四川省雅安中学2019届九年级上学期期中考试数学试题

四川省雅安中学2019届九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题：每小题3分，共36分
1．下列方程一定是一元二次方程的是（）
①ax2+bx+c＝0；②（k2+1）x2+kx+1＝0；
③2（x+1）（x﹣4）＝x（x﹣2）；④（2x+3）（2x﹣3）＝4x（x﹣3）
A．①②B．③④C．②③D．①③
2．下列四组线段中，不是成比例线段的是（）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝2
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
A．（9，3）B．（3，3）C．（6，6）D．（6，4）
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC＝6，点P是对角线AC上的一点，过点P作PF ⊥AD，PE⊥CD，则PF+PE的值为（）
A．3B．3 C．2D．6
5．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）
A ．S 1＞S 2
B ．S 1＝S 2
C ．S 1＜S 2
D ．不能确定
6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（ ） A ．x 2+2x ﹣4＝0
B ．x 2﹣4x +4＝0
C ．x 2+4x +10＝0
D ．x 2+4x ﹣5＝0
7．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，则恰好选中甲、乙两位同学打第一场比赛的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．函数y 1＝x ﹣k 与y 2＝（k ≠0）的图象在同一坐标系内，其中正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．在函数y ＝kx （k ＜0）的图象上有A （1，y 1），B （﹣1，y 2），C （﹣2，y 3）三个点，则下列各式正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 1＜y 3＜y 2
C ．y 3＜y 2＜y 1
D ．y 2＜y 3＜y 1
10．如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AEFG 的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，△ABC 中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE ＝EF ＝FC ．则BN ：
NQ ：QM 等于（ ）
A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1
12．如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法正确的是（）
①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝4，
则S△ABP＝16
A．①③B．②③C．②④D．③④
二、填空题：每小题3分，共18分．
13．若＝，则＝
14．已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝．
15．a，b为实数且（a2+b2）2+4（a2+b2）＝5，则a2+b2＝．
16．如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为．
17．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的
顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是m．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF 相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．
三、解答题：本大题共66分
19．（12分）解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求
的值
20．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况．随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是；请补全条形统计图；
（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩获“优秀”的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A，B，C，D四组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
21．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β满足+＝2，求m的值．
22．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
23．（8分）某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？
24．（10分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
25．（12分）矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P 处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．下列方程一定是一元二次方程的是（）
①ax2+bx+c＝0；②（k2+1）x2+kx+1＝0；③2（x+1）（x﹣4）＝x（x﹣2）；④（2x+3）（2x
﹣3）＝4x（x﹣3）
A．①②B．③④C．②③D．①③
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：①当二次项系数a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程；故本选项错误；
②（k2+1）x2+kx+1＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
③由原方程，得x2﹣6x﹣8＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
④由原方程，得12x﹣9＝0，未知数的最高次数是1；故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．下列四组线段中，不是成比例线段的是（）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝2
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
解：∵，故选项A中的线段成比例；
∵，故选项B中的线段成比例；
∵，故选项C中的线段不成比例；
∵，故选项D中的线段成比例；
故选：C．
【点评】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
A．（9，3）B．（3，3）C．（6，6）D．（6，4）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD，∵点A的坐标为（2，2）、
