分 （Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”， ………………5分因为乙组数据的平均数为26.7， 所以10182022233132(30)(30)4326.710a b +++++++++++=，解得 8a b +=. ………………7分 所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………8分ABCED FM其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， ………………9分 所以a >b 的概率4()9P A =. ………………10分 （Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22c a b =-，由题意，得224a b +=，且63c a =， ………………2分 解得3a =，1b =，2c =. ………………4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a +=-， 则1(,0)F c -，2(,0)F c ，22224c a b a =-=-. 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ………………6分 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-， 所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时，00y cy x c -=-，即点00(0,)Q y c x c--， 所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF F Q ⊥.所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ………………10分化简，得22200(24)y x a =--， ○1又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a +=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ………………12分 所以002x y +=，即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114x f x x -=-， 求导，得22222224(1)3()114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==--， ………………2分 因为(1)0f =，(1)43f '=-， ………………3分 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.………………4分 （Ⅱ）证明：当0a >时，21()1x f x ax -=+的定义域为R . 求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ………………5分 令()0f x '=，解得11110x a =-+<，21111x a =++>， ………………6分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x ' +0 - 0 + ()f x↗ ↘ ↗ ………………8分所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01xf x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ，2()||f x 中最大的数，综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立. ………………10分（Ⅲ）解：当12a =-与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅 有负实数解.。
北京市西城区届高三二模数学试题及答案(文)
北京市西城区2015年高三二模试卷数 学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|10}A x x =->，集合3{|}B x x =≤，则A B =（ ）A.(1,3)-B.(1,3]C.[1,3)D.[1,3]-2．已知平面向量,,a b c 满足(1,1)=-a ，(2,3)=b ，(2,)k =-c ，若()//+a b c ，则实数k =（ ）A.4B.4-C.8D.8-3. 设命题p ：函数1()e x f x -=在R 上为增函数；命题q ：函数()cos 2f x x =为奇函数. 则 下列命题中真命题是（ ）A.p q ∧B.()p q ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ∧⌝4．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ）A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,3,9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ）A. 答案AB.答案BC.答案CD.答案D6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与 x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）A.3B.4C.5D.67. “3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ===，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则1B P PQ +的最小值为（ ）C.32D.2第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数10i3i=+____. 10. 抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心，且与直线l 相切的圆的 方程是____.11．设函数,11,1()2,.x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪-⎩≤ 则[(2)]f f =____；函数()f x 的值域是____.12．在ABC ∆中, 角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若a =3b =，2c =， 则A =____；ABC ∆的面积为____.13. 若,x y 满足,2,1,y x y x x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤若z x my =+的最大值为53，则实数m =____. 14. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为([0,π])x x ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：○1π()3f○2 函数()f x 在区间π(,π)2上为减函数；○3 任意π[0,]2x ∈，都有()(π)4f x f x +-=.其中所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*11()n n a S n +=+∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a . 当3n ≥时，比较1nb +与121n b b b ++++的大小．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C A D E -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；（Ⅱ）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a >b 的概率； （Ⅲ）若a =1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2达到最小值．