辽宁省鞍山市第二十六中学2019-2020学年高二数学文测试题含解析

辽宁省鞍山市第二十六中学2019-2020学年高二数学文
测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 的值是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
略
2. 若实数满足不等式组，则的最小值是
A．12 B.13 C.14 D.25
参考答案：
C
3. 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋
f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
参考答案：
D
4. 若输入数据n＝6，a1＝－2，a2＝－2.4，a3＝1.6，a4＝
5.2，a5＝－3.4，a6＝4.6，执行下面如图所示的算法程序，则输出结果为()
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
参考答案：
A
5. 已知f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，则f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于（）
A．f（1）+2f（1）+3f（1）+…+nf（1）B．
C．n（n+1）D．n（n+1）f（1）
参考答案：
D
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据题意，令x=n、y=1，证出f（n+1）﹣f（n）=2，得{f（n）}构成以2为首项、公差为2的等差数列．由等差数列通项公式算出f（n）=2n，进而得到{f（n）}前n 项和等于n（n+1）．由此再将各项和运算结果加以对照，可得本题答案．
【解答】解：令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）+2，
∴f（n+1）﹣f（n）=2，
可得{f（n）}构成以f（1）=2为首项，公差为2的等差数列，
∴f（n）=2+（n﹣1）×2=2n，
因此，f（1）+f（2）+…+f（n）===n（n+1）
对于A，由于f（1）+2f（1）+3f（1）+…+nf（1）
=f（1）（1+2+…+n）=2×=n（n+1），故A正确；
对于B，由于f（n）=2n，所以=2×=n（n+1），得B正确；
对于C，与求出的前n项和的通项一模一样，故C正确．
对于D，由于n（n+1）f（1）=2n（n+1），故D不正确．
故选：D
6. 设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”，x1*x2＝（x1＋x2）2－（x1－x2）2，若x≥0，则动点的轨迹是（）
A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
参考答案：
D
略
7. 已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
8. 设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）
A．a﹣b＜0 B．0＜＜1 C．D．ab＞a+b
参考答案：
C
【考点】基本不等式；不等式比较大小．
【分析】由不等式的性质易判A、B、D错误，由基本不等式可得C正确．
【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，故A错误；
由a＞b＞0可得＞1，故B错误；
当a=，b=时，有ab＜a+b，故D错误；
由基本不等式可得≤，由a＞b＞0可知取不到等号，故C正确．
故选：C
9. 直线y=ax+1与圆x2+y2=2的位置关系是( )
A．相离B．相交C．相切D．与的值有关
参考答案：
B
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线y=ax+1的距离d，判断得到d＜r，即可得到直线与圆相交．
【解答】解：由x2+y2=2，得到圆心坐标为（0，0），半径r=，
∵圆心到直线y=ax+1的距离d=≤1＜=r，
∴直线y=ax+1与圆x2+y2=2的位置关系是相交．
故选B
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径）．
10. 直线λ：2x﹣y+3=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
参考答案：
A
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆心到直线的距离，与圆半径相比较，能求出结果．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣1）2=5的圆心C（0，1），半径r=，
圆心C（0，1）到直线λ：2x﹣y+3=0的距离：
d==＜r=，
∴直线λ：2x﹣y+3=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5相交．
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10···，
第n个三角形数为。

记第n个k边形数为N(n,k)(),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)=
正方形数 N(n,4)=
五边形数 N(n,5)=
六边形数 N(n,6)=
可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)= ____________
参考答案：
1000
12. 正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等
于．
参考答案：
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成
角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．
解答：解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，
则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，
设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），
则EF=AB=a，CE=CF=2a?sin60°=a，
在△CEF中，
cos∠CEF===．
故答案为：．
点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．
13. 已知向量，，，则向量的坐标为
___________．
参考答案：
∵，，，
∴．
14. 在中，，则最短边的长是。

参考答案：
2
15. 设函数，若的值域为R，则实数a的取值范围是_______。

参考答案：
（－∞，－1]∪[2，+∞）
【分析】
根据指数函数和一次函数的值域的知识，求得分段函数每一段的取值范围，再结合函数的值域为列不等式，由此求得实数的取值范围.
【详解】当时，；当时，.由于的值域为，故，即，解得.
【点睛】本小题主要考查分段函数的值域的求法，考查指数函数和一次函数的值域求法，考查一元二次次不等式的解法，属于基础题.
16. 把一个长方体切割成个四面体，则的最小值是 .
参考答案：
；解析：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，
先说明个不够，若为个，因四面体的面皆为三角形，
且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，
下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积
，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种
三角形为底的四面体，其高，故四个不同的四面体的
体积之和，不合；
所以，另一方面，可将单位正方体切割成个四面体；例如从正方体
中间挖出一个四面体，剩下四个角上的四面体，
合计个四面体.
17. 若，，，，则向量在向量上的投影为 .
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的两焦点为F1（﹣，0），F2（，0），离心率e=．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值．
参考答案：
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．
【分析】（1）先设椭圆方程为，有c=，求得a，b，最后写出椭圆方程；
（2）由，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．
【解答】解：（1）设椭圆方程为，则c=，，
∴a=2，b=1，所求椭圆方程．
（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，
则△＞0得m2＜5（*）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，y1﹣y2=x1﹣x2，
|PQ|=?=2，
解得m=，满足（*）
∴m=．
19. 过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为﹣4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x=my+，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为﹣4，即可求出p的值，
（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①，抛物线C的准线方程为，x=﹣1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB的方程为x=my+
与抛物线的方程联立，得y2﹣2mpy﹣p2=0，
∴y1?y2=﹣p2=﹣4，
解得p=±2，
∵p＞0，
∴p=2，
（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x2=4．
∴直线BD的方程可表示为，y=（x﹣4）①
∵抛物线C的准线方程为，x=﹣1②
由①，②联立方程组可求得P的坐标为（﹣1，﹣）
由（1）可得y1y2=﹣4，
∴P的坐标可化为（﹣1，），
∴k AP==，
∴直线AP的方程为y﹣y1=（x﹣x1），
令y=0，可得x=x1﹣=﹣=
∴直线AP与x轴交于定点（，0）．
20. (本小题满分12分)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，
求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布和数学期望；
(3)计分介于20分到40分之间的概率.
参考答案：
解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为
所以.
（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.
所以随机变量的概率分布为
2 3 4 5
因此的数学期望为
（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则
略
21. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，求△ABC的面积．
参考答案：
22. 在平面直角坐标系中，圆经过三点．（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．
参考答案：
.⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上，
所以可设圆的圆心为， ------------------------2分
则有解得
则圆C的半径为
所以圆C的方程为 ------------6分
⑵设，其坐标满足方程组：
消去，得到方程
由根与系数的关系可得，----------8分由于可得,
又所以
由①，②得，满足故 -----------------------12分。