∴点C的坐标为（2×3，2×3），即（6，6），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC＝6，点P是对角线AC上的一点，过点P作PF ⊥AD，PE⊥CD，则PF+PE的值为（）
A．3B．3 C．2D．6
【分析】由正方形的性质得出∠PAF＝∠PCE＝45°，证出△APF和△CPE是等腰直角三角
形，得出PF＝AP，PE＝PC，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠PAF＝∠PCE＝45°，
∵PF⊥AD，PE⊥CD，
∴△APF和△CPE是等腰直角三角形，
∴PF＝AP，PE＝PC，
∴PF+PE＝（AP+PC）＝AC＝3；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S
＝AC•AB，即可得到S1＝S2．
2
解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC•AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）
A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2+4x+10＝0 D．x2+4x﹣5＝0
【分析】找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2﹣4ac的值，当
b2﹣4ac大于等于0时，设方程的两个根为x
，x2，利用根与系数的关系x1+x2＝﹣求出
1
各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项．
解：A、x2+2x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝4+16＝20＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2，本选项不合题意；
B、x2﹣4x+4＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，
∴b2﹣4ac＝16﹣16＝0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝4，本选项不合题意；
C、x2+4x+10＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝10，
∴b2﹣4ac＝16﹣40＝﹣24＜0，
即原方程无解，本选项不合题意；
D、x2+4x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝16+20＝36＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣4，本选项符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当
b2﹣4ac≥0时，方程有解，设方程的两个解分别为x
，x2，则有x1+x2＝﹣，x1x2＝．
1
7．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，则恰好选中甲、乙两位同学打第一场比赛的概率是（）
A
．B
．C
．D
．
【分析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：列表得：
∴所有等可能性的结果有12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比
8．函数y1＝x﹣k与y2＝（k≠0）的图象在同一坐标系内，其中正确的是（）A．B．
C．D．
【分析】先根据y1＝x﹣k的一次项系数大于0求出函数图象所在象限，再根据k的取值分别判断两函数图象能否共存于同一坐标系．
解：函数y1＝x﹣k，一次项系数为1，大于0，应过一、三象限，由此可排除C、D；
对于B，y2＝（k≠0）在一、三象限，有k＞0，则函数y1＝x﹣k的图象应与y轴交于原点下方，排除B．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
9．在函数y＝kx（k＜0）的图象上有A（1，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y3）三个点，则下列各式正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标代入y＝kx，分别计算出y1、y
、y3，然后比较它们的大小．
2
解：∵A（1，y1），B（﹣1，y2），C（﹣2，y3）在直线y＝kx上，
∴y1＝k，y2＝﹣k，y3＝﹣2k，
而k＜0，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
10．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
【分析】作MH⊥DE于H，如图，利用正方形的性质得AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC ＝90°，则根据旋转的性质得AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，再证明△AED为等边三角形得到∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，接着证明△MDE为等边三角形
得到DH＝EH＝，则利用含30度的直角三角形三边的关系计算出MH，然后利用三角形面积公式计算即可．
解：作MH⊥DE于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，
∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠2＝60°，
∴△AED为等边三角形，
∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，
∴∠5＝∠6＝30°，
∴△MDE为等边三角形，
∴DH＝EH＝，
在Rt△MDH中，MH＝DH＝×＝，
∴S△MDE＝×1×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
11．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC．则BN：NQ：QM等于（）
A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1
【分析】连结MF，如图，先证明MF为△CEA的中位线，则AE＝2MF，AE∥MF，利用
NE∥MF得到＝＝1，＝＝，即BN＝NM，MF＝2NF，设BN＝a，NE＝
b，则NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，所以AN＝3b，然后利用AN∥MF得到＝＝
＝，所以NQ＝a，QM＝a，再计算BN：NQ：QM的值．
解：连结MF，如图，
∵M是AC的中点，EF＝FC，
∴MF为△CEA的中位线，
∴AE＝2MF，AE∥MF，
∵NE∥MF，
∴＝＝1，＝＝，
∴BN＝NM，MF＝2NF，
设BN＝a，NE＝b，则NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，
∴AN＝3b，
∵AN∥MF，
∴＝＝＝，
∴NQ ＝a ，QM ＝a ，
∴BN ：NQ ：QM ＝a ： a ： a ＝5：3：2． 故选：C ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，A 、B 是函数y ＝上两点，P 为一动点，作PB ∥y 轴，PA ∥x 轴，下列说法正
确的是（ ）
①△AOP ≌△BOP ；②S △AOP ＝S △BOP ；③若OA ＝OB ，则OP 平分∠AOB ；④若S △BOP ＝4，则S △ABP ＝16
A ．①③
B ．②③