（只需写出结论） （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x ，2x ，…，n x的平均数）19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆2222 + 1(0)x y E a b a b=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.（Ⅰ）若椭圆E E 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：点P 在直线20x y +-=上.20．（本小题满分13分）已知函数21()1x f x ax -=+，其中a ∈R .（Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，证明：存在实数0m >，使得对任意的x ，都有()m f x m -≤≤成立； （Ⅲ）当2a =时，是否存在实数k ，使得关于x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解？当12a =-时的情形又如何？(只需写出结论)北京市西城区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科） 2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i + 10．1x =- 22(1)4x y -+= 11．52- [3,)-+∞ 12．π313．2 14．○1 ○3注：第10，11题第一问2分，第二问3分. 第14题多选、漏选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得cos sin 0x x -≠， ……………… 1分即 tan 1x ≠， ……………… 2分解得 ππ4x k ≠+， ……………… 4分 所以函数()f x 的定义域为π{|π,}4x x k k ≠+∈Z . ……………… 5分（Ⅱ）解：cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x +=-22(cos sin )(sin cos )cos sin x x x x x x-+=-……………… 7分(cos sin )(sin cos )x x x x =++sin 21x =+， ……………… 9分 由 ππ2π22π22k x k -++≤≤， 得 ππππ44k x k -++≤≤， ……………… 11分又因为 ππ4x k ≠+，所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z . （或写成ππ[π,π)44k k -++）……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为11n n a S +=+， ○1 所以当2n ≥时，11n n a S -=+， ○2由 ○1○2两式相减，得1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥， ………………3分 因为当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =， ………………4分 所以*12()n na n a +=∈N ． ………………5分 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 12n n a -=． ………………7分 （Ⅱ）解：因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， ………………9分所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+，………………11分 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-， ………………12分 由3n ≥，得(2)0n n ->，所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++. ………………13分17．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE中，AE == ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C A D E -的体积为Δ11332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅ ………………4分（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE D E ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面C D E . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ， 所以平面ACE⊥平面CDE . …………………8分（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使//AF 平面BCE .…………………9分解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED=， ………………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3C D A B = 所以M F AB =，//FM AB ,所以四边形ABMF 是平行四边形，则//AF BM . ………………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ………………14分18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，……2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. ………………4分（Ⅱ）解：记事件A 为“a >b ”， ………………5分因为乙组数据的平均数为26.7， 所以10182022233132(30)(30)4326.710a b +++++++++++=，解得 8a b +=. ……………7分 所以 a 和b 取值共有9种情况，它们是：(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)， (6,2)，(7,1)，(8,0)， ……………8分 其中a >b 有4种情况，它们是：(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)， ……………9分 所以a >b 的概率4()9P A =. ………………10分 （Ⅲ）解：当b =0时，2s 达到最小值． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设c ，由题意，得224a b +=，且c a = ………………2分解得a 1b =，c ………………4分所以椭圆E 的方程为2213x y +=. ………………5分（Ⅱ）解：由题意，得224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a+=-， 则1(,0)F c -，2(,0)F c，c . 设00(,)P x y ，由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率10F P y k x c=+， ………………6分 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-， 所以直线2F P 的方程为00()y y x c x c=--， 当0x =时，00y cy x c -=-，即点00(0,)Q y c x c--，所以直线1F Q 的斜率为1F Q y k c x =-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF FQ ⊥.所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， ………………10分 化简，得22200(24)y x a =--， ○1 又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，所以22002214x y a a +=-，00x >，00y >， ○2 由○1○2，解得202a x =，20122y a =-， ………………12分所以002x y +=，即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分20．