2015年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．（5分）（2015•北京）复数i（2﹣i）=（）

A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

考点：复数代数形式的乘除运算．

专题：数系的扩充和复数．

分析：利用复数的运算法则解答．

解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；

故选：A．

点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．

2．（5分）（2015•北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）

A．0B．1C．D．2

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．

解答：

解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的三角形及其内部阴影部分，由

解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，

当l经过点A时，目标函数z达到最大值

∴z最大值==

故选：C．

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

3．（5分）（2015•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）

考点：程序框图．

专题：图表型；算法和程序框图．

分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．

解答：解：模拟执行程序框图，可得

x=1，y=1，k=0

s=0，i=2

x=0，y=2，k=1

不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2

不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3

满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），

故选：B．

点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题．

4．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”

的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：简易逻辑．

分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．

解答：解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；

α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；

∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．

故选B．

点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．

5．（5分）（2015•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A．2+B．4+C．2+2D．5

考点：由三视图求面积、体积．

专题：空间位置关系与距离．

分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=

判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．

解答：解：根据三视图可判断直观图为：

OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，

EA=2，EC=EB=1，OA=1，

∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，

运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=

∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．

S△BCO=2×=．

故该三棱锥的表面积是2，

故选：C．

点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．

6．（5分）（2015•北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）

A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，

D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 C．若若0＜a

1＜a2，则a2

考点：等差数列的性质．

专题：计算题；等差数列与等比数列．

分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．

解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；

若a1+a2＜0，则2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；

{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；

若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．

故选：C．

点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．

7．（5分）（2015•北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）

A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}

考点：指、对数不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．

分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．

解答：解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图

满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；

故选C．

点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．

8．（5分）（2015•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多