C ．②④
D ．③④
【分析】由点P 是动点，进而判断出①错误，设出点P 的坐标，进而得出AP ，BP ，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确，利用角平分线定理的逆定理判断出③正确，先求出矩形OMPN ＝4，进而得出mn ＝4，最后用三角形的面积公式即可得出结论． 解：∵点P 是动点， ∴BP 与AP 不一定相等，
∴△BOP 与△AOP 不一定全等，故①不正确；
设P（m，n），
∴BP∥y轴，
∴B（m，），
∴BP＝|﹣n|，
∴S△BOP＝|﹣n|×m＝|12﹣mn|
∵PA∥x轴，
∴A（，n），
∴AP＝|﹣m|，
∴S△AOP＝|﹣m|×n＝|12﹣mn|，
∴S△AOP＝S△BOP，故②正确；
如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，
∴S△AOP＝OA×PF，S△BOP＝OB×PE，
∵S△AOP＝S△BOP，
∴OB×PE＝OA×PF，
∵OA＝OB，
∴PE＝PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；
如图1，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y＝上，
∴S△AMO＝S△BNO＝6，
∵S△BOP＝4，
∴S△PMO＝S△PNO＝2，
∴S矩形OMPN＝4，
∴mn＝4，
∴m＝，
∴BP＝|﹣n|＝|3n﹣n|＝2|n|，AP＝|﹣m|＝，
∴S△APB＝AP×BP＝×2|n|×＝8，故④错误；
∴正确的有②③，
故选：B．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形面积公式，角平分线定理逆定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．若＝，则＝
【分析】根据比例的性质解答即可．
解：∵，
∴，
故答案为：
【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
14．已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1或3﹣．
【分析】分AC＞BC、AC＜BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
解：点C是线段AB的黄金分割点，
当AC＞BC时，AC＝AB＝﹣1，
当AC＜BC时，AC＝AB﹣AB＝3﹣，
故答案为：﹣1或3﹣．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
15．a，b为实数且（a2+b2）2+4（a2+b2）＝5，则a2+b2＝ 1 ．
【分析】根据已知等式的特点，设a2+b2＝x，方程可化为关于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到a2+b2的值．
解：设a2+b2＝x，
（a2+b2）2+4（a2+b2）＝5可化为：x2+4x﹣5＝0，
因式分解得：（x﹣1）（x+5）＝0，
可得：x﹣1＝0或x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5，
∴a2+b2＝1或a2+b2＝﹣5（舍去），
则a2+b2＝1．
故答案为：1
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，其中观察方程的特点设出a2+b2＝x，把方程转化为关于x的方程是解本题的关键．
16．如图，A，B是反比例函数y＝图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为8 ．
【分析】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．
解：设点D坐标为（a，b），
∵点D为OB的中点，
∴点B的坐标为（2a，2b），
∴k＝4ab，
又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，
∴A的坐标为（4a，b），
∴AD＝4a﹣a＝3a，
∵△AOD的面积为3，
∴×3a×b＝3，
∴ab＝2，
∴k＝4ab＝4×2＝8．
故答案为：8
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为3列出关系式是解题的关键．
17．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是30 m．
【分析】根据条件易证AP＝BQ，求两路灯之间的距离的问题可以转化为求AP的长度的问题，设AP＝BQ，易证△BQN∽△BAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．解：∵MP∥BD，
∴＝，
同理，＝，
∵AC＝BD，
∴AP＝BQ，
设AP＝BQ＝x，则AB＝2x+20，
∵NQ∥AC
∴△BQN∽△BAC，
∴＝，即，
解得：x＝5．
则两路灯之间的距离是2×5+20＝30m．
故答案为：30．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF 相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为+3 ．
【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．
解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故答案为：+3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时
注意数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题：本大题共66分．注意：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程．19．（12分）解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求
的值
【分析】（1）先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解．；
（2）根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c＝0进行讨论．本题还可以设参数法解答．
解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，
x2+5x+6＝2x+16，
x2+3x﹣10＝0，
（x﹣2）（x+5）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5；
（2）若a+b+c≠0，由等比定理有＝＝＝＝1，所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
【点评】考查了因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．同时考查了等比性质：
若＝＝…＝＝k，则＝k，（b+d+…+n≠0）．特别注意条件的限制（分母是否为0）．比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．20．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况．随机抽取部分男同学进行了1000
米跑测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是144°；请补全条形统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好的有多少名？