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当14a =-时，函数21()114xf x x -=-， 求导，得22222224(1)3()114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==--， ………………2分因为(1)0f =，(1)43f '=-， ………………3分 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为4340x y +-=.…………4分 （Ⅱ）证明：当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R .求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+， ………………5分令()0f x '=，解得110x =<，211x =>， ………………6分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………8分 所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减.又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01x f x ax -=<+，所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤.记12max{()|,()|}||M f x f x =，其中12max{()|,()|}||f x f x 为两数1()||f x ， 2()||f x 中最大的数， 综上，当0a >时，存在实数[,)m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()m f x m -≤≤ 恒成立. ……………10分（Ⅲ）解：当12a =-与2a =时，不存在实数k ，使得关于实数x 的方程()()f x k x a =-仅有负实数解.。
北京市西城区2015届高三第一学期期末数学(文)试题(含答案)(word版)
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A -=，2{|}B x x x =>，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,2}-（C ）{0,1,2}（D ）{1,1,2}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：2log 0,2x x x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2x x x ∀>< （B ）2log 0,2x x x ∃>≤ （C ）2log 0,2x x x ∃>< （D ）2log 0,2x x x ∃>≥5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天 13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ）（A ）13 （B ）34 （C ）58 （D ）458. 如图，在空间四边形ABCD 中，两条对角线,AC BD 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ，记四边形EFGH 的面积为y ，设BEx AB=，则（ ） （A ）函数()y f x =的值域为(0,4] （B ）函数()y f x =的最大值为8（C ）函数()y f x =在2(0,)3上单调递减（D ）函数()y f x =满足()(1)f x f x =-7． 设抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：1x =-的距离为d ，则有（ ）（A ）2||d AB ≥ （B ）2||d AB = （C ）2||d AB ≤ （D ）2||d AB <A BE CD GH F。
北京市西城区高三数学第二次模拟考试 文(西城二模)(含解析)北师大版
北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（•西城区二模）复数i•（1﹣i）=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数i•（1﹣i）=1+i．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则及i2=﹣1是解题的关键．2．（5分）（•西城区二模）已知向量=，=．若与共线，则实数λ=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出，解出即可．解答：解：∵，∴，解得λ=﹣1．故答案为A．点评：熟练掌握向量共线定理是解题的关键．3．（5分）（•西城区二模）给定函数：①y=x2；②y=2x；③y=cosx；④y=﹣x3，其中奇函数是（）A．①B．②C．③D．④考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的定义逐项判断即可得到答案．解答：解：：①y=x2是偶函数，故排除A；②y=2x非奇函数也非偶函数，故排除B；③y=cosx为偶函数，故排除C；④令f（x）=﹣x3，定义域为R，且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=x3=﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故选D．点评：本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．4．（5分）（•西城区二模）若双曲线的离心率是2，则实数k=（）A．3B．﹣3 C．D．考点：程序框图．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值．解答：解：依题意可知，k＜0，故a=1，b=，∴c=，∴==2，求得k=﹣3．故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生的基础知识．5．（5分）（•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10B．k≤16C．k≤22D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．6．（5分）（•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；1 / 7对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（•西城区二模）已知函数f（x）=e|x|+|x|．若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：将方程f（x）=k恰有两个不同的实根，转化为方程e|x|=k﹣|x|恰有两个不同的实根，再转化为一个函数y=e|x|的图象与一条折线y=k﹣|x|的位置关系研究．解答：解：方程f（x）=k化为：方程e|x|=k﹣|x|令 y=e|x|，y=k﹣|x|，y=k﹣|x|表示过斜率为1或﹣1的平行折线系，折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时，有k=1，如图，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系．8．（5分）（•西城区二模）已知集合{1，2，3，4，5}的非空子集A具有性质P：当a∈A时，必有6﹣a∈A．则具有性质P的集合A的个数是（）A．8B．7C．6D．5考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得，满足当a∈A时，必有6﹣a∈A的有3；1、5；2、4三组，列举满足条件的集合，进而可得答案．解答：解：根据题意，满足题意的子集有{3}、{ 1，5}、{ 2，4}、{3，1，5}、{3，2，4}、{3，1，5，2，4}、{1，5，2，4}，共7个；故选B．点评：本题考查集合的子集，关键是理解题意中“当a∈A时，必有6﹣a∈A”的含义．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（•西城区二模）已知直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．若l1∥l2，则实数m= ﹣6 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：求出已知直线的斜率，利用两条直线的平行斜率相等，求出m的值即可．解答：解：直线l1：x﹣3y+1=0的斜率为：，因为直线l1：x﹣3y+1=0，l2：2x+my﹣1=0．l1∥l2，所以=，解得m=﹣6；故答案为：﹣6．点评：不考查直线与直线平行的充要条件的应用，考查计算能力．10．（5分）（•石景山区二模）如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则＞．（填入：“＞”，“=”，或“＜”）考点：茎叶图．专题：图表型．分析：由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．解答：解：由茎叶图，甲班平均身高为（151+153+165+167+170+172）÷6=163乙班平均身高为（150+161+162+163+164+172）÷6=162＜163．则＞．故答案为：＞．点评：本题考查茎叶图和平均数，解题的关键是看清所给的数据的个数，以及准确的读取数据．属于基础题．11．（5分）（•石景山区二模）在△ABC中，BC=2，，，则AB= 3 ；△ABC的面积是．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，建立关于边AB 的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．解答：解：∵在△ABC中，BC=2，，，∴由余弦定理，得AC 2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos，即7=AB2+22﹣2×2×ABcos，化简整理得AB2﹣2AB﹣3=0，可得AB=3（舍去﹣1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=BC•ABsinB=×2×3×sin=故答案为：3，点评：本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求第三边的长并求三角形的面积，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．12．（5分）（•西城区二模）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；直线与圆相交的性质．专题：概率与统计．分析：由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率．解答：解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤1，即a2+b2≥9．所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．13．（5分）（•西城区二模）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p且q为真命题，则实数c的取值范围是（1，+∞）．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增可得c﹣1＞0可求p为真时c的范围，由不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅可得△=1﹣4c＜0可求q为真时c的范围，然后由p且q为真命题，则p，q都为真命题，可求解答：解：∵函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增∴c﹣1＞0即p：c＞1；∵不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅△=1﹣4c＜0∴c即q：c若p且q为真命题，则p，q都为真命题∴，即c＞1故答案为：（1，+∞）点评：本题主要考查了复合命题真假关系的应用，解题的个关键是命题p，q为真是对应c的范围的确定14．（5分）（•西城区二模）在直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点P（x，y）满足则点P构成的区域的面积是 2 ；点Q（x+y，x﹣y）构成的区域的面积是 4 ．考点：平面向量数量积的运算；简单线性规划．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，画出可行域为：直角梯形OABD及其内部区域，数形结合求得直角梯形OABD的面积．设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，可得，点Q的可行域为直角三角形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（s，t）构成的区域的面积．解答：解：由题意可得，即，画出可行域为：平行四边形OABD及其内部区域，其中D（0，2），E（1，0），故点P构成的区域的面积是OD×QE=2×1=2．3 / 7设点Q（s，t），则x+y=s，x﹣y=t，即．再由可得，∴点Q的可行域为平行四边形ORMN及其内部区域，如图所示：M（2，0）、N（0，2），故点Q（s，t）构成的区域的面积是2×S△OMN =2×=2×=4，故答案为2，4．点评：本题主要考查简单的线性规划问题，两个向量的数量积的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（•西城区二模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a2=8，a3+a4=48．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4a n．证明：{b n}为等差数列，并求{b n}的前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和对数的运算法则进行化简，再计算b n+1﹣b n是否是一个常数即可判定，若是利用等差数列的前n项和公式即可．解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意 q＞0．∵a2=8，a3+a4=48，∴a1q=8，．两式相除得 q2+q﹣6=0，解得 q=2，舍去 q=﹣3．∴．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．∵，∴数列{b n}是首项为1，公差为的等差数列．∴．点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的定义、等差数列的前n项和公式是解题的关键．16．（13分）（•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数定义，得 x1=cosα=，由此利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（Ⅱ）依题意得 y1=sinα，，分别求得S1 和S2 的解析式，再由S1=2S2 求得cos2α=0，根据α的范围，求得α的值．解答：（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得 y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos +cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．17．（14分）（•西城区二模）如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用左视图可得 F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC 的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．