（3）某班甲、乙两位成绩获“优秀”的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A，B，C，D四组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以解答本题；
（2）根据统计图中的数据可以解答本题；
（3）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．解：（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是：360°×40%＝144°，
故答案为：144°，
合格的有：16÷40%﹣12﹣16﹣2＝10（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）成绩未达到良好的有：600×＝180（名），
答：成绩未达到良好的有180名；
（3）如下图所示，
∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是，
即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是．
【点评】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（8分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β满足+＝2，求m的值．
【分析】（1）当二次项系数为零时，通过解一元一次方程可得出该方程有解；当二次项系数非零时，由根的判别式△＝（m﹣2）2≥0可得出当m＝0时方程有解．综上，此题得证；
（2）根据根与系数的关系可得出α+β＝，αβ＝，结合+＝2即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
（1）证明：当m＝0时，原方程为﹣2x+2＝0，
解得：x＝1，
∴当m＝0时，方程有解；
当m≠0时，△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴当m≠0时，方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有解．
综上：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，
∴α+β＝，αβ＝．
∵+＝＝2，即＝2，
解得：m＝6．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）分二次项系数非零及二次项系数为零两种情况找出方程有解；（2）利用根与系数的
关系结合+＝2找出关于m的方程．
22．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2＝BE2+DF2．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠QAE＝45°，
∴∠QAE＝∠FAE，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ＝∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2＝QE2，
又∵QB＝DF，
∴EF2＝BE2+DF2．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．
23．（8分）某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？【分析】设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，则需要支付费用1600x元，损失2x吨，价格为（1200+200x）元，根据获利122000元，列方程求解．
解：设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，
由题意得（1200+200x）×（80﹣2x）﹣1600x﹣64000＝122000，
解得：x1＝x2＝15．
答：储藏15星期出售这批农产品可获利122000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
24．（10分）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝，得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
把B（n，﹣4）代入y＝﹣，得﹣4n＝﹣8，
解得n＝2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y＝kx+b，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
即直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．25．（12分）矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P 处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．
【分析】（1）①先证出∠C＝∠D＝90°，再根据∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，得出∠2＝∠3，即可证出△OCP∽△PDA；
②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP＝AD＝4，设OP＝x，则CO＝8﹣x，
由勾股定理得x2＝（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB＝2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP＝MQ，BN＝QM，得出MP＝MQ，根据ME⊥
PQ，得出EQ＝PQ，根据∠QMF＝∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF＝QB，
再求出EF＝PB，由（1）中的结论求出PB＝＝4，最后代入EF＝PB即可
得出线段EF的长度不变．
解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
又∵∠D＝∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴＝＝＝，
∴CP＝AD＝4，
设OP＝x，则CO＝8﹣x，
在Rt△PCO中，∠C＝90°，
由勾股定理得x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴AB＝AP＝2OP＝10，
∴边AB的长为10；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP＝AB，MQ∥AN，
∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP．
∴MP＝MQ，
∵BN＝PM，
∴BN＝QM．
∵MP＝MQ，ME⊥PQ，
∴EQ＝PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF＝∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF＝QB，
∴EF＝EQ+QF＝PQ+QB＝PB，
由（1）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，
∴PB＝＝4，
∴EF＝PB＝2，
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．
【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．。