解答：（Ⅰ）解：由左视图可得 F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC 的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得 E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ⊂平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．点评：正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．18．（13分）（•西城区二模）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[2，3]上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）把a=2代入函数解析时候，求出f（1）及f′（1），利用直线方程的点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出原函数在各区间段内的单调性，然后根据a的范围分析原函数在区间[2，3]上的单调性，利用函数单调性求出在a的不同取值范围内函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f'（x）=2x2﹣4x+2﹣a．当a=2时，，f'（1）=2﹣4=﹣2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，即 6x+3y﹣5=0．（Ⅱ）解：方程f'（x）=0的判别式△=8a＞0，5 / 7令 f'（x）=0，得，或．f（x）和f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1） x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗故f（x ）的单调增区间为，；单调减区间为．①当0＜a≤2时，x2≤2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．②当2＜a＜8时，x1＜2＜x2＜3，此时f（x）在区间（2，x2）上单调递减，在区间（x2，3）上单调递增，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是=．③当a≥8时，x1＜2＜3≤x2，此时f（x）在区间（2，3）上单调递减，所以f（x）在区间[2，3]上的最小值是f（3）==7﹣3a．综上，当0＜a≤2时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当2＜a＜8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是；当a≥8时，f（x）在区间[2，3]上的最小值是7﹣3a．点评：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数判断函数的单调性，训练了利用函数单调性求函数的最值，解答此题的关键是对参数a的分类，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．19．（14分）（•石景山区二模）如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为，求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；解答：解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M 的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m 的取值范围是．点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．20．（13分）（•西城区二模）已知集合S n={（x1，x2，…，x n）|x1，x2，…，x n是正整数1，2，3，…，n的一个排列}（n≥2），函数对于（a1，a2，…a n）∈S n，定义：b i=g（a i﹣a1）+g（a i﹣a2）+…+g（a i﹣a i﹣1），i∈{2，3，…，n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列．（Ⅰ）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列；（Ⅱ）证明：若a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，进行如下操作：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据定义直接可求出n=6时的生成列（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，则通过比较可知a k≠a'k，只要证明：b k≠b'k．即可（Ⅲ）先设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，则可得b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．然后进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n，可证解答：（Ⅰ）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，﹣2，1，4，3．（Ⅱ）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a'1，a'2，…，a'n的生成列是与b'1，b'2，…，b'n．从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a'1，a'2，…，a'n第一个不同的项为a k与a'k，即：a n=a'n，a n﹣1=a'n﹣1，…，a k+1=a'k+1，a k≠a'k．显然 b n=b'n，b n﹣1=b'n﹣1，…，b k+1=b'k+1，下面证明：b k≠b'k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i﹣1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k﹣l﹣1项比a k大，而b k=l﹣（k﹣l﹣1）=2l﹣k+1．同理，设排列a'1，a'2，…，a'n中有l'项比a'k小，则有k﹣l'﹣1项比a'k大，从而b'k=2l'﹣k+1．因为 a1，a2，…，a k与a'1，a'2，…，a'k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a'k，所以l≠l'，从而 b k≠b'k．所以排列a1，a2，…，a n和a'1，a'2，…，a'n的生成列也不同．（Ⅲ）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 b1≥0，b2≥0，…，b k﹣1≥0，b k≤﹣1．依题意进行操作，排列a1，a2，…，a n变为排列a k，a1，a2，…a k﹣1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b'1，b'2，…，b'n．所以（b'1+b'2+…+b'n）﹣（b1+b2+…+b n）=[g（a1﹣a k）+g（a2﹣a k）+…+g（a k﹣1﹣a k）]﹣[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2[g（a k﹣a1）+g（a k﹣a2）+…+g（a k﹣a k﹣1）]=﹣2b k≥2．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．点评：本题以新定义为载体，主要考查了数列知识的综合应用及一定的逻辑推理与运算的能力．7 / 7。
数学_2015年北京市西城区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2015年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合A ＝{x|x −1>0}，集合B ＝{x|x ≤3}，则A ∩B ＝（ ）A (−1, 3)B (1, 3]C [1, 3)D [−1, 3]2. 已知平面向量a →，b →，c →，a →=(−1, 1)，b →=(2, 3)，c →=(−2, k)，若(a →+b →) // c →，则实数k ＝（ ）A 4B −4C 8D −83. 设命题p ：函数f(x)＝e x−1在R 上为增函数；命题q ：函数f(x)＝cos2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A p ∧qB (￢p)∨qC (￢p)∧(￢q)D p ∧(￢q)4. 执行如图所示的程序框图，若输入的n ∈{1, 2, 3}，则输出的s 属于（ ）A {1, 2}B {1, 3}C {2, 3}D {1, 3, 9}5. 一个几何体的三视图中，正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则俯视图不可以为（ ）A B C D6. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系y ＝4x 2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）A 3B 4C 5D 67. “m >3”是“曲线mx 2−(m −2)y 2＝1为双曲线”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件8. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =√2,BC =AA 1=1，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则B 1P +PQ 的最小值为（ ） A √2 B √3 C 32 D 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数10i3+i=________．10. 抛物线C:y2＝4x的准线l的方程是________；以C的焦点为圆心，且与直线l相切的圆的方程是________．11. 设函数f(x)={1x,x>1−x−2,x≤1，则f[f(2)]＝________；函数f(x)的值域是________．12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√7，b＝3，c＝2，则A＝________π3；△ABC的面积为________3√32．13. 若x，y满足{y≥xy≤2xx+y≤1若z＝x+my的最大值为53，则实数m＝________．14. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x(x∈[0, π])，OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f(x)，那么对于函数f(x)有以下三个结论：①f(π3)=√32；②函数f(x)在区间(π2,π)上为减函数；③任意x∈[0,π2]，都有f(x)+f(π−x)＝4．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数f(x)=cos2x(sinx+cosx)cosx−sinx．(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间．16. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a n+1＝1+S n(n∈N∗)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}为等差数列，且b1＝a1，公差为a2a1．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+...+b n的大小．17. 如图，在四棱锥E−ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA= 6，AB=2，DE=3．（1）求三棱锥C−ADE的体积．（2）证明：平面ACE⊥平面CDE．（3）在线段DE上是否存在一点F，使得AF//平面BCE？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由．18. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(Ⅰ)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；(Ⅱ)若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a>b的概率；(Ⅲ)若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）（注：方差s2=1n[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+⋯+（x n−x¯)2]，其中x¯为x1，x2，…，x n的平均数）19. 设F1，F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．(Ⅰ)若椭圆E的离心率为√63，求椭圆E的方程；(Ⅱ)设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q．若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y−2＝0上．20. 已知函数f(x)=1−x1+ax2，其中a∈R．(Ⅰ)当a=−14时，求函数f(x)的图象在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，证明：存在实数m>0，使得对任意的x，都有−m≤f(x)≤m成立；(Ⅲ)当a＝2时，是否存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k(x−a)仅有负实数解？当a=−12时的情形又如何？（只需写出结论）2015年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. D3. D4. A5. C6. B7. A8. C9. 1+3i10. x＝−1,(x−1)2+y2＝411. −52,[−3, +∞)12. ,13. 214. ①③15. （1）由题意可得cosx−sinx≠0，即tanx≠1，解得x≠kπ+π4，k∈Z，∴ 函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4, k∈Z}；（2）化简可得f(x)=cos2x(sinx+cosx)cosx−sinx =(cos2x−sin2x)(sinx+cosx)cosx−sinx＝(cosx+sinx)2＝sin2x+1，由2kπ−π2≤2x≤2kπ+π2可得kπ−π4≤x≤kπ+π4，又x≠kπ+π4，k∈Z∴ 函数f(x)的单调增区间为(kπ−π4, kπ+π4)k∈Z16. （I）∵ a n+1＝1+S n(n∈N∗)，∴ 当n≥2时，a n＝1+S n−1，∴ a n+1−a n＝a n，即a n+1＝2a n，当n＝1时，a2＝1+a1＝2，∴ a2a1=2，综上可得：a n+1＝2a n(n∈N∗)，∴ 数列{a n}是等比数列，公比为2，∴ a n=2n−1．(II)数列{b n}为等差数列，且b1＝a1＝1，公差为a2a1=(2)∴ b n＝1+2(n−1)＝2n−(1)当n≥3时，b n+1＝2n+(1)1+b1+b2+...+b n＝1+n(1+2n−1)2=n2+(1)∴ n2+1−(2n+1)＝n(n−2)>0，∴ b n+1<1+b1+b2+...+b n．17. （1）解：在Rt△ADE中，AE=√AD2−DE2=3√3．∵ CD⊥平面ADE，∴ 三棱锥C−ADE的体积V C−ADE=13S△ADE⋅CD=13⋅AE⋅DE2⋅CD=9√3．（2）证明：∵ CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，∴ CD⊥AE．又∵ AE⊥DE，CD∩DE=D，∴ AE⊥平面CDE．又∵ AE⊂平面ACE，∴ 平面ACE⊥平面CDE．（3）解：在线段DE上存在一点F使得AF//平面BCE，且EFED =13．过点F作FM//CD交CE于点M，连结AF，BM．∵ CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴ CD//AB，∴ FM//AB．∴ AF与BM共面．∵ BM⊂平面BCE，∴ 要使得AF//平面BCE，只需AF//BM，即只需四边形ABMF为平行四边形．即只需AB=FM=2．∵ CD=6，∴ FMDC =26=13=EFED．18. （1）由茎叶图可得甲组数据的平均数为110(10+10+14+18+22+25+27+30+ 41+43)＝24，∴ 在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5；（2）记事件A为“a>b”，由于乙组数据的平均数为26.7，∴ 110[10+18+20+22+23+31+32+(30+a)+(30+b)+43]＝26.7，解得a+b＝8，而a和b的取值为：(0, 8)，(1, 7)，(2, 6)，(3, 5)，(4, 4)，(5, 3)，(6, 2)，(7, 1)，(8, 0)，共9种情况，其中满足a>b的为：(5, 3)，(6, 2)，(7, 1)，(8, 0)，共4种情况∴ 所求概率P=49；(Ⅲ)由题意可知当b ＝0时，s 2达到最小值．19. （1）∵ 点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，∴ A(−a, 0)，B(0, b)，又∵ |AB|＝2，∴ a 2+b 2＝4，∵ e =c a =√a 2−b 2a =√63， ∴ a =√3，b ＝1，∴ 椭圆E 的方程为：x 23+y 2＝1；（2）证明：由题意知a 2+b 2＝4，从而椭圆E 的方程为：x 2a 2+y 24−a 2=1， 则F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，c =√a 2−b 2=√2a 2−4，设P(x 0, y 0)，由题意知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率k F 1P =y 0c+x 0，直线F 2P 的斜率k F 2P =y 0x 0−c ， ∴ 直线F 2P 的方程为：y =y 0x 0−c (x −c)，当x ＝0时，y =−y 0x 0−cc ，即点Q(0, −y 0x 0−c c)， ∴ 直线F 1Q 的斜率k F 1Q =y0c−x 0，∵ 以PQ 为直径的圆经过点F 1，∴ PF 1⊥F 1Q ，∴ k F 1P ⋅k F 1Q =y 0c+x 0⋅y0c−x 0=−1， 化简得：y 02=x 02−(2a 2−4)，①又∵ P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，∴ x 02a 2+y 024−a 2=1，x 0、y 0>0，② 由①②，解得x 0=a 22，y 0＝2−12a 2， ∴ x 0+y 0＝2，即点P 在直线x +y −2＝0上．20. （1）当a =−14时，f(x)=1−x 1−14x 2， 导数f′(x)=14⋅−(x−1)2−3(1−14x 2)2，即有f′(1)=−43，f(1)＝0，则f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y =−43(x −1)，即为4x +3y −4＝0；（2）证明：当a >0时，f(x)=1−x 1+ax 2的定义域为R ，f′(x)=ax 2−2ax−1(1+ax 2)2，f′(x)＝0，可得x1＝1−√1+1a <0，x2＝1+√1+1a>1，当x<x1，x>x2时，f′(x)>0，f(x)递增，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)递减．又f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0，当x≤1时，0≤f(x)≤f(x1)，当x>1时，f(x2)≤f(x)<0，记M＝max{|f(x1)|, f(x2)|}，综上，a>0时，存在实数m∈[M+∞)，使得对任意的x，都有−m≤f(x)≤m成立；(Ⅲ)当a=−12与a＝2时，不存在实数k，使得关于x的方程仅有负数解．。
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4．执行如图所示的程序框图，若输入的 n 1 ‚ 2 ‚ 3 ，则输出的 s 属于（
开始
输入n
n>2
否
是
s = log3n n = 2n2+1
输出s
结束
A． 1 ‚ 2
B． 1 ‚ 3
C． 2 ‚ 3
D． 1 ‚ 3 ‚ 9
5． 一个几何体的三视图中， 正 （主） 视图和侧 （左） 视图如图所示， 则俯视图不可能 为 （ ．．．
1 x ，其中 a R ． 1 ax 2
1 （Ⅰ）当 a 时，求函数 f x 的图象在点 1，f 1 处的切线方程； 4
（Ⅱ）当 a 0 时，证明：存在实数 m 0 ，使得对任意的实数 x ，都有 m ≤ f x ≤ m 成立； （Ⅲ）当 a 2 时，是否存在实数 k ，使得关于 x 的方程 f x k x a 仅有负实数解？
1 b1 b2 bn 的大小．
a2 ， 当 n ≥ 3 时 ， 比 较 bn1 与 a1
17． （本小题满分 14 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 E ABCD 中 ， AE DE ， CD 平 面 ADE ， AB 平 面 ADE ， CD DA 6 ， AB 2 ， DE 3 ． ⑵ 求棱锥 C ADE 的体积； ⑵ 求证：平面 ACE 平面 CDE ； ⑶ 在线段 DE 上是否存在一点 F ，使 AF ∥ 平面 BCE ？若存在，求出 存在，说明理由．
．
14．如图，正方形 ABCD 的边长为 2， O 为 AD 的中点，射线 OP 从 OA 出发，绕着点 O 顺 时针方向旋转至 OD ，在旋转的过程中，记 AOP 为 x x 0 ，π ， OP 所经过的在正 方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积 S f x ，那么对于函数 f x 有以下三个结 论：
）
正（主）视图
侧（左）视图
A B C D 6．某生产厂商更新设备，已知在未来 x 年内，此设备所花费的各种费用总和 y （万元）与
x 满足函数关系 y 4 x2 64 ，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限 x
为（ A．3
） B．4 C．5 ） D．6
7．“ m 3 ”是“曲线 mx 2 m 2 y 2 1 为双曲线”的（ A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
1 x x 1 n
x
2
2
x
2
2 ，xn 的平均数） xn x ，其中 x 为 x1 ，x2 ，
19． （本小题满分 14 分） 设 F1 ， F2 分别为椭圆 E :
x2 y2 1(a b 0) 的左、右焦点，点 A 为椭圆 E 的左顶点， a2 b2
3 2
）
D．2
第Ⅱ卷（非选择题
9． 复数
10i 3 i
共 110 分）
二、填空题：本小题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． ． ；以 C 的焦点为圆心，且与直线 l 相切的圆
10．抛物线 C : y 2 4 x 的准线 l 的方程是 的方程是 ．
1 x 1‚ ‚ 11．设函数 f x x 则f f 2 x 2 ‚ x ≤ 1.
10. 【解析】 x 1 ， ( x 1)2 y 2 4 焦点为 (1, 0) ，半径 r 2 ， 答案显然可知。 11. 【解析】 ，
5 2
1 1 1 5 f (2) , f ( ) 2 . 2 2 2 2 π 3 3 12. 【解析】 A , S 3 2 497 1 1 3 3 3 cos A = ,所以 A 60 ；面积 S 2 3 223 2 2 2 2
AC 3, AC1 2, CC1 1,B11 AC 60 , AB11 3, B11Q
B11 D1 A1 D A P Q B B1 C A C1 P
3 故选 C. 2
B11 C1
C Q
9. 【解析】 1 3i 10i 10i(3 i) 10i(3 i) 1 3i 3 i (3 i)(3 i) 10
1 当 a 时的情形又如何？（只需写出结论） 2
北京市西城区 2015 年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科）
1. 【解析】B A {x | x 1} ， B {x | x 3} ，所以 A B (1,3] ，故选 B. 【解析】D
2.
4 k 由题可得 a b (1,4) ，且 (a b )∥c ，所以有 ，则 k 8 .故选 D. 1 2
14. 【解析】①②
π ①如图，当 AOP= 时， OP 与 AM 相交于点 M 3
3 1 因为 AO 1 ，则 AM 3 ∴ f 3 ①正确 2 3 2
P D M
C
A
O
B
②由于对称性可以知道恰好是正方形的面积，
D M C E O B
A
所以若 MOA x ， AOC π-x ， f ( x) S
BOE
，显然 f ( x ) f (π x ) 4
③显然 f x 是增函数，所以 故选①②
f x1 f x2 x1 x2
b
为了鼓励卖场， 在同型号电视机的销售中， 该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”． （Ⅰ）求在这 10 个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数 （Ⅱ）若在这 10 个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为 26.7 ，求 a b 的概率 （Ⅲ） 若a 1， 记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ， 根据茎叶图推断 b 为何值时，s 2 达 到最小值． （只需写出结论） （注：方差 s 2
C
EF 的值；若不 ED
B A D
E
18． （本小题满分 13 分） 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量（单位：台） ，并根据这 10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图． 甲 4 8 7 0 5 3 0 2 0 1 1 2 3 4 0 0 1 3 8 2 2 乙 3 a
；函数 f x 的值域是
．
12．在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 a 7 ， b 3 ， c 2 ， 则 A ；△ABC 的面积为 ．
y≥ x ‚ 5 13．若 x ， y 满足 y ≤ 2 x ‚ 若 z x my 的最大值为 ，则实数 m 3 x y ≤1‚
cos 2 x(sin x cos x) ． cos x sin x ⑴ 求函数 f ( x) 的定义域； ⑵ 求函数 f ( x) 的单调增区间．
已知函数 f ( x)
16． （本小题满分 13 分） 设数列 an 的前 n 项和为 S n ，且 a1 1 ， an1 1 Sn (n N* ) ． ⑴ 求数列 an 的通项公式； ⑵ 若 数 列 bn 为 等 差 数 列 ， 且 b1 a1 ， 公 差 为
点 B 为椭圆 E 的上顶点，且 AB 2 ． ⑴ 若椭圆 E 的离心率为
6 ，求椭圆 E 的方程； 3
⑵ 设 P 为椭圆 E 上一点，且在第一象限内，直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q ，若以 PQ 为 直径的圆经过点 F1 ，证明：点 P 在直线 x y 2 0 上．
20． （本小题满分 13 分） 已知函数 f x
北京市西城区 2015 年高三二模试卷 数学（文科）2015.5
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页，共 150 分．考试时 长 120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 和答题纸一并交回． 1．设集合 A x x 1 0 ，集合 B x x ≤ 3 ，则 A B （ A． 1 ‚ 3 B． 1 ‚ 3 C． 1 ‚ 3 ） D． 1 ‚ 3
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， AB 2 ， BC AA1 1 ，点 P 为对角线 AC1 上的动点， 点 Q 为底面 ABCD 上的动点（点 P ，Q 可以重合） ，则 B1 P PQ 的最小值为（ A． 2 B． 3 C．
13. 【解析】 m 2 有题可知当目标函数取最大值
5 5 5 时 x my ，即 x my ，所以直线的恒过定点 3 3 3
5 1 2 ( , 0) ，目标函数在 A 处取得最大值， A( , ) 代入 3 3 3 5 x my ，即 m 2 3
y
A
x O 5 3
x2 y2 1 如果曲线 mx (m 2) y 1 是双曲线，只要保证曲线变形后的 1 1 m m2
2 2
5.
6.
64 4 x 2 64 64 ， 即x4 当且仅当 4 x 4x 2 4 64 32 ， x x x
其中系数
1 1 与 同号即可，即 m(m 2) 0 ，所以 m 2 或 m 0 ， m 的取值范围为 m m2
3. 【解析】D
p 命题 f ( x) e x 1 在 R 上是增函数， 故 p 命题为真；q 命题 f ( x) cos 2 x 为偶函数， 故q
命题为假，则 q 为真，从而 p (q) 为真命题，故选 D. 4. 【解析】A 当 n 1 ，经过判断得到的 n 3 ，所以输出的 s 1 ；当 n 2 ，经过判断得到的 n 9 ， 所以输出的 s 2 ，当 n 3 ，经过判断直接跳出，则 n 3 ，所以输出的 s 1 .综上 s 满足 的集合为 {1, 2} ，故选 A. 【解析】C 如果以 C 图作为俯视图，那么在主视图中的虚线应为实线 【解析】B 设平均费用为 y ， 则y 取到，故选 B. 7. 【解析】AB P CAOD